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函数关系的建立的案例
一、案例背景分析
建立函数关系式，是将实际问题抽象成数学问题的第一步，也是函数应用极其重要的关键的一步。教材中着重研究分析了两类问题：一类是根据几何图形的性质建立函数关系，这类问题往往学生容易接受，较易上手。另一类问题是需要通过阅读理解分析出函数关系，这类问题往往需要学生具有较高的理解分析能力，需要加强训练。
在本节中，学生经常会遇到二次函数、分段函数等，所以需要熟练掌握列表达式的能力，并能正确求得函数的定义域。
二、案例过程：
当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来。通常，这个过程叫做建模。而实践中的大量问题是变量之间的关系问题，因此建立变量之间的函数关系是很重要的。
例1 如图，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点出发， [来源:21世纪教育网]
沿正方形的边界运动一周，再回到A点。若点P运动的路程21世纪教育网
为x，点P到顶点A的距离为y。求A、P 两点间的距离y
与点P的路程式 x之间的函数关系式。
（1）首先要求学生进行阅读、理解题意，分析条件和要求的结论，然后去尝试建模。[来源:21世纪教育网]
（2）小组进行讨论，并且给出建模的函数。
第一小组：
第二小组：这个结论不对，因为当点P在AB边上时，y=x
教师：第二小组同学讲得对。但是还不完整。
第三小组：根据点P的不同位置，A、P两点间的距离变化分段表示。21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
（1）当点P在AB边上，即0≤x≤1，时，AP=x，∴y=x;[来源:21世纪教育网]
(2)当点P在BC边上，即1定理得.
∴;[21世纪教育网]
(3)当点P在 CD边上,即2∴;
(4)当点P在AD边上,即3教师：我们同学通过自己的自主实践，通过与同学的相互讨论、合作，逐步完善结论，从而使问题得到解决。你们积极主动地参与，发现并主动获取知识，能有效地进行自主合作，从而提高了解决问题的能力。
三、教学反思
本堂课提供了基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，力求通过自主合作使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。但是在把实际问题转化为数学问题的过程中，学生不能建立恰当的函数模型并求解，不会对函数模型的评价分析，怎样使学生掌握数学建模的一般过程。同时，通过把实际问题抽象为数学问题，逐步把数学知识应用到生产生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。在本堂课中没有达到预先设计的效果，主要是设计、引导、启发的不到位，这点需要在以后的教学中加以改进。[来源:21世纪教育网]21世纪教育网

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