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函数最值 从配方法到求导法
[前言] 函数最值 追根到初三
一位初三老师，在总结函数性质时说:“我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数，其中，二次函数很特殊，二次函数有最值，而其他3个函数没有最值，大家清楚吧！”
“清楚！”——回声虽然响亮，但还有几个学生没有应声.21世纪教育网
一个学生问：“反比例函数也有最值吧？”
另一个学生问：“一次函数为什么没有最值呢？”
老师回答：“这四个函数，只有二次函数有最值，其他3个函数没有最值，至于为什么，那要到高中数学中去学习！”
这位初三老师有点偷懒，其实他是完全可以讲清楚这个问题的．既然他没有讲，那么我们的高中学生，包括高三的学生，还真的得从这个问题研究起．
一、二次函数最值寻根
初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的.
设a>0，f(x)=ax2+bx+c=[来源:21世纪教育网]
初三学生已知，二次函数f(x)，在a>0时，有最小值；a<0时，有最大值.
到了高中，学生更关心二次函数得到最值的条件，即上述不等式中等号成立的条件：.这个条件——自变量x的取值，称作二次函数最值对应的“最值点”（以下简称“最点”），俗称函数“最值的根”.
对于高一学生，老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑，要求用比较法探索“最点”.
[来源:21世纪教育网]
【例1】 已知a>0，探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.21世纪教育网
【解答】 任取 x1则有 y1 – y2 = f (x1) – f (x2) =
(※)21世纪教育网
（1）当x1，x2≤-时，有
由式(※)得 y1 – y2 =a
函数f (x)在上为减函数.
（2）当x1，x2≥-时，有
由式（※）得 y1 – y2 =a
即函数f (x)在上为增函数.
综合（1）、（2）可知，二次函数y =ax2+bx+c ( a>0 ) 有减区间和增区间.
显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.[来源:21世纪教育网]
【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.
【练1】 试研究一次函数没有最点，从而没有最值.
【解】 任取，则有
（1）时，，函数在R上为增函数.
时，;时，.
（2）时，，函数在R上为减函数.21世纪教育网
时，;时，.
所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.
【说明】 一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.
二、从到
高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数.
精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.
这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.
函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.
导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.
问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了.
【例2】 设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.
试说明的正负性与单调性的对应关系.
【解析】 与相交于.
（1）时，,递减；
（2）时，,递增；
（3）时，,得到最小值.
故对应关系为：（1）负区与的减区对应；
（2）正区与的增区对应；
（3）零点与的最值对应.
【练2】 已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有21世纪教育网
（1）=（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）；
（2）的最（ ）值为（ ）；21世纪教育网
（3）若，求的解析式.[来源:21世纪教育网]
【解答】 从右图上看到
（1）的根为，故有=1；
（2）时，>0，故的增区间为；
时，<0，故的减区间为；
（3）有最大值，最大值为.
（4）
令，图上知；[来源:21世纪教育网]
令，得.
故有.
【说明】 注意与并非一一对应，每一个这样的都对应着一个确定的，反过来，每一个这样的却对应着无穷个，它们只是相差一个常数c.这就是本题中，为什么已经知道了的图象后，还要给出时才能确定的解析式.
三、三次函数的驻点、极点和最点[来源:21世纪教育网]
一次函数没有驻点，自然没有最点.21世纪教育网
二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点.
三次函数呢？[来源:21世纪教育网]
三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：（1）有2个相异的根，（2）有2个相同的根；（3）无根.
如果三次函数的导函数无根，则无驻点，自然也无最点，也无最值.
如果有根呢？自然一定有驻点.
那么，这些驻点是否为其最点呢？
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【例3】 研究函数的驻点、极点和最点.
【解析】 令，得，为的2个驻点.
（1）时，>0，函数递增；
（2）时，<0，函数递减；
（3）时，>0，函数递增.
故在有极大值，在上有极小值.
故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.
又时，，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.
【说明】 这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.
【练3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.
（1） （2）
【解析】 （1）,函数无驻点，无极点，无最点. 是上的增函数.
（2）,
有2个重合的驻点.
（1）当时，，函数递增，
（2）当时，，函数也递增.
因此，驻点不能分出两个“相异”的单调区间，故不是的极点，无极点，当然也无最点.
是R上的增函数.
【说明】 函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.
经过以上的讨论得知，定义在R上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的.
四、极点何时为最点
不重合的2个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？
驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？
我们研究，极点何时成为最点.
【例4】 已知的导函数，试探究的极点和最点.
【解析】 .
有3个相异的根：它们都是的极点.21世纪教育网
易知原函数 （R）21世纪教育网
易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.
的4个单调区间依次成“减——增——减——增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.
比较三个极值的大小：
得的最小值为，对应两个最小点和1.
【说明】 定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1当n为奇数时，有最点存在.最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大小可得.
当n为偶数时，函数无最点.
【练4】 求函数的最值.
【解析】 函数是定义在一个开区间上的可导函数,
令
得的唯一驻点即为最点.
时，，函数递增,
时，，函数递减,21世纪教育网
故有最大值.
【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.
,等号成立条件是.
五、最值寻根的导数判定
若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：
（1）若导函数无根，即，则无最值；
（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.21世纪教育网
（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.
【例5】 在以下四个函数中，有最值存在的函数是
A. B. C. D.
【解析】 对于A，定义区间虽有两个，但都有，无最值；[来源:21世纪教育网]
对于B，，函数有重合的两驻点，无最值；
对于C，，无最值；
对于D，.
当时，令，得，有最值=1.
本题答案为D.
【练5】 判断以下函数，是否有最值，如果有，求出最值.
（1） （2）
【解析】 （1）， 无最值.
（2）.
当时，，由，得.
有最值，.
当时，，是增函数.
当时，，是减函数.
故是的最大值.
六、最根与高考题[来源:21世纪教育网]
导数应用于高考，一般都在研究函数的单调性和函数最值问题，对可导函数来讲，这两个问题互相捆绑着，于是导数问题的“根本”则变成“最根”问题.
【例6】 已知可导函数在R上恒有，且不为常数，试研究的单调区间和函数最值.
【解析】 由可知
时，，函数为减函数;
时，，函数为增函数;
由此可知，是的唯一的根，故为最根.故有减区间，增区间，有最大值.
【说明】 本题是在研究“抽象函数”——无具体解析式的一类函数的性质，只在满足性质条件下，通过“最根”的判定而确定了的单调区间和最值.21世纪教育网
有些不等式的证明，还可以通过构造函数，研究这个函数的“最值”而确认不等式是否成立.
【练6】 已知函数，.
（1）求函数的最大值；
（2）设，证明：.
【解析】 （1），
故有唯一的最根，
故的最大值为.
（2），.
设，
则.
当时，，因此在内为减函数.
当时，，因此在上为增函数.
从而，当时，有最小值，21世纪教育网
因为，，所以，即.
【说明】 问题（2）的解决，是用“最根”证明不等式.
七、余兴 荒唐错误 打从何来21世纪教育网
学生小新读完上文，很感兴趣，他模仿着【练4】的题型，只是变了几个系数，结果成了下面的问题.
【例7】 研究函数有无最值.
【小新解答】 .
令，得的唯一驻点为“最点”.
因此有最值.
【讨论】 是最值吗？若为最大值，我们可以找到比它更大的；如果是最小值，我们可以找到比它更小的.
解答错了！错在哪里？作为思考题留给读者.
【提示】 本函数的定义域不是“一个”开区间.

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