资源简介

广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学
1．已知，，则（　　）
A．15 B． C．2 D．3
2．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（　　）
A．8 B．16 C． D．
6．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（　　）米
A． B． C． D．
8．已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．
B．的实部为
C．
D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
10．如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值是
11．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最大值为
12．已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为　 　.
13．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为　 　．
14．如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是　 　．
15．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点.
（1）求五面体的体积；
（2）若在线段上，平面，求的长度.
16．是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且．
（1）用，来表示和；
（2）若的面积为3，求的面积；
（3）若，求的值．
17．已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求角的值．
（2）若的面积为，求线段长度的最小值．
18．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
19．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.
（1）当时，
①求三角形的面积.
②若，求m、n.
（2）若，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查平面向量的线性运算与数量积坐标运算，关键是先用求出的坐标，再代入数量积公式完成计算。
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查复数共轭、复数模长计算，关键是先求出共轭复数z，利用共轭复数模长与原复数模长相等，代入模长公式求值。
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：以所在平面作为下底面还原，则重合，重合，还原成如图正方体：
A，由图可得异面不平行，故A错误；
B，显然，故B正确；
C，，故C错误；
D，由图可得异面不平行，故D错误.
故答案为：B
【分析】先还原正方体，标记重合顶点，再逐一判断直线位置关系：异面、相交、平行三类区分，平行棱互相平行，异面 / 相交直线不平行。
4．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取的中点，的中点，连接，，，
根据正方体的结构特征，易得，，
因为平面，平面，
故平面，同理平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面，且面，
所以平面，即点在平面与平面的交线上，
由题知，所以动点的轨迹长度为.
故答案为：B.
【分析】本题考查面面平行判定与立体几何动点轨迹，关键是构造与平面平行的平面，找到两平面与面的交线，该线段即为的轨迹，再结合长方体棱长计算线段长度。
5．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：取线段的中点，连接、、，如下图所示：
因为，所以，
因为四边形为矩形，则，
因为，
所以，
当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：B
【分析】本题考查向量线性运算与模长最值，核心是利用中点转化，结合直角三角形斜边中线定值、向量三角不等式求解最小值。
6．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高分别为3，
设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为，
因为沙子体积占该沙漏容积的，即，可得，
设沙子堆积成的圆台的高为，所以，解得，
所以沙子堆积成的圆台的高为.
故答案为：A.
【分析】相似圆锥性质：利用 “相似圆锥体积比等于相似比的立方”，将空白小圆锥与大圆锥的体积比转化为高的比例.
体积占比转化：沙子体积 = 下方圆锥体积 - 空白小圆锥体积，结合总体积占比，建立方程.
简化计算：通过设定单个圆锥体积，利用体积比与相似比的立方关系，快速求解空白小圆锥的高，进而得圆台的高.
7．【答案】D
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过作，垂足为，过作，垂足为.
由题意可知，，，，，
，
在中，，
即，；
在中，，
且，
由正弦定理得，，
即，即，
在中，，
又，.
由余弦定理得，，
解得.
故答案为：D
【分析】本题考查解三角形实际测量问题，先利用等角对等边求出，正弦定理求，最后在中用余弦定理计算。
8．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面.
在中，由，，得.
在中，由，，得.
因为为的中点，所以由平面几何知识可知，.
所以，，即为AG的中点，所以.
又由，可得，
又，，所以.
在中，由，，得，所以.
所以在中，有，，，
即，所以.又注意到，
，
则四边形AEDF的面积为.
故答案为：B．
【分析】首先延长辅助线找到完整截面四边形，利用直角三角形、相似三角形求出全部关键边长，然后通过勾股定理判定直角，简化三角形面积计算，最后根据线段比例拆分大三角形，得到截面四边形面积。
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，因为，，则，
所以，
又，所以，故A正确，
B，令，则，所以的实部为，故B错误，
C，令，则，
所以，故C正确，
D，若时，则，
当为偶数时，设，，
所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：代数形式分别计算模长验证等式；B：用棣莫弗定理写出，指出实部含模的三次方；C：共轭复数三角形式相乘，利用同角平方和化简；D：举偶数的反例推翻命题。
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由，可得，
则，故A正确；
B、令，在等边中，，
由选项A得，
，，，
，
则，故B正确；
C、由选项A知，，而，，
，而共线，则，即，故C错误；
D、由选项C知，，
，当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用向量的线性运算，以为基底表示向量即可判断A；利用向量的数量积运算律以及向量的夹角公式求解即可判断B；由选项A的结论，结合共线向量定理推论求解即可判断C；由C可知，利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：由切线长定理易得，A正确；
B：由勾股定理知，解得，B正确；
C：因为，
，
所以正确；
D：因为，当且仅当时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A：内切圆台切线长性质直接得母线；B：轴截面直角三角形勾股定理推导球半径；C：分别写出表面积、体积比值，化简后表达式完全相同；D：均值不等式求上界，但取等条件与圆台定义冲突，故最大值取不到。
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由于 ， ， 均为单位向量，故 ， ， .
给定 ，对两边取模的平方得：代入 ，
可得：，
解得： ，.
故答案为：
【分析】本题考查向量模长与数量积运算，核心是对向量等式两边平方，利用单位向量模长为 1 求出夹角余弦值，再结合夹角取值范围得到夹角大小。
13．【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，
又，则，
设，则，
在中，由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，
又，解得，则.
故答案为：
【分析】本题结合全等三角形、等边三角形性质与正、余弦定理解三角形，先利用正弦定理建立AC与AF的比例，再通过余弦定理构造一元二次方程求出线段参数，最终算出等边三角形边长。
14．【答案】222
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意得，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积，
6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为，
所以这个有孔立方体的表面积为.
故答案为：222
【分析】本题分两部分算表面积：①立方体外表面，减去每个面开孔缺失的小正方形；②内部孔洞侧壁面积，扣除通道交叉重叠重复计算的面积，两部分相加得到完整含孔表面积。
15．【答案】（1）解：将五面体拆成三棱锥和四棱锥，
在三棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，，且为的中点，
所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，
在四棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，且为的中点，
所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，
所以五面体的体积；
（2）解：设，，则平面平面，
又因为平面，且平面，所以，
在矩形中，由，可得，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由图，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，再根据锥体的体积公式求解即可；
（2）设，，根据线面平行的性质证得，再在矩形中，求得的长，根据，为平行四边形，，再根据求解即可.
（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，
在三棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，，且为的中点，
所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，
在四棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，且为的中点，
所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，
所以五面体的体积.
（2）解：设，，则平面平面，
又因为平面，且平面，所以，
在矩形中，由，可得，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以.
16．【答案】（1）解：由已知，
为重心，所以.
.
（2）解：由（1），所以，
所以.
（3）解：为的外心，设中点，则，
.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 将统一转化为线性组合得到，利用重心向量公式写出，通过向量减法化简得到；
(2) 整理表达式发现其与共线，得到两三角形同高，面积比等于底边长之比，结合已知面积求出面积；
(3) 利用外心性质，取中点得到垂直关系，将数量积转化为线段长度运算，代入的数值计算出。
（1）由已知，
为重心，所以.
.
（2）由（1），所以，
所以.
（3）为的外心，设中点，则，
.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，所以，
即，即，
因为，所以，所以；
（2）解：由（1）得，
因为的面积为，即，所以，
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故线段长度的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角差的余弦公式化简求即可；
（2）由（1）得，利用三角形面积公式求得，由题意可得，利用向量数量积的运算律求得，结合基本不等式求的最小值即可.
（1）因为，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
即，
即.
因为，所以，
所以.
（2）由（1）得，
因为的面积为，即，
所以.
因为，
所以，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立，
所以线段长度的最小值为.
18．【答案】（1）证明：记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以，
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）解：延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】(1) 取AB中点构造中位线，分别证两条相交直线平行于平面EBC，推出面面平行，再由线在面内得到线面平行；
(2) 延长线段找交线，利用线面平行性质得到确定四点共面的N点，结合平面几何相似比例计算线段比值。
（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以，
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
19．【答案】（1）解：当时，由条件知，，，
所以，，
所以，
①、三角形的面积为；
②、作交于点M，
由①知，同理，
所以，
，
所以，
以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
所以，；
（2）解：设与相交于点Q，则且，
所以，
又，所以，
所以，
所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，
则，设，，
由余弦定理知，
又在中由等面积法知，
所以，所以，
又正三角形的高为，所以，
所以，
即
，
当且仅当，即，即时，取得最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）解三角形求出、和，利用两角和的正弦公式求得的值，①，利用三角形的面积公式求解即可；
②、作于点M，由①知，同理，求出和，根据求出，再以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出、和即可由求出；
（2）设与相交于点Q，根据向量的线性运算求得，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，有，设，，利用余弦定理以及等面积法，结合三角恒等变换可得关于的表达式，最后利用基本不等式求最值即可.
（1）当时，由条件知，，，
所以，，
所以
，
①三角形的面积为.
②方法一（坐标法）：作交于点M，
由①知，同理，
所以，
，
所以，
以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
所以，.
方法二（向量法）：因为，，，，
所以，，
作于点M，则，，
所以，
，
所以，.
由①知，同理，
所以，
，
所以，
所以，.
（2）设与相交于点Q，则且，
所以，
又，所以，
所以，
所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，
则，设，，
由余弦定理知，
又在中由等面积法知，
所以，所以，
又正三角形的高为，所以，
所以，
即
，
当且仅当，即，即时，取得最小值为.
1 / 1广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学
1．已知，，则（　　）
A．15 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查平面向量的线性运算与数量积坐标运算，关键是先用求出的坐标，再代入数量积公式完成计算。
2．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查复数共轭、复数模长计算，关键是先求出共轭复数z，利用共轭复数模长与原复数模长相等，代入模长公式求值。
3．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：以所在平面作为下底面还原，则重合，重合，还原成如图正方体：
A，由图可得异面不平行，故A错误；
B，显然，故B正确；
C，，故C错误；
D，由图可得异面不平行，故D错误.
故答案为：B
【分析】先还原正方体，标记重合顶点，再逐一判断直线位置关系：异面、相交、平行三类区分，平行棱互相平行，异面 / 相交直线不平行。
4．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取的中点，的中点，连接，，，
根据正方体的结构特征，易得，，
因为平面，平面，
故平面，同理平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面，且面，
所以平面，即点在平面与平面的交线上，
由题知，所以动点的轨迹长度为.
故答案为：B.
【分析】本题考查面面平行判定与立体几何动点轨迹，关键是构造与平面平行的平面，找到两平面与面的交线，该线段即为的轨迹，再结合长方体棱长计算线段长度。
5．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（　　）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：取线段的中点，连接、、，如下图所示：
因为，所以，
因为四边形为矩形，则，
因为，
所以，
当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：B
【分析】本题考查向量线性运算与模长最值，核心是利用中点转化，结合直角三角形斜边中线定值、向量三角不等式求解最小值。
6．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高分别为3，
设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为，
因为沙子体积占该沙漏容积的，即，可得，
设沙子堆积成的圆台的高为，所以，解得，
所以沙子堆积成的圆台的高为.
故答案为：A.
【分析】相似圆锥性质：利用 “相似圆锥体积比等于相似比的立方”，将空白小圆锥与大圆锥的体积比转化为高的比例.
体积占比转化：沙子体积 = 下方圆锥体积 - 空白小圆锥体积，结合总体积占比，建立方程.
简化计算：通过设定单个圆锥体积，利用体积比与相似比的立方关系，快速求解空白小圆锥的高，进而得圆台的高.
7．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（　　）米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过作，垂足为，过作，垂足为.
由题意可知，，，，，
，
在中，，
即，；
在中，，
且，
由正弦定理得，，
即，即，
在中，，
又，.
由余弦定理得，，
解得.
故答案为：D
【分析】本题考查解三角形实际测量问题，先利用等角对等边求出，正弦定理求，最后在中用余弦定理计算。
8．已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面.
在中，由，，得.
在中，由，，得.
因为为的中点，所以由平面几何知识可知，.
所以，，即为AG的中点，所以.
又由，可得，
又，，所以.
在中，由，，得，所以.
所以在中，有，，，
即，所以.又注意到，
，
则四边形AEDF的面积为.
故答案为：B．
【分析】首先延长辅助线找到完整截面四边形，利用直角三角形、相似三角形求出全部关键边长，然后通过勾股定理判定直角，简化三角形面积计算，最后根据线段比例拆分大三角形，得到截面四边形面积。
9．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．
B．的实部为
C．
D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，因为，，则，
所以，
又，所以，故A正确，
B，令，则，所以的实部为，故B错误，
C，令，则，
所以，故C正确，
D，若时，则，
当为偶数时，设，，
所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：代数形式分别计算模长验证等式；B：用棣莫弗定理写出，指出实部含模的三次方；C：共轭复数三角形式相乘，利用同角平方和化简；D：举偶数的反例推翻命题。
10．如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值是
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由，可得，
则，故A正确；
B、令，在等边中，，
由选项A得，
，，，
，
则，故B正确；
C、由选项A知，，而，，
，而共线，则，即，故C错误；
D、由选项C知，，
，当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用向量的线性运算，以为基底表示向量即可判断A；利用向量的数量积运算律以及向量的夹角公式求解即可判断B；由选项A的结论，结合共线向量定理推论求解即可判断C；由C可知，利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可判断D.
11．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最大值为
【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：由切线长定理易得，A正确；
B：由勾股定理知，解得，B正确；
C：因为，
，
所以正确；
D：因为，当且仅当时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A：内切圆台切线长性质直接得母线；B：轴截面直角三角形勾股定理推导球半径；C：分别写出表面积、体积比值，化简后表达式完全相同；D：均值不等式求上界，但取等条件与圆台定义冲突，故最大值取不到。
12．已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由于 ， ， 均为单位向量，故 ， ， .
给定 ，对两边取模的平方得：代入 ，
可得：，
解得： ，.
故答案为：
【分析】本题考查向量模长与数量积运算，核心是对向量等式两边平方，利用单位向量模长为 1 求出夹角余弦值，再结合夹角取值范围得到夹角大小。
13．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，
又，则，
设，则，
在中，由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，
又，解得，则.
故答案为：
【分析】本题结合全等三角形、等边三角形性质与正、余弦定理解三角形，先利用正弦定理建立AC与AF的比例，再通过余弦定理构造一元二次方程求出线段参数，最终算出等边三角形边长。
14．如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是　 　．
【答案】222
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意得，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积，
6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为，
所以这个有孔立方体的表面积为.
故答案为：222
【分析】本题分两部分算表面积：①立方体外表面，减去每个面开孔缺失的小正方形；②内部孔洞侧壁面积，扣除通道交叉重叠重复计算的面积，两部分相加得到完整含孔表面积。
15．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点.
（1）求五面体的体积；
（2）若在线段上，平面，求的长度.
【答案】（1）解：将五面体拆成三棱锥和四棱锥，
在三棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，，且为的中点，
所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，
在四棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，且为的中点，
所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，
所以五面体的体积；
（2）解：设，，则平面平面，
又因为平面，且平面，所以，
在矩形中，由，可得，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由图，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，再根据锥体的体积公式求解即可；
（2）设，，根据线面平行的性质证得，再在矩形中，求得的长，根据，为平行四边形，，再根据求解即可.
（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，
在三棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，，且为的中点，
所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，
在四棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，且为的中点，
所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，
所以五面体的体积.
（2）解：设，，则平面平面，
又因为平面，且平面，所以，
在矩形中，由，可得，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以.
16．是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且．
（1）用，来表示和；
（2）若的面积为3，求的面积；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：由已知，
为重心，所以.
.
（2）解：由（1），所以，
所以.
（3）解：为的外心，设中点，则，
.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 将统一转化为线性组合得到，利用重心向量公式写出，通过向量减法化简得到；
(2) 整理表达式发现其与共线，得到两三角形同高，面积比等于底边长之比，结合已知面积求出面积；
(3) 利用外心性质，取中点得到垂直关系，将数量积转化为线段长度运算，代入的数值计算出。
（1）由已知，
为重心，所以.
.
（2）由（1），所以，
所以.
（3）为的外心，设中点，则，
.
17．已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求角的值．
（2）若的面积为，求线段长度的最小值．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，所以，
即，即，
因为，所以，所以；
（2）解：由（1）得，
因为的面积为，即，所以，
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故线段长度的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角差的余弦公式化简求即可；
（2）由（1）得，利用三角形面积公式求得，由题意可得，利用向量数量积的运算律求得，结合基本不等式求的最小值即可.
（1）因为，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
即，
即.
因为，所以，
所以.
（2）由（1）得，
因为的面积为，即，
所以.
因为，
所以，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立，
所以线段长度的最小值为.
18．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
【答案】（1）证明：记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以，
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）解：延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】(1) 取AB中点构造中位线，分别证两条相交直线平行于平面EBC，推出面面平行，再由线在面内得到线面平行；
(2) 延长线段找交线，利用线面平行性质得到确定四点共面的N点，结合平面几何相似比例计算线段比值。
（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以，
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
19．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.
（1）当时，
①求三角形的面积.
②若，求m、n.
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）解：当时，由条件知，，，
所以，，
所以，
①、三角形的面积为；
②、作交于点M，
由①知，同理，
所以，
，
所以，
以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
所以，；
（2）解：设与相交于点Q，则且，
所以，
又，所以，
所以，
所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，
则，设，，
由余弦定理知，
又在中由等面积法知，
所以，所以，
又正三角形的高为，所以，
所以，
即
，
当且仅当，即，即时，取得最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）解三角形求出、和，利用两角和的正弦公式求得的值，①，利用三角形的面积公式求解即可；
②、作于点M，由①知，同理，求出和，根据求出，再以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出、和即可由求出；
（2）设与相交于点Q，根据向量的线性运算求得，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，有，设，，利用余弦定理以及等面积法，结合三角恒等变换可得关于的表达式，最后利用基本不等式求最值即可.
（1）当时，由条件知，，，
所以，，
所以
，
①三角形的面积为.
②方法一（坐标法）：作交于点M，
由①知，同理，
所以，
，
所以，
以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
所以，.
方法二（向量法）：因为，，，，
所以，，
作于点M，则，，
所以，
，
所以，.
由①知，同理，
所以，
，
所以，
所以，.
（2）设与相交于点Q，则且，
所以，
又，所以，
所以，
所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，
则，设，，
由余弦定理知，
又在中由等面积法知，
所以，所以，
又正三角形的高为，所以，
所以，
即
，
当且仅当，即，即时，取得最小值为.
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