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湖南常德市汉寿县第一中学2026届高三下学期考前模拟自测数学试题
1．，，则集合（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：，，.
故答案为：C.
【分析】根据并集的运算即可求解.
2．复数的实部与虚部之和为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2025
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知，
所以，
可知复数的实部为1，虚部为2，因此实部与虚部之和为3.
故答案为：C.
【分析】由复数乘方的规律，结合复数的乘法公式求实部和虚部即可.
3．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（　　）
A．变大 B．变小
C．当时，变大 D．当时，变大
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则，
即扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比的变化情况与，的大小有关，故，错误；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大，故C正确；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小，故D错误.
故答案为：.
【分析】由题意原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，利用作差法比较判断即可.
4．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；
这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；
因为，即，所以，故B正确；
，即，所以，故C正确.
故答案为：A.
【分析】作出图象，利用函数零点的定义结合图象逐项判断即可.
5．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的点，且满足：，，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：直线与平面BEF无公共点，即直线平面BEF，
取中点，连接，在上取点，使得，连接，
因为，所以，
又，故四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
又，即为的中点，故，
又，故，
又，所以，
故，故，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
当点在线段上时，平面，
点P的轨迹长度即为的长，
取的中点，连接，则，⊥，
其中，由勾股定理得.
故答案为：C.
【分析】取中点，连接，在上取点，作出辅助线，由线线平行，结合面面平行的判定定理证明平面平面，从而当点在线段上时，平面，点P的轨迹长度即为的长，取的中点，连接，由勾股定理求出轨迹长度即可.
6．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，又，所以，
由，所以，所以，所以，即①，
又因为，所以②，
由①②解得，
所以，
所以，
由有，即，
解得，
所以使成立的的最大值是，
故答案为：C.
【分析】根据等差数列基本量的运算求出和，又，则，再解不等式即可.
7．若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：设，
因为在上单调递增，所以，又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】设，根据正弦函数单调性求参数范围即可.
8．过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由得：，
平方可得：，
设，由题意可知：，
点绕逆时针旋转得到点，得与轴垂直，且，
可得：，
所以点的轨迹方程为：，焦点坐标为
所以，
即，当三点共线时取等号，
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，进而得到点的轨迹方程为，再利用抛物线的定义求最值即可.
9．下列说法中不正确的是（　　）
A．若随机变量，则
B．若三个随机事件两两独立，则
C．一组数据是，则该组数据的第三四分位数是82.5
D．在线性回归分析中，两个变量的相关系数越大，变量之间相关性越强
【答案】B,D
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征；二项分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为随机变量，那么，
则，，
，故A正确；
三个随机事件两两独立，且相互独立才有，故B错误；
将数据从小到大排序为，
因为，则该组数据的第三四分位数是第6项与第7项的平均数，故C正确；
在回归分析中，相关系数的绝对值越大，变量之间的相关性越强，而不是相关系数越大，变量之间相关性越强，因为相关系数有正负之分，正相关系数表示正相关，负相关系数表示负相关，故D错误.
故答案为：BD.
【分析】根据二项分布的期望与方差公式求解即可判断A；根据独立事件概率的乘法公式求解即可判断B；先将数据从小到大排列，再利用百分位数的计算方法求解即可判断C；根据回归分析，相关系数的意义即可判断D.
10．已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程是
C．直线与的斜率之积为4 D．若，则的面积为4
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意得直线与双曲线两交点关于原点对称，不妨设在第一象限，
由，所以，
设，由直线斜率为可知，
则，，则，
代入双曲线方程有，
即，化简得，
化简得，，解得，则，故A错误；
由，所以，所以双曲线的渐近线方程是，故B正确；
由，则双曲线方程可化为，
设，根据对称性得，
根据点在双曲线上则有，
①②得，即，
，故C正确；
点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，
故，
又是的中位线，故，
点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，则点的轨迹方程为，
因为，所以，所以双曲线方程为，
所以，则，又，
所以，故D正确；
故答案为：BCD
【分析】对于A，由题可知，再代入求离心率即可；对于B，根据离心率得到渐近线方程；对于C，利用点差法可得；对于D，由题可知双曲线方程为，再求的面积即可.
11．下列说法，正确的有（　　）
A．在斜三角形中，恒有
B．已知，则的最大值为
C．已知实数满足，则.
D．已知点是圆上的动点，且，点是直线上的动点，则的最小值为1
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；平面向量的数量积运算；三角函数恒等式的证明；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，则存在，又因为，整理可得，故A正确；
B、设，即，
则
，
其中，当时取得等号，
即，解得，
不妨取为锐角，可知，，符合题意，
则的最大值为，故B正确；
C、设，可得，
则即为，
整理可得，
构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，即，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
且，即，当且仅当，即时，等号成立，
若，可得，，
则，所以，故C错误；
D、圆的圆心为，半径，
则圆心到直线，即的距离，
因为，则，可知为圆的直径，
又因为，
所以的最小值为1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角形的内角和定理，可得，结合两角和的正切公式化简即可判断A；设，利用辅助角公式可得，解得，确定的最大值即可判断B；设，整理可得，构造，求导，利用导数判断其单调性，结合不等式分析可得，，即可判断C；易知圆心和半径，利用点到直线的距离公式，结合分析可知为圆的直径，整理可得，进而可得最小值即可判断D.
12．已知实数，且满足，则　 　．
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以.
又因为或（舍去），
所以.
故答案为：2.
【分析】根据与的倒数关系，从而列式求出满足条件的实数a的值.
13．已知函数，若存在，使得，则的最小值为　 　.
【答案】4
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：
又，，，
或，
①当时，即，
则，
所以，
，而，，所以，
代入得，
所以，
当时，可取；
②时，
同理，
则，
，而，，所以，
代入得，
所以，
当时，可取；
综上的最小值为：4
故答案为：4.
【分析】化简得，由可得和，据此求解即可．
14．平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为　 　（用数字作答）．
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分以下几种情况讨论：
①次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，此时不同的移动方法种数为种；
②次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为种；
③次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，次向上移动一步，次向下移动一步，
此时不同的移动方法种数为种；
④次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，次向右移动一步，次向左移动一步，
此时不同的移动方法种数为种.
综上所述，不同的移动方法种数为种.
故答案为：400
【分析】根据题意向左向右的步数相等，向上向下移动的步数相等，据此讨论即可.
15．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.
（1）若，证明：平面OCE；
（2）若，平面平面PBC，求λ的值．
【答案】（1）证明：取中点F，设与交于点G，连接，，
由知D为中点，且F为中点，则，
则E为中点，且G为中点，
因为O为中点，则，
且平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面，
则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因，
则，，，，．
可得，，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则。
令，则，可得，
若平面平面，则，解得．
故的值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）取中点F，设与交于点G，连接，，易得，再由线面平行的判定证明即可；
（2）以C为原点建立平面直角坐标系，再利用向量法证明面面垂直即可.
（1）略
（2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面，
则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因，
则，，，，．
可得，，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则。
令，则，可得，
若平面平面，则，解得．
故的值为．
16．已知椭圆：左焦点，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由已知，解得，
所以C的方程为
（2）设MN：，，，
将直线与椭圆方程联立，
整理得，
经检验，
根据韦达定理，
因为，所以，即，
所以，整理得，
将韦达定理代入得，
去分母后整理得，解得，

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题可知，再解方程即可；
（2）设MN：，，，联立可得，结合即可求解.
（1）由已知，
解得，所以C的方程为
（2）设MN：，，
将直线与椭圆方程联立，
整理得，
经检验，
根据韦达定理，
因为，所以，即，
所以，整理得，
将韦达定理代入得，
去分母后整理得，解得，
17．在中，内角所对的边分别为，已知为边上一点.
（1）若为的中点，且，求；
（2）若平分，且，求的面积.
【答案】（1）解：在中，，
因为为的中点，所以，两边平方得，
即，解得；
（2）解：因为平分，所以，
又因为，所以，解得，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意可得，两边平方，结合向量的数量积运算求解得值即可；
（2）由题意可得，根据求得值，再利用三角形面积公式求的面积即可.
（1）在中，，
因为为的中点，所以，
两边平方得，
则，
解得.
（2）因为平分，所以，
又，
所以，解得，
所以.
18．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，令，解得或，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合，分析函数的零点情况即可；
（3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明结论.
（1）证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，由，得或.
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增.
当时，，
若，则，若，则.
当时，，
若，则，若，则.
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，.
设函数，则，
，则在上单调递增.
因为在上单调递增，且，所以.
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故.
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
19．聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
（1）求一个问题的应答被采纳的概率；
（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
【答案】（1）解：记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，
则，
.
（2）解：依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用全概率公式计算，
（2）依题意，，再根据二项分布求概率的最大值即可.
（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则
，
.
（2）依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
1 / 1湖南常德市汉寿县第一中学2026届高三下学期考前模拟自测数学试题
1．，，则集合（　　）
A． B． C． D．
2．复数的实部与虚部之和为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2025
3．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（　　）
A．变大 B．变小
C．当时，变大 D．当时，变大
4．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的点，且满足：，，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．
6．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．下列说法中不正确的是（　　）
A．若随机变量，则
B．若三个随机事件两两独立，则
C．一组数据是，则该组数据的第三四分位数是82.5
D．在线性回归分析中，两个变量的相关系数越大，变量之间相关性越强
10．已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程是
C．直线与的斜率之积为4 D．若，则的面积为4
11．下列说法，正确的有（　　）
A．在斜三角形中，恒有
B．已知，则的最大值为
C．已知实数满足，则.
D．已知点是圆上的动点，且，点是直线上的动点，则的最小值为1
12．已知实数，且满足，则　 　．
13．已知函数，若存在，使得，则的最小值为　 　.
14．平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为　 　（用数字作答）．
15．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.
（1）若，证明：平面OCE；
（2）若，平面平面PBC，求λ的值．
16．已知椭圆：左焦点，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围.
17．在中，内角所对的边分别为，已知为边上一点.
（1）若为的中点，且，求；
（2）若平分，且，求的面积.
18．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
19．聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
（1）求一个问题的应答被采纳的概率；
（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：，，.
故答案为：C.
【分析】根据并集的运算即可求解.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知，
所以，
可知复数的实部为1，虚部为2，因此实部与虚部之和为3.
故答案为：C.
【分析】由复数乘方的规律，结合复数的乘法公式求实部和虚部即可.
3．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则，
即扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比的变化情况与，的大小有关，故，错误；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大，故C正确；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小，故D错误.
故答案为：.
【分析】由题意原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，利用作差法比较判断即可.
4．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；
这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；
因为，即，所以，故B正确；
，即，所以，故C正确.
故答案为：A.
【分析】作出图象，利用函数零点的定义结合图象逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：直线与平面BEF无公共点，即直线平面BEF，
取中点，连接，在上取点，使得，连接，
因为，所以，
又，故四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
又，即为的中点，故，
又，故，
又，所以，
故，故，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
当点在线段上时，平面，
点P的轨迹长度即为的长，
取的中点，连接，则，⊥，
其中，由勾股定理得.
故答案为：C.
【分析】取中点，连接，在上取点，作出辅助线，由线线平行，结合面面平行的判定定理证明平面平面，从而当点在线段上时，平面，点P的轨迹长度即为的长，取的中点，连接，由勾股定理求出轨迹长度即可.
6．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，又，所以，
由，所以，所以，所以，即①，
又因为，所以②，
由①②解得，
所以，
所以，
由有，即，
解得，
所以使成立的的最大值是，
故答案为：C.
【分析】根据等差数列基本量的运算求出和，又，则，再解不等式即可.
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：设，
因为在上单调递增，所以，又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】设，根据正弦函数单调性求参数范围即可.
8．【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由得：，
平方可得：，
设，由题意可知：，
点绕逆时针旋转得到点，得与轴垂直，且，
可得：，
所以点的轨迹方程为：，焦点坐标为
所以，
即，当三点共线时取等号，
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，进而得到点的轨迹方程为，再利用抛物线的定义求最值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征；二项分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为随机变量，那么，
则，，
，故A正确；
三个随机事件两两独立，且相互独立才有，故B错误；
将数据从小到大排序为，
因为，则该组数据的第三四分位数是第6项与第7项的平均数，故C正确；
在回归分析中，相关系数的绝对值越大，变量之间的相关性越强，而不是相关系数越大，变量之间相关性越强，因为相关系数有正负之分，正相关系数表示正相关，负相关系数表示负相关，故D错误.
故答案为：BD.
【分析】根据二项分布的期望与方差公式求解即可判断A；根据独立事件概率的乘法公式求解即可判断B；先将数据从小到大排列，再利用百分位数的计算方法求解即可判断C；根据回归分析，相关系数的意义即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意得直线与双曲线两交点关于原点对称，不妨设在第一象限，
由，所以，
设，由直线斜率为可知，
则，，则，
代入双曲线方程有，
即，化简得，
化简得，，解得，则，故A错误；
由，所以，所以双曲线的渐近线方程是，故B正确；
由，则双曲线方程可化为，
设，根据对称性得，
根据点在双曲线上则有，
①②得，即，
，故C正确；
点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，
故，
又是的中位线，故，
点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，则点的轨迹方程为，
因为，所以，所以双曲线方程为，
所以，则，又，
所以，故D正确；
故答案为：BCD
【分析】对于A，由题可知，再代入求离心率即可；对于B，根据离心率得到渐近线方程；对于C，利用点差法可得；对于D，由题可知双曲线方程为，再求的面积即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；平面向量的数量积运算；三角函数恒等式的证明；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，则存在，又因为，整理可得，故A正确；
B、设，即，
则
，
其中，当时取得等号，
即，解得，
不妨取为锐角，可知，，符合题意，
则的最大值为，故B正确；
C、设，可得，
则即为，
整理可得，
构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，即，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
且，即，当且仅当，即时，等号成立，
若，可得，，
则，所以，故C错误；
D、圆的圆心为，半径，
则圆心到直线，即的距离，
因为，则，可知为圆的直径，
又因为，
所以的最小值为1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角形的内角和定理，可得，结合两角和的正切公式化简即可判断A；设，利用辅助角公式可得，解得，确定的最大值即可判断B；设，整理可得，构造，求导，利用导数判断其单调性，结合不等式分析可得，，即可判断C；易知圆心和半径，利用点到直线的距离公式，结合分析可知为圆的直径，整理可得，进而可得最小值即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以.
又因为或（舍去），
所以.
故答案为：2.
【分析】根据与的倒数关系，从而列式求出满足条件的实数a的值.
13．【答案】4
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：
又，，，
或，
①当时，即，
则，
所以，
，而，，所以，
代入得，
所以，
当时，可取；
②时，
同理，
则，
，而，，所以，
代入得，
所以，
当时，可取；
综上的最小值为：4
故答案为：4.
【分析】化简得，由可得和，据此求解即可．
14．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分以下几种情况讨论：
①次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，此时不同的移动方法种数为种；
②次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为种；
③次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，次向上移动一步，次向下移动一步，
此时不同的移动方法种数为种；
④次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，次向右移动一步，次向左移动一步，
此时不同的移动方法种数为种.
综上所述，不同的移动方法种数为种.
故答案为：400
【分析】根据题意向左向右的步数相等，向上向下移动的步数相等，据此讨论即可.
15．【答案】（1）证明：取中点F，设与交于点G，连接，，
由知D为中点，且F为中点，则，
则E为中点，且G为中点，
因为O为中点，则，
且平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面，
则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因，
则，，，，．
可得，，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则。
令，则，可得，
若平面平面，则，解得．
故的值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）取中点F，设与交于点G，连接，，易得，再由线面平行的判定证明即可；
（2）以C为原点建立平面直角坐标系，再利用向量法证明面面垂直即可.
（1）略
（2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面，
则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因，
则，，，，．
可得，，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则。
令，则，可得，
若平面平面，则，解得．
故的值为．
16．【答案】（1）解：由已知，解得，
所以C的方程为
（2）设MN：，，，
将直线与椭圆方程联立，
整理得，
经检验，
根据韦达定理，
因为，所以，即，
所以，整理得，
将韦达定理代入得，
去分母后整理得，解得，

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题可知，再解方程即可；
（2）设MN：，，，联立可得，结合即可求解.
（1）由已知，
解得，所以C的方程为
（2）设MN：，，
将直线与椭圆方程联立，
整理得，
经检验，
根据韦达定理，
因为，所以，即，
所以，整理得，
将韦达定理代入得，
去分母后整理得，解得，
17．【答案】（1）解：在中，，
因为为的中点，所以，两边平方得，
即，解得；
（2）解：因为平分，所以，
又因为，所以，解得，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意可得，两边平方，结合向量的数量积运算求解得值即可；
（2）由题意可得，根据求得值，再利用三角形面积公式求的面积即可.
（1）在中，，
因为为的中点，所以，
两边平方得，
则，
解得.
（2）因为平分，所以，
又，
所以，解得，
所以.
18．【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，令，解得或，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合，分析函数的零点情况即可；
（3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明结论.
（1）证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，由，得或.
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增.
当时，，
若，则，若，则.
当时，，
若，则，若，则.
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，.
设函数，则，
，则在上单调递增.
因为在上单调递增，且，所以.
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故.
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
19．【答案】（1）解：记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，
则，
.
（2）解：依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用全概率公式计算，
（2）依题意，，再根据二项分布求概率的最大值即可.
（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则
，
.
（2）依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
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