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广东广州市第六中学2026届高三下学期考前自测数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，且，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用高次不等式求解方法，从而得出集合，再由交集的运算法则，从而得出集合.
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数满足，即，
化简可得，
所以复数的模为.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算得，再求模长即可.
3．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为.
故答案为：D
【分析】根据题意得到圆心及半径即可得到圆的方程.
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：当时，且递减，则函数在上单调递减，
且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”，
当时，且递增，则函数在上单调递减，
且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，结合导函数绝对值的大小判断函数增减的快慢即可.
5．从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（　　）
A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知：
样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），
则，
事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，；
事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，；
事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件AC：（甲，乙），则，；
对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误；
对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误；
对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据互斥事件和独立事件的定义逐项判断即可.
6．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦公式和诱导公式，从而得出的值.
7．已知，设函数的零点个数为，则＝（　　）
A．120 B．210 C．75 D．240
【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：过点，
则可作出的图象.
当n＝1时，作出的图象，
因为，故的图象与图象有3个交点；
注意到的周期为4，，
n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，再结合等差数列前项和公式求解.
8．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；余弦定理
【解析】【解答】解：连接、，交于点，连接，
因为为菱形，，所以，，，
所以为二面角的平面角，即，
又因为，
所以，
取中点，取中点，连接、、，所以、，
所以、，，相交，所以平面，
所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，
因为，，，
所以的周长为，
所以点轨迹的长度为．
故答案为：A．
【分析】连接、，交于点，连接，推出为二面角的平面角，即，利用余弦定理求得，取中点，取中点，连接、、，利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可．
9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则等差数列的前项和公式为，
当时，是过原点的直线上的点，故选项B正确，
当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点，
则是过原点的抛物线上的点，故选项A、选项D正确．
故答案为：ABD．
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列前n项和公式得出与d的关系式，再分和两种情况讨论结合直线图象与点的位置关系、二次函数的图象与点的位置关系，从而逐项判断找出可能是所对应的图象的选项.
10．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（　　）
A．甲组中位数为3，极差为4
B．乙组平均数为2，众数为2
C．丙组平均数为3，方差为2
D．丁组平均数为3，第65百分位数为6
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、假设存在选手失分超过7分，失8分，
根据极差为4，得到最低失分为4分，此时中位数不可能为3，故假设不成立，
则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故A正确；
B、假设乙组的失分情况为，
满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，故B错误；
C、丙组的失分情况从小到大排列依次为，丙组平均数为3，方差为2，
即，
若，则，不合要求，故，
所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确；
D、，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数，
即从小到大第7个数为6，假设丁组失分情况为，
满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛盾即可判断A；举特例假设乙组的失分情况为，求平均数和众数即可判断B；根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，即可判断C；举出反例，假设乙组的失分情况为，求解即可判断D.
11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误，
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以， B正确，
对于C，记，
所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，C正确.
对于D，因为，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，D正确，
故答案为：BCD.
【分析】对于A，设双曲线方程为，再代入即可得到双曲线方程；对于B，根据光的传播即可判断；对于C，记，再利用勾股定理结合双曲线的定义可得；对于D，根据角平分线的求解方式求解．
12．已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在方向上的投影向量为，即，
所以，则，
故.
故答案为：2.
【分析】由投影向量的公式，得到，再结合模长公式求解即可.
13．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为，
球的表面积为，所以，
即，解得（负值舍去），
故圆锥的底面直径与母线长的比值为．
故答案为：.
【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则，再算比值即可.
14．已知函数有三个零点（），则　 　．
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，；时，，，
函数的图象，如图：
函数有三个不同的零点，令，
则方程有两个不同的实数根，
，，
因此，即，且，
所以.
故答案为：1.
【分析】令，利用导数分析函数的单调性，画出函数图象，再根据零点个数求解.
15．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
又的最小正周期为，，则，所以；
（2）解：由（1）知，，
由时，得到，所以或，
即或，
因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；所以，
故的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦的两角和公式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简函数可得，再根据函数的最小正周期公式求解即可；
（2）由（1）知，，令，可得或，再结合条件，求解即可.
（1），
又的最小正周期为，，则，所以.
（2）由（1）知，所以，
由时，得到，所以或
即或，
因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；
所以，
故的取值范围是.
16．已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成角最大时，求二面角M－BC－A的余弦值．
【答案】（1）解：四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，
设的中点为，连接，
依题意，，，，
则，在中，，于是，
由，平面，得平面，
而平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，，平面，则平面，
是直线与平面所成的角，且，
则当最短时，即是的中点时，最大，而直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此，由图知二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，证明平面结合面面垂直的判定定理求解.
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求二面角即可.
（1）四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，
设的中点为，连接，
依题意，，，，
则，在中，，于是，
由，平面，得平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，，平面，则平面，
是直线与平面所成的角，且，
则当最短时，即是的中点时，最大，而直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此，由图知二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆离心率公式设出、的比例关系，结合椭圆标准方程和已知点坐标，代入求解得到、，进而确定椭圆标准方程；
(2) 设过的直线方程为（避免斜率不存在的讨论），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、；结合三角形内切圆半径公式周长，以及弦长公式，建立等式求出，再通过向量或距离公式计算。
（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
18．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码．
（1）若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率；
（2）记的数学期望为，记．
①设数列的前项和为，求证：；
②设与最接近的整数为，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，设向右下落次数为，
因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，
所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，
，
小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为；
（2）解：①、，则，
所以，所以，
因为，所以，
故数列的前项和；
②因为，所以，
当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故，
所以，
当时，，所以，
由于，故，
当时，，所以，
由于，可得，
则.
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据条件概率公式求解即可；
（2）①、随机变量服从二项分布，，根据二项分布的期望公式可得，则，，利用作差法得到，故；
②、，分为奇数和偶数，得到的通项公式，进而分奇偶，分组求和即可.
（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，
设向右下落次数为．
因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，
所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，
所以，
小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为；
（2）①，则，
所以，所以．
因为，所以．
故数列的前项和．
②因为，所以．
当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故．
所以，
当时，，所以，
由于，故，
当时，，所以，
由于，故，
所以.
19．记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围；
（3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”.
【答案】（1）解：函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，当且仅当和时等号成立，
即由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂；
（2）解：设，
因为和在上＂3次缠绕＂，所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，所以是的三个零点，
注意到，则1是的一个零点，
，
①、当时，在上单调递增，1是的唯一零点，不合题意，
②、当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意，
③、当时，令，存在两根，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，所以存在，
又，
所以存在，
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是；
（3）解：方法一：取，设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立，
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，所以与同号（＊），
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以，
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”，
综上，存在，使得，且和在上“次缠绕”.
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当和时，，对任意，结合“次缠绕”的定义判断即可；
（2）设，问题转化为存在互异的三个正数，使得，注意到，则1是的一个零点，求导得，再分、和讨论求解即可；
（3）方法一：取，设，令，则，且，根据“次缠绕”定义即可证明存在；
方法二：记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可.
（1）函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，
当且仅当和时，等号成立，
所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂．
（2）设，
因为和在上＂3次缠绕＂，
所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，
所以是的三个零点．
注意到，所以1是的一个零点．
，
①当时，在上单调递增，
1是的唯一零点，不合题意．
②当时，在上单调递减，
1是的唯一零点，不合题意．
③当时，令，存在两根，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，因为，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，
所以存在．
又，
所以存在．
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是．
（3）方法一：取，
设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立．
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，
所以与同号，（＊）
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以．
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”．
综上，存在，使得，
且和在上“次缠绕”
1 / 1广东广州市第六中学2026届高三下学期考前自测数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（　　）
A． B．
C． D．
5．从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（　　）
A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立
6．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，设函数的零点个数为，则＝（　　）
A．120 B．210 C．75 D．240
8．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．
9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
10．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（　　）
A．甲组中位数为3，极差为4
B．乙组平均数为2，众数为2
C．丙组平均数为3，方差为2
D．丁组平均数为3，第65百分位数为6
11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
12．已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则　 　．
13．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为　 　．
14．已知函数有三个零点（），则　 　．
15．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．
16．已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成角最大时，求二面角M－BC－A的余弦值．
17．已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.
18．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码．
（1）若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率；
（2）记的数学期望为，记．
①设数列的前项和为，求证：；
②设与最接近的整数为，求数列的前项和．
19．记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围；
（3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，且，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用高次不等式求解方法，从而得出集合，再由交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数满足，即，
化简可得，
所以复数的模为.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算得，再求模长即可.
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为.
故答案为：D
【分析】根据题意得到圆心及半径即可得到圆的方程.
4．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：当时，且递减，则函数在上单调递减，
且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”，
当时，且递增，则函数在上单调递减，
且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，结合导函数绝对值的大小判断函数增减的快慢即可.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知：
样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），
则，
事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，；
事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，；
事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件AC：（甲，乙），则，；
对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误；
对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误；
对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据互斥事件和独立事件的定义逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦公式和诱导公式，从而得出的值.
7．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：过点，
则可作出的图象.
当n＝1时，作出的图象，
因为，故的图象与图象有3个交点；
注意到的周期为4，，
n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，再结合等差数列前项和公式求解.
8．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；余弦定理
【解析】【解答】解：连接、，交于点，连接，
因为为菱形，，所以，，，
所以为二面角的平面角，即，
又因为，
所以，
取中点，取中点，连接、、，所以、，
所以、，，相交，所以平面，
所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，
因为，，，
所以的周长为，
所以点轨迹的长度为．
故答案为：A．
【分析】连接、，交于点，连接，推出为二面角的平面角，即，利用余弦定理求得，取中点，取中点，连接、、，利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可．
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则等差数列的前项和公式为，
当时，是过原点的直线上的点，故选项B正确，
当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点，
则是过原点的抛物线上的点，故选项A、选项D正确．
故答案为：ABD．
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列前n项和公式得出与d的关系式，再分和两种情况讨论结合直线图象与点的位置关系、二次函数的图象与点的位置关系，从而逐项判断找出可能是所对应的图象的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、假设存在选手失分超过7分，失8分，
根据极差为4，得到最低失分为4分，此时中位数不可能为3，故假设不成立，
则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故A正确；
B、假设乙组的失分情况为，
满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，故B错误；
C、丙组的失分情况从小到大排列依次为，丙组平均数为3，方差为2，
即，
若，则，不合要求，故，
所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确；
D、，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数，
即从小到大第7个数为6，假设丁组失分情况为，
满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛盾即可判断A；举特例假设乙组的失分情况为，求平均数和众数即可判断B；根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，即可判断C；举出反例，假设乙组的失分情况为，求解即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误，
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以， B正确，
对于C，记，
所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，C正确.
对于D，因为，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，D正确，
故答案为：BCD.
【分析】对于A，设双曲线方程为，再代入即可得到双曲线方程；对于B，根据光的传播即可判断；对于C，记，再利用勾股定理结合双曲线的定义可得；对于D，根据角平分线的求解方式求解．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在方向上的投影向量为，即，
所以，则，
故.
故答案为：2.
【分析】由投影向量的公式，得到，再结合模长公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为，
球的表面积为，所以，
即，解得（负值舍去），
故圆锥的底面直径与母线长的比值为．
故答案为：.
【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则，再算比值即可.
14．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，；时，，，
函数的图象，如图：
函数有三个不同的零点，令，
则方程有两个不同的实数根，
，，
因此，即，且，
所以.
故答案为：1.
【分析】令，利用导数分析函数的单调性，画出函数图象，再根据零点个数求解.
15．【答案】（1）解：，
又的最小正周期为，，则，所以；
（2）解：由（1）知，，
由时，得到，所以或，
即或，
因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；所以，
故的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦的两角和公式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简函数可得，再根据函数的最小正周期公式求解即可；
（2）由（1）知，，令，可得或，再结合条件，求解即可.
（1），
又的最小正周期为，，则，所以.
（2）由（1）知，所以，
由时，得到，所以或
即或，
因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；
所以，
故的取值范围是.
16．【答案】（1）解：四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，
设的中点为，连接，
依题意，，，，
则，在中，，于是，
由，平面，得平面，
而平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，，平面，则平面，
是直线与平面所成的角，且，
则当最短时，即是的中点时，最大，而直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此，由图知二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，证明平面结合面面垂直的判定定理求解.
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求二面角即可.
（1）四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，
设的中点为，连接，
依题意，，，，
则，在中，，于是，
由，平面，得平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，，平面，则平面，
是直线与平面所成的角，且，
则当最短时，即是的中点时，最大，而直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此，由图知二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆离心率公式设出、的比例关系，结合椭圆标准方程和已知点坐标，代入求解得到、，进而确定椭圆标准方程；
(2) 设过的直线方程为（避免斜率不存在的讨论），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、；结合三角形内切圆半径公式周长，以及弦长公式，建立等式求出，再通过向量或距离公式计算。
（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
18．【答案】（1）解：设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，设向右下落次数为，
因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，
所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，
，
小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为；
（2）解：①、，则，
所以，所以，
因为，所以，
故数列的前项和；
②因为，所以，
当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故，
所以，
当时，，所以，
由于，故，
当时，，所以，
由于，可得，
则.
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据条件概率公式求解即可；
（2）①、随机变量服从二项分布，，根据二项分布的期望公式可得，则，，利用作差法得到，故；
②、，分为奇数和偶数，得到的通项公式，进而分奇偶，分组求和即可.
（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，
设向右下落次数为．
因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，
所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，
所以，
小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为；
（2）①，则，
所以，所以．
因为，所以．
故数列的前项和．
②因为，所以．
当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故．
所以，
当时，，所以，
由于，故，
当时，，所以，
由于，故，
所以.
19．【答案】（1）解：函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，当且仅当和时等号成立，
即由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂；
（2）解：设，
因为和在上＂3次缠绕＂，所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，所以是的三个零点，
注意到，则1是的一个零点，
，
①、当时，在上单调递增，1是的唯一零点，不合题意，
②、当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意，
③、当时，令，存在两根，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，所以存在，
又，
所以存在，
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是；
（3）解：方法一：取，设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立，
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，所以与同号（＊），
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以，
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”，
综上，存在，使得，且和在上“次缠绕”.
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当和时，，对任意，结合“次缠绕”的定义判断即可；
（2）设，问题转化为存在互异的三个正数，使得，注意到，则1是的一个零点，求导得，再分、和讨论求解即可；
（3）方法一：取，设，令，则，且，根据“次缠绕”定义即可证明存在；
方法二：记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可.
（1）函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，
当且仅当和时，等号成立，
所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂．
（2）设，
因为和在上＂3次缠绕＂，
所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，
所以是的三个零点．
注意到，所以1是的一个零点．
，
①当时，在上单调递增，
1是的唯一零点，不合题意．
②当时，在上单调递减，
1是的唯一零点，不合题意．
③当时，令，存在两根，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，因为，
设，因为，
所以在上单调递减，所以，即，
所以存在．
又，
所以存在．
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是．
（3）方法一：取，
设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立．
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，
所以与同号，（＊）
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以．
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”．
综上，存在，使得，
且和在上“次缠绕”
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