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广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试试题
1．下列求导结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A：根据商的求导法则，，故A正确；
B：余弦函数的导数为，而非，故B错误；
C：根据乘积的求导法则，，而非，故C错误；
D：是常数，常数的导数为0，故，而非，故D错误。
故答案为：A。
【分析】A：考查商的求导法则，结合指数函数的导数公式计算即可验证；B：考查基本三角函数的导数公式，余弦函数的导数为负的正弦函数；C：考查乘积的求导法则，结合对数函数的导数公式计算即可验证；D：考查常数的导数性质，常数的导数恒为0，与三角函数的导数公式区分开。
2．在展开式中，的系数为（　　）
A．405 B．270 C．150 D．90
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：易知展开式中含的项为，
所以的系数为.
故答案为：D
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式，解题关键是写出通项并找到含的项。
3．已知为函数的导函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】先对函数求导，再令，列方程求解即可.
4．某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种．
因此，满足条件的方案为种．
故答案为：C.
【分析】利用组合数先从天中选天，再减去周一和周二同时被选的情况即可.
5．已知函数的极小值点是，则
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导得，
由题意可得，解得或，
当时，，
在单调递增，单调递减，
则为极大值点，不满足题意；
当时，，
在单调递减，单调递增，
则为极小值点，满足，故.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得a值，再分情况判断函数的单调性验证是否为极小值点，确定a的值即可.
6．国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（　　）
A．306 B．198 C．268 D．378
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个，此时不同的选法和提问方式共有：种；
第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个，此时不同的选法和提问方式共有：种；
综上，共有306种
故答案为：A．
【分析】利用分类加法计数原理，结合排列、组合数公式求解即可.
7．已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
也就是说当时，，
用代替，可得，即，
所以，即．
又知，所以，所以．
故答案为：A.
【分析】令，证得，进而得到，再根据函数的单调性比较即可.
8．设实数，e为自然对数的底数，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，可得，
两边同除得：，
可设函数，，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，
故由可得，所以，整理得得.
故答案为：C.
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简不等式，再构造函数并对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得证出结论。
9．3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法
C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，因为任意站成一排，是全排列，
所以有种排法，故A正确；
对于B，因为学生不相邻，所以先排老师，然后插空，
则种排法，故B错误；
对于C，因为教师相邻用捆绑，
所以种排法，故C正确；
对于D，因为教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，
所以，一共有种排法，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和全排列，则判断出选项A；根据不相邻问题用插空法结合排列数公式，则判断出选项B；根据相邻问题用捆绑法结合排列数公式，则判断出选项C；根据特殊位置优先排列的方法结合排列数公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当时，；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减；
在上单调递增，故是极值点，故A、C正确；
对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误；
对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】 根据导函数的图象，得到的符号，根据的正负确定的单调性及极值.
11．下面四个结论中正确的有（　　）
A．展开式中各项的二项式系数之和为
B．用个和个可以组成个不同的七位数
C．的展开式中不存在有理项
D．方程有组正整数解
【答案】A,D
【知识点】排列、组合的实际应用；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式中各项的二项式系数之和为，故A正确．
由于最高位不能为0，所以最高位只能为1，因此只需要在除最高位外的另外6个位置中选择2个位置放1即可，所以用个和个可以组成个不同的七位数，故B错误．
因为，
展开式的通项公式为，当时，是常数项，
所以展开式中的第项为常数项，故C错误．
方程正整数解的组数等价于问题：瓶相同的矿泉水分给个人，每人至少分得瓶，共有多少种不同的分法？
所以此问题可以用隔板法解决，将瓶相同的矿泉水排成一排，中间有个空，
选取两个空插入两块隔板，则不同分法数为，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】根据二项展开式的二项式系数为即可判断A；先确定最高位，再另外6个位置中选择2个位置放1即可判断B；根据二项式展开式的通项公式判断C即可；将解方程问题转化为瓶相同的矿泉水分给个人，每人至少分得瓶，再利用隔板法求解D.
12．的展开式的常数项为　 　．
【答案】16
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
因为的展开式的通项为，
所以令，即，则的常数项为1，
令，即，则的常数项为15，
所以的展开式的常数项为．
故答案为：16.
【分析】由题可知，再利用二项展开式的通项公式求常数项即可.
13．用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语　 　.（不考虑短语的含义）
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将七个字进行排列，有种不同的排列，
因为七个字中有两个＂呱＂相同，所以均重复计算了一次，
因此这七个字可以组成不同的七字短语共有个.
故答案为：
【分析】利用排列公式直接求解.
14．已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是　 　，
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，故为R上的偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
等价于，
即在上恒成立，
所以，平方后化简得到，
由一次函数性质可得，解得，即，
故a的取值范围是．
故答案为：.
【分析】构造函数，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，当时利用导数判断函数的单调性，不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围即可.
15．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）讨论函数的单调区间．
【答案】（1）解：，定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.

（2）解：，定义域为，
若，则在恒成立，故在递增；
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增；
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，由题利用即可求解；
（2）由题可知，定义域为，再分，讨论单调性即可.
（1），定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.
（2），定义域为，
若，则在恒成立，故在递增；
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增；
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
16．有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.
（1）共有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（3）若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）
【答案】（1）解：依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是.
（2）解：将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是.
（3）解：号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法；
号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法，
所以所求不同放法种数是.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据分步乘法计数原理求解；
（2）根据分组分配原理计算即可；
（3）分号盒子放3个球和号盒子放2个球两种情况讨论即可.
（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是.
（2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是.
（3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法；
号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法，
所以所求不同放法种数是.
17．已知函数在时取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若有两个零点，求的值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以函数在区间上的最小值是；
（3）解：函数，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，
故或，所以或.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，由题意可得求出的值，再利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由（1）知，函数，利用函数的单调性求出最低的端点值和极小值，比较即可得函数在区间上的最小值；
（3）由（1）函数的单调性，求函数的极值，将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解.
（1）由题得，且定义域为.
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又
所以函数在区间上的最小值是.
（3）因为，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，
故或，所以或.
18．在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
（1）求的值；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）求系数最大的项.
【答案】（1）解：因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以；
（2）解：第项为
若项为有理项，则为整数，则，，，，
所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为；

（3）解：因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的对称性即可求解；
（2）由二项展开式的通项，结合有理项的概念求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，则，再解不等式组即可.
（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以
（2）第项为
若项为有理项，则为整数，则，，，，
所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为
（3）因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
19．设函数．
（1）试求函数的极值；
（2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当故当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：因为函数，
所以函数，
可得，
由，可得，且在上单调递增，故有，
①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间；
②当时，存在且满足，
当，有，函数在上递减，
当，有，函数在上递增，
所以当时，函数在存在单调减区间.
（3）解：由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
设，可得，
记，则，
所以在上单调递增，
因为，
根据零点存在定理知，存在唯一，有，即，
且在上有；在上有；
由，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
对于两边取对数得，
因为函数在上单调递增，则有，即，
所以，即．
所以，即的范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导得，令，再利用导数求极值即可；
（2）由函数，求得，利用导数确定函数的单调区间，再判断求解；
（3）根据题意，转化为在上恒成立，设，再利用导数结合隐零点问题求最值即可.
（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当故当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：因为函数，
所以函数，
可得，
由，可得，且在上单调递增，故有，
①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间；
②当时，存在且满足，
当，有，函数在上递减，
当，有，函数在上递增，
所以当时，函数在存在单调减区间.
（3）解：由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
设，可得，
记，则，
所以在上单调递增，
因为，
根据零点存在定理知，存在唯一，有，即，
且在上有；在上有；
由，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
对于两边取对数得，
因为函数在上单调递增，则有，即，
所以，即．
所以，即的范围是.
1 / 1广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试试题
1．下列求导结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在展开式中，的系数为（　　）
A．405 B．270 C．150 D．90
3．已知为函数的导函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．已知函数的极小值点是，则
A．或 B．或 C． D．
6．国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（　　）
A．306 B．198 C．268 D．378
7．已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．设实数，e为自然对数的底数，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法
C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法
10．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点
11．下面四个结论中正确的有（　　）
A．展开式中各项的二项式系数之和为
B．用个和个可以组成个不同的七位数
C．的展开式中不存在有理项
D．方程有组正整数解
12．的展开式的常数项为　 　．
13．用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语　 　.（不考虑短语的含义）
14．已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是　 　，
15．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）讨论函数的单调区间．
16．有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.
（1）共有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（3）若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）
17．已知函数在时取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若有两个零点，求的值．
18．在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
（1）求的值；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）求系数最大的项.
19．设函数．
（1）试求函数的极值；
（2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A：根据商的求导法则，，故A正确；
B：余弦函数的导数为，而非，故B错误；
C：根据乘积的求导法则，，而非，故C错误；
D：是常数，常数的导数为0，故，而非，故D错误。
故答案为：A。
【分析】A：考查商的求导法则，结合指数函数的导数公式计算即可验证；B：考查基本三角函数的导数公式，余弦函数的导数为负的正弦函数；C：考查乘积的求导法则，结合对数函数的导数公式计算即可验证；D：考查常数的导数性质，常数的导数恒为0，与三角函数的导数公式区分开。
2．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：易知展开式中含的项为，
所以的系数为.
故答案为：D
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式，解题关键是写出通项并找到含的项。
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】先对函数求导，再令，列方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种．
因此，满足条件的方案为种．
故答案为：C.
【分析】利用组合数先从天中选天，再减去周一和周二同时被选的情况即可.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导得，
由题意可得，解得或，
当时，，
在单调递增，单调递减，
则为极大值点，不满足题意；
当时，，
在单调递减，单调递增，
则为极小值点，满足，故.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得a值，再分情况判断函数的单调性验证是否为极小值点，确定a的值即可.
6．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个，此时不同的选法和提问方式共有：种；
第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个，此时不同的选法和提问方式共有：种；
综上，共有306种
故答案为：A．
【分析】利用分类加法计数原理，结合排列、组合数公式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
也就是说当时，，
用代替，可得，即，
所以，即．
又知，所以，所以．
故答案为：A.
【分析】令，证得，进而得到，再根据函数的单调性比较即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，可得，
两边同除得：，
可设函数，，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，
故由可得，所以，整理得得.
故答案为：C.
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简不等式，再构造函数并对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得证出结论。
9．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，因为任意站成一排，是全排列，
所以有种排法，故A正确；
对于B，因为学生不相邻，所以先排老师，然后插空，
则种排法，故B错误；
对于C，因为教师相邻用捆绑，
所以种排法，故C正确；
对于D，因为教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，
所以，一共有种排法，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和全排列，则判断出选项A；根据不相邻问题用插空法结合排列数公式，则判断出选项B；根据相邻问题用捆绑法结合排列数公式，则判断出选项C；根据特殊位置优先排列的方法结合排列数公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当时，；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减；
在上单调递增，故是极值点，故A、C正确；
对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误；
对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】 根据导函数的图象，得到的符号，根据的正负确定的单调性及极值.
11．【答案】A,D
【知识点】排列、组合的实际应用；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式中各项的二项式系数之和为，故A正确．
由于最高位不能为0，所以最高位只能为1，因此只需要在除最高位外的另外6个位置中选择2个位置放1即可，所以用个和个可以组成个不同的七位数，故B错误．
因为，
展开式的通项公式为，当时，是常数项，
所以展开式中的第项为常数项，故C错误．
方程正整数解的组数等价于问题：瓶相同的矿泉水分给个人，每人至少分得瓶，共有多少种不同的分法？
所以此问题可以用隔板法解决，将瓶相同的矿泉水排成一排，中间有个空，
选取两个空插入两块隔板，则不同分法数为，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】根据二项展开式的二项式系数为即可判断A；先确定最高位，再另外6个位置中选择2个位置放1即可判断B；根据二项式展开式的通项公式判断C即可；将解方程问题转化为瓶相同的矿泉水分给个人，每人至少分得瓶，再利用隔板法求解D.
12．【答案】16
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
因为的展开式的通项为，
所以令，即，则的常数项为1，
令，即，则的常数项为15，
所以的展开式的常数项为．
故答案为：16.
【分析】由题可知，再利用二项展开式的通项公式求常数项即可.
13．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将七个字进行排列，有种不同的排列，
因为七个字中有两个＂呱＂相同，所以均重复计算了一次，
因此这七个字可以组成不同的七字短语共有个.
故答案为：
【分析】利用排列公式直接求解.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，故为R上的偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
等价于，
即在上恒成立，
所以，平方后化简得到，
由一次函数性质可得，解得，即，
故a的取值范围是．
故答案为：.
【分析】构造函数，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，当时利用导数判断函数的单调性，不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：，定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.

（2）解：，定义域为，
若，则在恒成立，故在递增；
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增；
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，由题利用即可求解；
（2）由题可知，定义域为，再分，讨论单调性即可.
（1），定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.
（2），定义域为，
若，则在恒成立，故在递增；
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增；
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
16．【答案】（1）解：依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是.
（2）解：将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是.
（3）解：号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法；
号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法，
所以所求不同放法种数是.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据分步乘法计数原理求解；
（2）根据分组分配原理计算即可；
（3）分号盒子放3个球和号盒子放2个球两种情况讨论即可.
（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是.
（2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是.
（3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法；
号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法，
所以所求不同放法种数是.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以函数在区间上的最小值是；
（3）解：函数，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，
故或，所以或.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，由题意可得求出的值，再利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由（1）知，函数，利用函数的单调性求出最低的端点值和极小值，比较即可得函数在区间上的最小值；
（3）由（1）函数的单调性，求函数的极值，将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解.
（1）由题得，且定义域为.
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又
所以函数在区间上的最小值是.
（3）因为，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，
故或，所以或.
18．【答案】（1）解：因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以；
（2）解：第项为
若项为有理项，则为整数，则，，，，
所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为；

（3）解：因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的对称性即可求解；
（2）由二项展开式的通项，结合有理项的概念求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，则，再解不等式组即可.
（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以
（2）第项为
若项为有理项，则为整数，则，，，，
所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为
（3）因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
19．【答案】（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当故当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：因为函数，
所以函数，
可得，
由，可得，且在上单调递增，故有，
①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间；
②当时，存在且满足，
当，有，函数在上递减，
当，有，函数在上递增，
所以当时，函数在存在单调减区间.
（3）解：由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
设，可得，
记，则，
所以在上单调递增，
因为，
根据零点存在定理知，存在唯一，有，即，
且在上有；在上有；
由，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
对于两边取对数得，
因为函数在上单调递增，则有，即，
所以，即．
所以，即的范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导得，令，再利用导数求极值即可；
（2）由函数，求得，利用导数确定函数的单调区间，再判断求解；
（3）根据题意，转化为在上恒成立，设，再利用导数结合隐零点问题求最值即可.
（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当故当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：因为函数，
所以函数，
可得，
由，可得，且在上单调递增，故有，
①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间；
②当时，存在且满足，
当，有，函数在上递减，
当，有，函数在上递增，
所以当时，函数在存在单调减区间.
（3）解：由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
设，可得，
记，则，
所以在上单调递增，
因为，
根据零点存在定理知，存在唯一，有，即，
且在上有；在上有；
由，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
对于两边取对数得，
因为函数在上单调递增，则有，即，
所以，即．
所以，即的范围是.
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