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广东实验中学2025-2026学年高一下学期中段模块考试数学试题
1．已知复数满足（是虚数单位），则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（　　）
A． B．6 C．5 D．
3．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（　　）
A． B． C． D．
5．在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②④
9．已知函数，则（　　）
A．在上单调递增 B．的值域为
C． D．的零点小于
10．下列四个命题中错误的是（　　）
A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面
B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行
C．如果直线，和平面满足，，，那么
D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（　　）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点有且仅有一条直线与，都相交
D．点在侧面上（包括边界），且平面，则三棱锥的体积为
12．四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是　 　.
13．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是　 　.
14．已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是　 　．
15．已知函数，且恒成立.
（1）求的解析式；
（2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长.
16．如图所示，在扇形广场中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段，上，，，记.
（1）当时，求；
（2）草地为阴影部分，求面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值.
17．如图，在棱长都为4的直三棱柱中，D，E，F，G，H分别为，，，，的中点.
（1）求直三棱柱的体积；
（2）证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与平行；
（3）证明：，，三线共点.
18．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的最大值.
19．已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为.复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点O逆时针旋转得到，则对应的复数为.
（1）方程在复数域上的两根为，，将，对应的向量，逆时针旋转后得到，，记，对应的复数为，，求，，，（用代数形式表示）；
（2）若把平面直角坐标系中的点绕原点逆时针旋转弧度后得到点，请用、、分别表示出、；（其中、、、均为实数）
（3）定义在整数集上的函数，若，其中，，，令求的所有可能取值；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意知，
所以.
故答案为：A
【分析】由题可知，再利用复数的除法运算得到，然后求模长即可.
2．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：依题意可知，在中，，
所以.
故选：C.
【分析】利用斜二测画法的性质“横不变，纵减半”，可确定的特征以及AC，BC的边长，进而求出即可.
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；正切函数的图象与性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，所以，
函数在上单调递减，所以，
又，且
所以，
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数及正切函数的单调性，结合中间量，然后比较大小即可.
4．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：若//平面，因平面，平面平面，则//，
从而.
故答案为：B
【分析】由线面平行的性质即可得到//，再求线段比即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设，
由可得，
化简得，即，当且仅当时取等，
则得，解得.
故，
即面积的取值范围是.
故答案为：C
【分析】根据，可得，再根据基本不等式即可得到，再利用面积公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因圆锥的体积，解得，
则，
故圆锥的侧面展开图的面积为.
故答案为：C
【分析】根据圆锥的体积公式可得圆锥半径，进而得到母线长，再由圆锥的侧面积公式进行求解.
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为的周期为4，且为奇函数，所以，
，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用函数的周期性和奇偶性计算即可.
8．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
在图①中，∵BC∥PN，AC∥PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P，
∴平面ABC∥平面PMN，
∵AB 平面ABC，∴AB∥平面MNP，故①能得出AB∥平面MNP；
在图②中，∵AC∥MN，BC∥PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N，
∴平面ABC∥平面PMN，
∵AB 平面ABC，∴AB∥平面MNP，故②能得出AB∥平面MNP；
在图③中，BC∥MN，AC∥PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N，
∴平面ABC∥平面PMN，
∵AB 平面ABC，∴AB∥平面MNP，故③能得出AB∥平面MNP；
在图④中，AB∩PB=B，PB 平面PMN，∴AB∩平面PMN=B，
故④不能得出AB∥平面MNP．
故答案为：C．
【分析】对于①②③，可通过证明面面平行，得到AB∥平面MNP；对于④，可得AB∩平面PMN=B．
9．【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、的定义域为，故A错误；
B、函数单调递增且值域为，
单调递增且值域为，所以单调递增且值域为，故B正确；
C、，故C正确；
D、，
因为单调递增，所以的零点大于，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】求函数的定义域即可判断A；求的值域即可判断B；根据对数、指数的运算求解即可判断C；根据对数、指数幂的运算求即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误；
对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误；
对于C，因，则存在，使得，又，则，结合，，则//，故C正确；
对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误.
故答案为：ABD
【分析】对于A，由线面平行的判定可知，有可能平行于所在平面即可判断；对于B，由题可知内的直线可能与平行，也有可能与异面；对于C，由平行的传递性即可判断；对于D，直线有可能在平面内．
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为平面平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，作直线，分别交延长线于点，
再连接并延长交延长线于点，连接交于点，
因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形，
它们交于各棱中点，所以为中点，故，故B错误；
对于C，如图，由平面平面，则，
因为都在平面内，所以由图可得必与相交，
根据以上作图可得唯一交点，
所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确；
对于D，以D为原点，以分别为建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
点在侧面上（包括边界），设，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，令，，，
故法向量为，因为平面，故，
代入得，
整理得，因为；
可得点到平面的距离；
因为；
故；
，
则三棱锥的体积为，故D正确．
故答案为：ACD
【分析】由线面平行的判定即可得到A；对于B，作直线，分别交延长线于点，再连接并延长交延长线于点，连接交于点，可作正方体截面为正六边形，进而可得，对于C，由面面相交即可判断；对于D，以D为原点建立空间坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，进而得到体积即可.
12．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，
根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为，
所以表面积增加了，即，
所以圆柱的侧面积为
故答案为：
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱体积与表面积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数
，
当时，，又，，
函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先正弦、余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的单调性以及正弦函数的图象与性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：
如图，设，则，
因对任意实数都有，成立，
即对任意实数都有，成立，
因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，，
即点在以为直径的圆上，设圆心为.
则，而为向量在上的射影的长.
过点作，交于点，交圆于点，因则，
则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值），
则，
不妨设，则
于是，，
因，则，而，
即的最大值为，
当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，，
此时取得最小值.
故答案为：.
【分析】设，，则，进而得到，再利用三角函数的值域即可求得范围.
15．【答案】（1）解：由，得，而，则，
由恒成立，可知，即，，
因此，解得，而，则，
所以的解析式为.
（2）解：由（1）得，，而，解得，
由，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为．
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质求解析式即可；
（2）由（1）求出，再由三角形面积公式可得，由余弦定理求出，然后得到的周长．
（1）由，得，而，则，
由恒成立，可知，即，，
因此，解得，而，则，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，，而，解得，
由，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为．
16．【答案】（1）解：因为，故，
而，故即，
而为三角形内角，故，故，，
由正弦定理得，故，
故.
（2）解：在中，，由正弦定理得，
即，则，，
，由，得，
则当，即时，平行四边形的面积取最大值，
且最大值为，
故阴影部分的面积的最小值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理可得，，再计算数量积即可；
（2）根据题意可得，再结合三角变换和正弦函数的性质求最值即可.
（1）因为，故，
而，故即，
而为三角形内角，故，故，，
由正弦定理得，故，
故.
（2）在中，，由正弦定理得，
即，则，，
，由，得，
则当，即时，平行四边形的面积取最大值，
且最大值为，
故阴影部分的面积的最小值为.
17．【答案】（1）解：直三棱柱的体积为.
（2）证明：连接，∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形，
∴//，且 .
∵G，H分别为，的中点，
∴//，且 ，
∴//
∴E，F，G，H四点共面.
取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点.
连接，则//.
∵平面，平面，
∴// 平面.
（3）证明：由（2）知//，且，所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记.
平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面平面，
∴.
∴，，三线共点.
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面平行的判定；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）直接根据柱体体积公式计算即可；
（2）根据题意可得//，再由平面确定定理即可证明，然后由线面平行的判定证明即可；
（3）由题可得四边形是梯形，则与相交，记，再证即可.
（1）直三棱柱的体积为.
（2）连接，
∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形，
∴//，且 .
∵G，H分别为，的中点，
∴//，且 ，
∴//
∴E，F，G，H四点共面.
取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点.
连接，则//.
∵平面，平面，
∴// 平面.
（3）由（2）知//，且，
所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记.
平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面平面，
∴.
∴，，三线共点.
18．【答案】（1）证明：因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以：
，
由于
所以，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，则
所以，
，
所以由化简得：
所以.
（2）解：延长至，使得，则，以为邻边作矩形，
则，且，
延长至，使得，则，如图：
所以，
所以当三点共线时，取最小值，最小值为，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得，
所以，
当时，
，
当时，
，
所以，即的取值范围是.
（3）解：因为，
因为点为的外心，所以，即，，
因为，所以，
所以，
设三角形的外接圆的半径为，则，
由得，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
得，得或.
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，
再由可知，
所以应舍去，所以，
所以的最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；正弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合三角形面积公式，对进行化简即可证明；
(2)延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，则，结合图形可求出结果.
(3)由推出，即，再根据向量的线性运算可得，利用基本不等式求的最大值 即可．
（1）因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以：
，
由于
所以，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，则
所以，
，
所以由化简得：
所以.
（2）延长至，使得，则，以为邻边作矩形，
则，且，
延长至，使得，则，如图：
所以，
所以当三点共线时，取最小值，最小值为，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得，
所以，
当时，
，
当时，
，
所以，即的取值范围是.
（3）因为，
因为点为的外心，所以，即，，
因为，所以，
所以，
设三角形的外接圆的半径为，则，
由得，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
得，得或.
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，
再由可知，
所以应舍去，所以，
所以的最大值为.
19．【答案】（1）解：记方程 在复数域上的两根分别为 ，
则，.
（2）解：点，对应的复数分别为，
所以，即.
所以.
（3）解：，得，.
所以.
由函数，
得，，.
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为能被整除，被除的余数为，被除的余数为，
所以能被整除，所以；
若，
因为都能被整除，所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为被除的余数均为，所以能被整除，所以；
若，
因为被除的余数为1，被除的余数为，能被整除，
所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或.
若，
因为被除的余数均为2，所以能被整除，所以；
若，
因为被除余数为2，能被整除，被除余数为，
所以能被整除，所以.
综上所述，.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】（1）利用复数范围内的求根公式可得，根据旋转得到即可；
（2）点，对应的复数分别为，再利用旋转求解；
（3）分类讨论，使成立的，再分析被除的余数，从而得到.
（1）记方程 在复数域上的两根分别为 ，
则，.
（2）点，对应的复数分别为，
所以，即.
所以.
（3），得，.
所以.
由函数，
得，，.
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为能被整除，被除的余数为，被除的余数为，
所以能被整除，所以；
若，
因为都能被整除，所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为被除的余数均为，所以能被整除，所以；
若，
因为被除的余数为1，被除的余数为，能被整除，
所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或.
若，
因为被除的余数均为2，所以能被整除，所以；
若，
因为被除余数为2，能被整除，被除余数为，
所以能被整除，所以.
综上所述，.
1 / 1广东实验中学2025-2026学年高一下学期中段模块考试数学试题
1．已知复数满足（是虚数单位），则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意知，
所以.
故答案为：A
【分析】由题可知，再利用复数的除法运算得到，然后求模长即可.
2．将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（　　）
A． B．6 C．5 D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：依题意可知，在中，，
所以.
故选：C.
【分析】利用斜二测画法的性质“横不变，纵减半”，可确定的特征以及AC，BC的边长，进而求出即可.
3．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；正切函数的图象与性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，所以，
函数在上单调递减，所以，
又，且
所以，
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数及正切函数的单调性，结合中间量，然后比较大小即可.
4．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：若//平面，因平面，平面平面，则//，
从而.
故答案为：B
【分析】由线面平行的性质即可得到//，再求线段比即可.
5．在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设，
由可得，
化简得，即，当且仅当时取等，
则得，解得.
故，
即面积的取值范围是.
故答案为：C
【分析】根据，可得，再根据基本不等式即可得到，再利用面积公式求解即可.
6．若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因圆锥的体积，解得，
则，
故圆锥的侧面展开图的面积为.
故答案为：C
【分析】根据圆锥的体积公式可得圆锥半径，进而得到母线长，再由圆锥的侧面积公式进行求解.
7．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为的周期为4，且为奇函数，所以，
，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用函数的周期性和奇偶性计算即可.
8．如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②④
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
在图①中，∵BC∥PN，AC∥PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P，
∴平面ABC∥平面PMN，
∵AB 平面ABC，∴AB∥平面MNP，故①能得出AB∥平面MNP；
在图②中，∵AC∥MN，BC∥PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N，
∴平面ABC∥平面PMN，
∵AB 平面ABC，∴AB∥平面MNP，故②能得出AB∥平面MNP；
在图③中，BC∥MN，AC∥PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N，
∴平面ABC∥平面PMN，
∵AB 平面ABC，∴AB∥平面MNP，故③能得出AB∥平面MNP；
在图④中，AB∩PB=B，PB 平面PMN，∴AB∩平面PMN=B，
故④不能得出AB∥平面MNP．
故答案为：C．
【分析】对于①②③，可通过证明面面平行，得到AB∥平面MNP；对于④，可得AB∩平面PMN=B．
9．已知函数，则（　　）
A．在上单调递增 B．的值域为
C． D．的零点小于
【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、的定义域为，故A错误；
B、函数单调递增且值域为，
单调递增且值域为，所以单调递增且值域为，故B正确；
C、，故C正确；
D、，
因为单调递增，所以的零点大于，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】求函数的定义域即可判断A；求的值域即可判断B；根据对数、指数的运算求解即可判断C；根据对数、指数幂的运算求即可判断D.
10．下列四个命题中错误的是（　　）
A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面
B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行
C．如果直线，和平面满足，，，那么
D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误；
对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误；
对于C，因，则存在，使得，又，则，结合，，则//，故C正确；
对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误.
故答案为：ABD
【分析】对于A，由线面平行的判定可知，有可能平行于所在平面即可判断；对于B，由题可知内的直线可能与平行，也有可能与异面；对于C，由平行的传递性即可判断；对于D，直线有可能在平面内．
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（　　）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点有且仅有一条直线与，都相交
D．点在侧面上（包括边界），且平面，则三棱锥的体积为
【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为平面平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，作直线，分别交延长线于点，
再连接并延长交延长线于点，连接交于点，
因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形，
它们交于各棱中点，所以为中点，故，故B错误；
对于C，如图，由平面平面，则，
因为都在平面内，所以由图可得必与相交，
根据以上作图可得唯一交点，
所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确；
对于D，以D为原点，以分别为建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
点在侧面上（包括边界），设，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，令，，，
故法向量为，因为平面，故，
代入得，
整理得，因为；
可得点到平面的距离；
因为；
故；
，
则三棱锥的体积为，故D正确．
故答案为：ACD
【分析】由线面平行的判定即可得到A；对于B，作直线，分别交延长线于点，再连接并延长交延长线于点，连接交于点，可作正方体截面为正六边形，进而可得，对于C，由面面相交即可判断；对于D，以D为原点建立空间坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，进而得到体积即可.
12．四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，
根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为，
所以表面积增加了，即，
所以圆柱的侧面积为
故答案为：
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱体积与表面积公式求解即可.
13．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数
，
当时，，又，，
函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先正弦、余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的单调性以及正弦函数的图象与性质求解即可.
14．已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：
如图，设，则，
因对任意实数都有，成立，
即对任意实数都有，成立，
因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，，
即点在以为直径的圆上，设圆心为.
则，而为向量在上的射影的长.
过点作，交于点，交圆于点，因则，
则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值），
则，
不妨设，则
于是，，
因，则，而，
即的最大值为，
当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，，
此时取得最小值.
故答案为：.
【分析】设，，则，进而得到，再利用三角函数的值域即可求得范围.
15．已知函数，且恒成立.
（1）求的解析式；
（2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：由，得，而，则，
由恒成立，可知，即，，
因此，解得，而，则，
所以的解析式为.
（2）解：由（1）得，，而，解得，
由，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为．
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质求解析式即可；
（2）由（1）求出，再由三角形面积公式可得，由余弦定理求出，然后得到的周长．
（1）由，得，而，则，
由恒成立，可知，即，，
因此，解得，而，则，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，，而，解得，
由，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为．
16．如图所示，在扇形广场中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段，上，，，记.
（1）当时，求；
（2）草地为阴影部分，求面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值.
【答案】（1）解：因为，故，
而，故即，
而为三角形内角，故，故，，
由正弦定理得，故，
故.
（2）解：在中，，由正弦定理得，
即，则，，
，由，得，
则当，即时，平行四边形的面积取最大值，
且最大值为，
故阴影部分的面积的最小值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理可得，，再计算数量积即可；
（2）根据题意可得，再结合三角变换和正弦函数的性质求最值即可.
（1）因为，故，
而，故即，
而为三角形内角，故，故，，
由正弦定理得，故，
故.
（2）在中，，由正弦定理得，
即，则，，
，由，得，
则当，即时，平行四边形的面积取最大值，
且最大值为，
故阴影部分的面积的最小值为.
17．如图，在棱长都为4的直三棱柱中，D，E，F，G，H分别为，，，，的中点.
（1）求直三棱柱的体积；
（2）证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与平行；
（3）证明：，，三线共点.
【答案】（1）解：直三棱柱的体积为.
（2）证明：连接，∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形，
∴//，且 .
∵G，H分别为，的中点，
∴//，且 ，
∴//
∴E，F，G，H四点共面.
取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点.
连接，则//.
∵平面，平面，
∴// 平面.
（3）证明：由（2）知//，且，所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记.
平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面平面，
∴.
∴，，三线共点.
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面平行的判定；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）直接根据柱体体积公式计算即可；
（2）根据题意可得//，再由平面确定定理即可证明，然后由线面平行的判定证明即可；
（3）由题可得四边形是梯形，则与相交，记，再证即可.
（1）直三棱柱的体积为.
（2）连接，
∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形，
∴//，且 .
∵G，H分别为，的中点，
∴//，且 ，
∴//
∴E，F，G，H四点共面.
取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点.
连接，则//.
∵平面，平面，
∴// 平面.
（3）由（2）知//，且，
所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记.
平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面平面，
∴.
∴，，三线共点.
18．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）证明：因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以：
，
由于
所以，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，则
所以，
，
所以由化简得：
所以.
（2）解：延长至，使得，则，以为邻边作矩形，
则，且，
延长至，使得，则，如图：
所以，
所以当三点共线时，取最小值，最小值为，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得，
所以，
当时，
，
当时，
，
所以，即的取值范围是.
（3）解：因为，
因为点为的外心，所以，即，，
因为，所以，
所以，
设三角形的外接圆的半径为，则，
由得，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
得，得或.
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，
再由可知，
所以应舍去，所以，
所以的最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；正弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合三角形面积公式，对进行化简即可证明；
(2)延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，则，结合图形可求出结果.
(3)由推出，即，再根据向量的线性运算可得，利用基本不等式求的最大值 即可．
（1）因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以：
，
由于
所以，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，则
所以，
，
所以由化简得：
所以.
（2）延长至，使得，则，以为邻边作矩形，
则，且，
延长至，使得，则，如图：
所以，
所以当三点共线时，取最小值，最小值为，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得，
所以，
当时，
，
当时，
，
所以，即的取值范围是.
（3）因为，
因为点为的外心，所以，即，，
因为，所以，
所以，
设三角形的外接圆的半径为，则，
由得，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
得，得或.
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，
再由可知，
所以应舍去，所以，
所以的最大值为.
19．已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为.复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点O逆时针旋转得到，则对应的复数为.
（1）方程在复数域上的两根为，，将，对应的向量，逆时针旋转后得到，，记，对应的复数为，，求，，，（用代数形式表示）；
（2）若把平面直角坐标系中的点绕原点逆时针旋转弧度后得到点，请用、、分别表示出、；（其中、、、均为实数）
（3）定义在整数集上的函数，若，其中，，，令求的所有可能取值；
【答案】（1）解：记方程 在复数域上的两根分别为 ，
则，.
（2）解：点，对应的复数分别为，
所以，即.
所以.
（3）解：，得，.
所以.
由函数，
得，，.
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为能被整除，被除的余数为，被除的余数为，
所以能被整除，所以；
若，
因为都能被整除，所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为被除的余数均为，所以能被整除，所以；
若，
因为被除的余数为1，被除的余数为，能被整除，
所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或.
若，
因为被除的余数均为2，所以能被整除，所以；
若，
因为被除余数为2，能被整除，被除余数为，
所以能被整除，所以.
综上所述，.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】（1）利用复数范围内的求根公式可得，根据旋转得到即可；
（2）点，对应的复数分别为，再利用旋转求解；
（3）分类讨论，使成立的，再分析被除的余数，从而得到.
（1）记方程 在复数域上的两根分别为 ，
则，.
（2）点，对应的复数分别为，
所以，即.
所以.
（3），得，.
所以.
由函数，
得，，.
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为能被整除，被除的余数为，被除的余数为，
所以能被整除，所以；
若，
因为都能被整除，所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或；
此时，或.
若，
因为被除的余数均为，所以能被整除，所以；
若，
因为被除的余数为1，被除的余数为，能被整除，
所以能被整除，所以；
当时，使成立的情况有或.
若，
因为被除的余数均为2，所以能被整除，所以；
若，
因为被除余数为2，能被整除，被除余数为，
所以能被整除，所以.
综上所述，.
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