资源简介

四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
1．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（　　）
A． B．1 C． D．i
2．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（　　）
A．M发生的概率为 B．M与N互斥
C．M与N相互独立 D．P发生的概率为
4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（　　）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
5．内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（　　）
A．米 B．米 C．米 D．60米
6．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（　　）
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648
7．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．在中，P为边AB上一点，，，，，.当面积最小时，（　　）
A． B． C． D．
9．i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则的最小值为
10．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（　　）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（　　）
A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
12．数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为　 　.
13．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为　 　．
14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为，则　 　；　 　.
15．已知向量．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
16．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
17．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，且，求的面积；
（3）如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值．
19．在平面四边形中，，且.
（1）中，设角的对边分别为，若.
①当时，求的值；
②当时，求的最大值.
（2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则z的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数的概念求解即可.
2．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；
B、若，设，，，则，
又，则，
因为，，则，所以，故B正确；
C、若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；
D、若，，则，或，故D错误．
故答案为：B．
【分析】由垂直于同一个平面的直线平行即可判断A；利用线面平行的性质定理、平行关系的转化即可判断B；根据垂直于同一直线的两个平面平行即可判断C；由，，可得，或即可判断D.
3．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误；
对于C，，，与相互独立，C正确；
对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率；
若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为，
若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为，D错误.
故答案为：C
【分析】根据古典概型及互斥、独立事件的定义逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确；
B、对甲成绩排序，又，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90；
对乙成绩排序，又，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90，
则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误；
C、由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确；
D、由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确.
故答案为：B.
【分析】求极差即可判断A；根据百分位数概念分别求第25、第75百分位数，比较大小即可判断B；由图确定甲乙平均数的大小关系即可判断C；根据数据的波动性结合方差概念即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为米，所以在三角形中，由正弦定理得，解得米，
在直角三角形中，米.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理结合解直角三角形即可.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，
故答案为：D
【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后根据独立的互斥事件概率公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题可知，
点在上，则存在实数λ，使得 ，
，
，，
故答案为：C
【分析】由平面向量基本定理可知存在实数λ，使得 ，进而可得，再代入求即可.
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意知，，，，.
可得，，
所以，
在中，由正弦定理得，，，
即，
在中，由正弦定理得，，即，
因此，
设，可得，
由二次函数性质可知，令，
当时，取最大值，最大值为正，
即当，取到最小值，此时.
故答案为：A
【分析】利用正弦定理可得，，再求得，再设求最值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A选项，，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，若复数，满足，但，C错误；
D选项，若复数满足，
则复数的集合为复平面内，到点的距离等于1的圆，
表示圆上的点到点的距离，的最小值为，
显然圆心到的距离为，则的最小值为，D正确.
故答案为：ABD
【分析】对于A，利用复数的乘法公式并计算模长即可；对于B，根据复数除法公式求解即可；对于C，举例判断即可；对于D，根据复数的几何意义求解.
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：选项A：因为，
所以，化简可得，
因为，所以解得，故A错误；
选项B：若，且，则，
因此有两解，故B正确；
选项C：若为锐角三角形，则，且，
所以，即，
根据正弦定理可得，即，
所以取值范围是，故C正确；
选项D：若为边上的中点，则，
，
根据余弦定理可得，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
因此，当且仅当时等号成立，故D错误.
故答案为：BC
【分析】对于A，化简条件可得，则；对于B，由即可判断；对于C，先由锐角三角形可得，再利用正弦定理求解即可；对于D，由余弦定理结合基本不等式可得，再由即可判断.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、如图，令中点为，中点为，连接，
又正方体中，为棱的中点，可得，，
平面，平面，又，
且平面，平面平面，
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段，
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故A正确；
B、方体侧棱底面，三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时，所以体积最小值为，故B正确；
C、当为线段中点时，由可得，又中点为，中点为，
，而，，故C不正确；
D、如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，，，所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为，
由，，可得外接球半径，
外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】令中点为，中点为，连接，由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，根据正方体特征找到平面平面，进而得到的轨迹为线段即可判断A；根据棱锥体积公式求解即可判断B；举反例即可判断C；利用勾股定理求出外接球半径，再求外接球的表面积即可判断D.
12．【答案】6
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意知数据4，5，5，5，6，8，9，10，已按从小到大排列，
因为，故这组数据的60%分位数为6.
故答案为：
【分析】根据百分位数的求解步骤求解即可.
13．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：
设，则，
平面，即为与底面所成角，即，
，，
，，；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，即，又，
则顶点的曲率为.
故答案为：.
【分析】设，根据平面，可得为与底面所成角，求得所需的侧棱长和底面边长，根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，再根据曲率定义求解即可.
14．【答案】5；
【知识点】数列的递推公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，
则，
据此可得，，，，，，所以，
因为5到9共有，，，，五条不同的路线，
所以经过5的路线共有条，
所以.
故答案为：5；
【分析】根据题意可得，进而可得，然后利用古典概型求概率即可.
15．【答案】（1）解：设，
因为，所以，所以，所以或；
（2）解：因为，所以，所以，
即，解得，
设与的夹角为，则，
又因为，所以，所以与的夹角．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由题意设，根据向量模的坐标表示求解即可；
（2）根据向量垂直数量积为零求得，再根据向量的夹角公式求解即可.
（1）由题意，设，
因为，所以，所以，
所以或．
（2）因为，
所以，所以，
即，
设与的夹角为，则，
又，所以，所以与的夹角．
16．【答案】（1）解：由，解得，
因为（人），（人），
所以不高于50分的抽取（人）；
（2）解：平均数，
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，
则中位数为；
（3）解：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形的面积之和为1，列式求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数即可；
（2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数即可；
（3）先记事件，根据独立事件的概率乘法公式求解即可.
（1）由，
解得，
因为（人），（人）．
所以不高于50分的抽取（人）
（2）平均数．
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，
所以中位数为.
（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，
则．
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
17．【答案】（1）证明：因为且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，
因为，
所以平行四边形为正方形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，
所以平面，
由平面，得出平面平面.
（3）解：由平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）易证，根据线面垂直的性质定理和判定定理可得平面，再结合面面垂直的判定定理证出平面平面.
（3）根据线面垂直的性质定理和判定定理可得为二面角的平面角，则得出的值，作，由面面垂直的性质定理确定为直线与平面所成的角，再结合直角三角形面积相等和正弦函数的定义，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为，且，所以，
在中，由余弦定理得，即，解得，
则的面积；
（3）解：以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，由，得，
因为，所以设，
由，解得，
由得，
所以，
当时，取得最小值，最小值为，
则的最小值为.
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理化简求解即可；
（2）在中，利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由，根据向量的坐标表示两点，再利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可求解.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）因为，且，所以，
在中，由余弦定理得，
即，解得，或（舍），
所以的面积；
（3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，由得，
因为，所以设，
由得，
由得，
所以
，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为
19．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得：，
①当时，，
.
②当时，，
当且仅当即时取等号，
的最大值为.
（2）解：由，，
由余弦定理得，
即，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，
故，
由平面，平面，所以平面平面，
又，平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故.
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种，
分别为平面和棱，平面和棱，故，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理可得，①代入可得，再求值即可；②代入可得，再结合基本不等式计算 的最值即可；
（2）由面面垂直、线面垂直的性质可得相互垂直的棱有5对：，其中相互垂直的面有3对：平面平面，平面平面，平面平面，再结合古典概型求概率即可.
（1），由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得：，
①当时，，
.
②当时，，
当且仅当即时取等号，
的最大值为.
（2）由，，
由余弦定理得，
即，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，
故，
由平面，平面，所以平面平面，
又，平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故.
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种，
分别为平面和棱，平面和棱，故，
所以.
1 / 1四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
1．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（　　）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则z的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数的概念求解即可.
2．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；
B、若，设，，，则，
又，则，
因为，，则，所以，故B正确；
C、若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；
D、若，，则，或，故D错误．
故答案为：B．
【分析】由垂直于同一个平面的直线平行即可判断A；利用线面平行的性质定理、平行关系的转化即可判断B；根据垂直于同一直线的两个平面平行即可判断C；由，，可得，或即可判断D.
3．现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（　　）
A．M发生的概率为 B．M与N互斥
C．M与N相互独立 D．P发生的概率为
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误；
对于C，，，与相互独立，C正确；
对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率；
若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为，
若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为，D错误.
故答案为：C
【分析】根据古典概型及互斥、独立事件的定义逐项判断即可.
4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（　　）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确；
B、对甲成绩排序，又，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90；
对乙成绩排序，又，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90，
则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误；
C、由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确；
D、由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确.
故答案为：B.
【分析】求极差即可判断A；根据百分位数概念分别求第25、第75百分位数，比较大小即可判断B；由图确定甲乙平均数的大小关系即可判断C；根据数据的波动性结合方差概念即可判断D.
5．内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（　　）
A．米 B．米 C．米 D．60米
【答案】D
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为米，所以在三角形中，由正弦定理得，解得米，
在直角三角形中，米.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理结合解直角三角形即可.
6．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（　　）
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，
故答案为：D
【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后根据独立的互斥事件概率公式求解即可.
7．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题可知，
点在上，则存在实数λ，使得 ，
，
，，
故答案为：C
【分析】由平面向量基本定理可知存在实数λ，使得 ，进而可得，再代入求即可.
8．在中，P为边AB上一点，，，，，.当面积最小时，（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意知，，，，.
可得，，
所以，
在中，由正弦定理得，，，
即，
在中，由正弦定理得，，即，
因此，
设，可得，
由二次函数性质可知，令，
当时，取最大值，最大值为正，
即当，取到最小值，此时.
故答案为：A
【分析】利用正弦定理可得，，再求得，再设求最值即可.
9．i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A选项，，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，若复数，满足，但，C错误；
D选项，若复数满足，
则复数的集合为复平面内，到点的距离等于1的圆，
表示圆上的点到点的距离，的最小值为，
显然圆心到的距离为，则的最小值为，D正确.
故答案为：ABD
【分析】对于A，利用复数的乘法公式并计算模长即可；对于B，根据复数除法公式求解即可；对于C，举例判断即可；对于D，根据复数的几何意义求解.
10．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（　　）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：选项A：因为，
所以，化简可得，
因为，所以解得，故A错误；
选项B：若，且，则，
因此有两解，故B正确；
选项C：若为锐角三角形，则，且，
所以，即，
根据正弦定理可得，即，
所以取值范围是，故C正确；
选项D：若为边上的中点，则，
，
根据余弦定理可得，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
因此，当且仅当时等号成立，故D错误.
故答案为：BC
【分析】对于A，化简条件可得，则；对于B，由即可判断；对于C，先由锐角三角形可得，再利用正弦定理求解即可；对于D，由余弦定理结合基本不等式可得，再由即可判断.
11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（　　）
A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、如图，令中点为，中点为，连接，
又正方体中，为棱的中点，可得，，
平面，平面，又，
且平面，平面平面，
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段，
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故A正确；
B、方体侧棱底面，三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时，所以体积最小值为，故B正确；
C、当为线段中点时，由可得，又中点为，中点为，
，而，，故C不正确；
D、如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，，，所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为，
由，，可得外接球半径，
外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】令中点为，中点为，连接，由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，根据正方体特征找到平面平面，进而得到的轨迹为线段即可判断A；根据棱锥体积公式求解即可判断B；举反例即可判断C；利用勾股定理求出外接球半径，再求外接球的表面积即可判断D.
12．数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为　 　.
【答案】6
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意知数据4，5，5，5，6，8，9，10，已按从小到大排列，
因为，故这组数据的60%分位数为6.
故答案为：
【分析】根据百分位数的求解步骤求解即可.
13．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为　 　．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：
设，则，
平面，即为与底面所成角，即，
，，
，，；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，即，又，
则顶点的曲率为.
故答案为：.
【分析】设，根据平面，可得为与底面所成角，求得所需的侧棱长和底面边长，根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，再根据曲率定义求解即可.
14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为，则　 　；　 　.
【答案】5；
【知识点】数列的递推公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，
则，
据此可得，，，，，，所以，
因为5到9共有，，，，五条不同的路线，
所以经过5的路线共有条，
所以.
故答案为：5；
【分析】根据题意可得，进而可得，然后利用古典概型求概率即可.
15．已知向量．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
【答案】（1）解：设，
因为，所以，所以，所以或；
（2）解：因为，所以，所以，
即，解得，
设与的夹角为，则，
又因为，所以，所以与的夹角．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由题意设，根据向量模的坐标表示求解即可；
（2）根据向量垂直数量积为零求得，再根据向量的夹角公式求解即可.
（1）由题意，设，
因为，所以，所以，
所以或．
（2）因为，
所以，所以，
即，
设与的夹角为，则，
又，所以，所以与的夹角．
16．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
【答案】（1）解：由，解得，
因为（人），（人），
所以不高于50分的抽取（人）；
（2）解：平均数，
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，
则中位数为；
（3）解：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形的面积之和为1，列式求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数即可；
（2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数即可；
（3）先记事件，根据独立事件的概率乘法公式求解即可.
（1）由，
解得，
因为（人），（人）．
所以不高于50分的抽取（人）
（2）平均数．
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，
所以中位数为.
（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，
则．
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
17．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，
因为，
所以平行四边形为正方形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，
所以平面，
由平面，得出平面平面.
（3）解：由平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）易证，根据线面垂直的性质定理和判定定理可得平面，再结合面面垂直的判定定理证出平面平面.
（3）根据线面垂直的性质定理和判定定理可得为二面角的平面角，则得出的值，作，由面面垂直的性质定理确定为直线与平面所成的角，再结合直角三角形面积相等和正弦函数的定义，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，且，求的面积；
（3）如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值．
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为，且，所以，
在中，由余弦定理得，即，解得，
则的面积；
（3）解：以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，由，得，
因为，所以设，
由，解得，
由得，
所以，
当时，取得最小值，最小值为，
则的最小值为.
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理化简求解即可；
（2）在中，利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由，根据向量的坐标表示两点，再利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可求解.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）因为，且，所以，
在中，由余弦定理得，
即，解得，或（舍），
所以的面积；
（3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，由得，
因为，所以设，
由得，
由得，
所以
，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为
19．在平面四边形中，，且.
（1）中，设角的对边分别为，若.
①当时，求的值；
②当时，求的最大值.
（2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小.
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得：，
①当时，，
.
②当时，，
当且仅当即时取等号，
的最大值为.
（2）解：由，，
由余弦定理得，
即，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，
故，
由平面，平面，所以平面平面，
又，平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故.
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种，
分别为平面和棱，平面和棱，故，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理可得，①代入可得，再求值即可；②代入可得，再结合基本不等式计算 的最值即可；
（2）由面面垂直、线面垂直的性质可得相互垂直的棱有5对：，其中相互垂直的面有3对：平面平面，平面平面，平面平面，再结合古典概型求概率即可.
（1），由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得：，
①当时，，
.
②当时，，
当且仅当即时取等号，
的最大值为.
（2）由，，
由余弦定理得，
即，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，
故，
由平面，平面，所以平面平面，
又，平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故.
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种，
分别为平面和棱，平面和棱，故，
所以.
1 / 1

展开更多......

收起↑