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小结与评价
一次函数
第3章
（湘教版）八年级
下
复习目标
1.通过复习理解常量、变量的意义和函数的概念，掌握函数的三种表示方法，能结合图象分析简单的函数关系，会求自变量的取值范围和函数值.
2.结合知识点复习和例题1参数取值问题，理解正比例函数和一次函数的定义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画函数图象，能结合图象讨论函数的增减变化，能利用函数分析和解决简单实际问题.
3.通过复习能从变化的角度用函数的观点加深对二元一次方程的认识.
4.进行探究性学习，以例5的方案为问题情境，例6函数中的几何问题进一步体会建立数学模的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力.
知识图谱
回顾思考
1. 函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优点？
如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取得的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y是x 的函数记作y ＝f (x).
这时把 x 叫作自变量,把 y 叫作因变量
对于自变量 取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值记作f (a).
回顾思考
1. 函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优点？
　 建立一个平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值(即因变量的对应值)为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形成为这个函数的图像.
这种表示函数关系的方法称为图象法.
用图象法表示函数关系的优点是，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化，一目了然.
函数的三种表示方法1：图象法.
回顾思考
1. 函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优点？
函数的三种表示方法2：列表法.
列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值， (即因变量的对应值).
这种表示函数关系的方法称为列表法.
用列表法表示函数关系的优点是，自变量取的值与因变量的对应值看得很清楚.
回顾思考
1. 函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优点？
函数的三种表示方法3：公式法.
　　用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数解析式.
用公式法表示函数关系的优点是，可以方便地计算函数值.
函数解析式的一般形式是:
因变量=关于自变量的代数式
同时注明自变量的取值范围
回顾思考
2. 函数 y = f（x）的图象上任一点的坐标是什么？坐标为（a，f（a））的点是否在函数y = f（x）的图象上？
函数 y = f（x）的图象上任一点的坐标是（x，f（x））,坐标为（a，f（a））的点在函数y = f（x）的图象上.
回顾思考
3. 什么是正比例函数？正比例函数的图象是什么？它具有哪些性质？
(1)定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
(2)图象与性质：
一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.
k＞0时，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
k＜0时，直线经过第二、四象限，y随x的增大反而减小.
回顾思考
4. 什么是一次函数？如何画一次函数 y = kx + b的图象？它与正比
例函数y = kx的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？
(1)定义：
(当b=0时，y=kx＋b变即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数)
(2)图象与性质：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.
回顾思考
画出一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象的步骤：
⑴先选取两点，通常选点(0,b)与点( - ,０)；
⑵在坐标平面内描点(0,b)与点(-,０)；
⑶过点(0,b)与点( - ,０)画一条直线.
这条直线就是一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象.
4. 什么是一次函数？如何画一次函数 y = kx + b的图象？它与正比
例函数y = kx的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？
回顾思考
函数 字母系数取值 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx+b (k＞0) b>0
b<0 y＝kx+b (k＜0) b>0
b<0 第一、二、三象限
第一、三、四象限
第一、二、四象限
第二、三、四象限
y随x增大而增大
y随x增大而减小
4. 什么是一次函数？如何画一次函数 y = kx + b的图象？它与正比
例函数y = kx的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？
回顾思考
5. 举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式.
例 如图，点N(0，6)，点M在x轴的负半轴上，ON＝3OM.
(1)点M的坐标为________；
(2)求直线MN的表达式．
（－2，0）
（2）解：设直线MN的表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
分别把M（－2，0），N（0，6）代入，
得解得
∴直线MN的表达式为y＝3x＋6.
求一次函数解析式的方法叫做___________.
待定系数法
求解步骤：_________________.
“设→代→解→写”
回顾思考
6. 举例说明一次函数与二元一次方程的关系.
例 一次函数y1=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为(　　)
A. x=2 B. x=-1 C. y=2 D. y=-1
变式 一次函数y1=kx+b的图象如图所示，
则不等式kx+b<0的解集为________．
x<-1
B
P
y1=kx+b
y2=mx+
数形结合(找交点,画分界线,辨左右）
回顾思考
7. 举例说明如何用一次函数解决简单实际问题.
例 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？
解：设一次函数的解析式为y=kx＋b，
即到达乙地时油箱剩余油量是20升．
所以一次函数的解析式为y=-x＋35.
再将x=240代入 y= - x＋35，
得y= - ×240＋35=20，
将点(0,35)，(160,25)代入，得: ，
解得: ，
注意：根据图像建立数学模型
注意事项
1. 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.
2. 一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加 1个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量.
3. 一次函数y = kx + b的自变量的取值范围是全体实数.在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.
注意事项
4. 研究函数问题时，结合图象有助于我们更全面地掌握函数的
特征.
5. 如果实际问题中因变量 y 与自变量 x 之间是一次函数关系，那么
找出自变量与因变量的两组对应值，就可以用待定系数法求出这个一次 函数的表达式.
典例讲解
例1 已知函数 y=(m-1)x+1-m2.
（1）若这个函数是一次函数，则m的取值范围为_________；
（2）若这个函数是正比例函数，则m的值为_________.
解：（1）m-1≠0
m≠1
m=-1
一般形式： (k，b是常数， )
当 时， .
y=kx+b
k≠0
b=0
y=kx(k≠0)
m≠1
m=-1
【考点一】正比例函数、一次函数的定义
典例讲解
例2 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
增减性看k
直线与y轴的交点位置看b
象限看k、b
解：(1)1-2m>0，解得
(2)1-2m≠0且m-1<0，即
(3)1-2m<0且m-1<0，解得
变式 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1的图象不经过第一象限，
则m的取值范围是 ．
【考点二】一次函数的性质
典例讲解
例3 若把一次函数y=2x-2向上平移3个单位长度，得到图象
解析式是(　　)
A. y=2x+1 B. y=2x-5 C. y=5x-2 D. y=-x-2
A
变式 若把一次函数y=2x-2向右平移3个单位长度，得到图象
解析式是(　　)
A. y=2x+1 B. y=2x-8 C. y=5x-2 D. y=-x-2
B
直线的平移转化为点的平移，k值不变
数：两直线系数k的关系为： ；
形：两直线的位置关系为： ．
相等
平行
上加下减
【考点三】一次函数的平移变换
典例讲解
例4 已知点（3，y1），（-2，y2）在一次函数y=-2x+2的图
象上，则y1 y2．
<
变式 已知点（-1，y1）， （2，y2）在一次函数y=kx+2(k<0)
的图象上，且＞，则a的取值范围是 ．
代入法、增减性、图象法
x
y
O
a-1
y1
2a
y2
>-1
【考点四】一次函数的图象与性质
典例讲解
例5 为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆．
(1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
【考点五】一次函数的应用
典例讲解
解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为(50－x)个，
依题意，得：
解得：
∴31≤x≤33.
∵x 是整数，x 可取 31,32,33，
∴可设计三种搭配方案：
①A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个；
②A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个；
③A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个．
典例讲解
方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)；
方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)；
方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)．
方法一：
方法二：成本为
y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)．
根据一次函数的性质，y 随 x 的增大而减小，
故当 x＝33 时，y 取得最小值为
33×800＋17×960＝42720(元)．
即最低成本是 42720 元．
典例讲解
例6 如图，直线l：y=x+6分别交x 轴, y轴于点A, B, 点C与点 A关于y轴对称. 动点P, Q 分别在线段AC, AB上(点 P不与点A, C重合), 满足∠BPQ=∠BAO.
(1)点A的坐标是____, 点B的坐标是____, BC=____．
(2)当点P在什么位置时, △APQ≌△CBP？并 说明理由．
【考点六】一次函数的几何综合
典例讲解
解: (1)∵y=x+6, ∴当x=0时, y=6, 当y=0时, x=-8,
即点A的坐标是(-8, 0), 点B的坐标是(0, 6).
∵点C与点A关于y轴对称, ∴点C的坐标是(8, 0),
∴OA=8, OB=6, OC=8,
由勾股定理得BC= =10.
(2)当点P的坐标是(2, 0)时, △APQ≌△CBP.
典例讲解
理由：∵OA=8, P(2, 0), ∴AP=8+2=10=BC.
∵ ∠ BPQ = ∠ BAO, ∠ BAO + ∠ AQP + ∠APQ=180°, ∠APQ+∠BPQ+∠CPB=180°,
∴∠AQP=∠CPB.
∵点A和点C关于y轴对称,
∴∠PAQ=∠BCP.
∠AQP=∠CPB,
在△APQ和△CBP中, ∠PAQ=∠BCP,
AP=BC,
∴△APQ≌△CBP(AAS),
∴当点P的坐标是(2, 0)时, △APQ≌△CBP．
板书设计
一次函数
数学思想：
数形结合、转化化归
分类讨论、方程思想
图象性质
几何综合
图形变换
与二元一次方程的关系
一条直线
（数、形）
增减性(k)
象限(k、b)
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