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2025-2026学年北京市景山学校等学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列等式是一元一次方程的是（　　）
A. 2x+3y=5 B. x2-2x=1 C. 3x-6=0 D.
2.已知a＞b,则一定有-6a□-6b,“□”中应填的符号是（　　）
A. ＞ B. ＜ C. ≥ D. =
3.长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米.若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（　　）
A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米
4.下列长治传统民俗与建筑图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A. 上党古城圆形回纹窗花 B. 上党门正六边形花窗
C. 长治城隍庙正方形殿顶格纹 D. 黎城布老虎正面造型
5.二元一次方程组的解是（　　）
A. B. C. D.
6.长治市博物馆的展厅地面采用正多边形地砖铺设.已知某块区域地砖的内角和为1800°，这块区域使用的地砖形状是（　　）
A. 正十边形 B. 正十二边形 C. 正八边形 D. 正六边形
7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
8.不等式3（1+x）＞2+4x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的点E处，折痕为CD，连接DE，则∠ADE的度数为（　　）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
10.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B=45°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.则∠AFC的度数为（　　）
A. 100° B. 120° C. 110° D. 105°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的 .
12.若关于x,y的二元一次方程组的解满足ax+2y=6，则a的值为 .
13.一副直角三角板按如图方式摆放，直角顶点C恰好落在直角边DE上，∠B=45°，∠D=30°，则∠1+∠2的度数为 .
14.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，则∠A为 °.
15.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转52°可与△A′B′C完全重合，此时AB⊥A′C于点D，若∠B=80°，则∠A′CB′= .
三、解答题(本小题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题10分)
（1）解方程组；
（2）解不等式并把解集在数轴上表示出来.
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C＞∠B，BC边上的高AD交BC于点D，∠BAC的平分线AE交BC于点E.
（1）请作出BC边上的高AD和∠BAC的平分线AE.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的度数.
18.(本小题8分)
为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场△ABC上进行景观升级.设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局.请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持.
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，两条角平分线交于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，若∠BDC=40°，求∠A的度数.
19.(本小题7分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点.
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）作△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）四边形C2B2C1B1的面积为 ______ .
20.(本小题9分)
项目学习
项目主题 正多边形的平面密铺
项目背景 在国家老旧小区改造项目中，为提升居民生活环境品质，许多小区的公共活动区域、楼道地面都需要重新铺设地砖.选用合适的正多边形地砖进行密铺，既能保证地面平整耐用，又能营造美观舒适的居住氛围.数学小组成员结合这一民生工程，对正多边形地砖能铺满地面的条件展开了深入探究.
素材一 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面.
素材二 正多边形地砖在老旧小区改造中应用广泛，如小区广场、健身区域等，还常与其他形状的正多边形地砖组合使用，兼顾实用性与美观性，助力老旧小区焕发新活力.
问题解决
驱动问题一 请通过计算说明单独用正八边形地砖无法铺满地面.
驱动问题二 幸福小区的休闲广场需要翻新改造，现决定用两种边长相同的正多边形地砖进行平面密铺.已选用正方形地砖，则可以再选择的地砖是______.（填序号）
①正五边形；②正八边形；③正十二边形.
驱动问题三 用若干边长相等的正三角形和正方形进行平面密铺，请你求出在一个拼接点周围有多少块正三角形？多少块正方形？
21.(本小题8分)
下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务.
【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的5A级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目.
【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度约为4km/h.到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了50%，回到A码头比去时少花了20min.
任务：（1）设A、B两地之间的路程为x km,根据题意填写下表（单位：km/h,h）：
行程 速度 时间
去程（逆流） 4 ①______
回程（顺流） ②______ ③______
（2）求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）.
22.(本小题13分)
综合与实践
长治市太行山区盛产优质山野菜，某文旅公司计划收购本地山野菜，开发特色农旅产品，助力乡村振兴.已知该公司一次性收购了23吨山野菜，经市场调研，产品销售与加工情况如下：
●直接销售：每吨可获利500元；
●粗加工包装（制作即食野菜包）：每吨可获利2500元，每天可加工4吨；
●精加工制罐（制作山野菜罐头）：每吨可获利4000元，每天可加工1.5吨.
同一时间两种加工方式不能同时进行，且所有原料必须在7天内全部销售或加工完毕.为了实现收益最大化，公司研究了以下三种方案：（1）方案一：全部进行粗加工并包装；（2）方案二：尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；（3）方案三：部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成.
请你帮助公司分析计算，完成以下任务：
（1）分别计算方案一、方案二的总获利；
（2）求方案三中粗加工和制作罐头的天数，并计算方案三的总获利；
（3）比较三种方案的总获利，为公司推荐最优方案，并结合长治文旅产业发展，说说该方案对农旅融合的意义.
23.(本小题13分)
综合与探究
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“放在同一直线上的一副直角三角尺（如图，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°）”为主题开展数学活动.
初步探究（1）将图1中的三角尺OCD沿AB向右平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E.求∠DEN的度数；
深入探究（2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠DEN的度数；
拓展延伸（3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，求旋转到第几秒时直线CD恰好与直线MN垂直？
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】稳定性
12.【答案】2
13.【答案】120°
14.【答案】35
15.【答案】62°
16.【答案】
x≥3，
17.【答案】如图，线段AD、线段AE即为所求；
∠EAD=20°
8.【答案】∠BPC的度数是115°
∠A的度数是100°
19.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）12．
20.【答案】问题一：∵正八边形的每个内角的度数为：（8-2）×180°÷8=135°，
又∵360°÷135°=，
∴360°不能被135°整除，
∴单独用正八边形地砖无法铺满地面；
问题二：②；
问题三：在一个拼接点周围有3块正三角形，2块正方形．
21.【答案】，6，
A、B两地之间的路程为4km
22.【答案】方案一总获利57500元，方案二总获利48250元
方案三中粗加工的天数为5天，制作罐头的天数为2天，方案三总获利62000元
推荐方案三，该方案可提升农产品附加值，带动本地就业增收，打造特色农旅产品，助力长治农旅融合发展与乡村振兴
23.【答案】75°
30°
旋转到第11秒或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直
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