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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十六章二次函数26.4.1几何图形的最大面积练习题知识点回顾：1.解题核心：利用二次函数最值求解几何图形最大（小）面积。几何面积问题可转化为二次函数模型$$y=ax^2+bx+c$$。2.最值规律：$$a<0$$开口向下，图象有最高点，存在最大值；$$a>0$$开口向上，存在最小值（面积问题大多求最大值）。3.通用解题步骤：①设几何图形边长/变量为$$x$$；②根据面积公式列出二次函数解析式；③利用顶点公式$$x=-\dfrac{b}{2a}$$求出最值点；④代入求出最大面积，注意自变量取值范围（边长必须为正数）。4.常见模型：矩形面积、靠墙矩形面积、分割图形面积最值。一、选择题（每题4分，共20分）1.对于二次函数型面积公式$$S=-2x^2+12x$$，图形的面积最值情况是（）A.有最大值B.有最小值C.无最值D.无法判断2.用总长为40m的篱笆围成矩形场地，设矩形一边长为$$x$$，面积为$$S$$，则面积解析式为（）A. $$S=x(40-x)$$ B. $$S=x(20-x)$$ C. $$S=2x(20-x)$$ D. $$S=x(40-2x)$$3.二次函数$$S=-x^2+6x$$的最大面积为（）A. 9 B. 6 C. 12 D. 34.靠墙围成矩形菜园，墙长不限，篱笆长30m，围成矩形的最大面积是（）A. $$112.5\mathrm{m^2}$$ B. $$100\mathrm{m^2}$$ C. $$120\mathrm{m^2}$$ D. $$90\mathrm{m^2}$$5.若矩形面积$$S=3x^2-12x+5$$，则下列说法正确的是（）A.有最大面积B.有最小面积C.最大值为5 D.最值为0二、填空题（每题4分，共20分）1.二次函数求几何最大面积的本质是利用抛物线的__________坐标。2.周长一定的矩形中，__________的面积最大。3.面积函数$$S=-4x^2+16x$$，当$$x=$$__________时，面积最大。4.用长为24cm的铁丝围成矩形，最大面积为__________$$\mathrm{cm^2}$$。5.靠墙篱笆问题中，自变量一定要满足__________（取值范围）。三、解答题（共60分）1.（20分）用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，设矩形的一边长为$$x\mathrm{m}$$，面积为$$S\mathrm{m^2}$$。（1）求$$S$$与$$x$$的函数关系式；（2）求矩形的最大面积。2.（20分）如图，利用一面足够长的墙，用篱笆围成一个矩形菜园，篱笆总长度为48m，设垂直于墙的边长为$$x\mathrm{m}$$。（1）求面积关于$$x$$的函数解析式；（2）求菜园的最大面积。3.（20分）已知一个矩形的周长为32cm，设矩形长为$$x\mathrm{cm}$$，面积为$$S\mathrm{cm^2}$$，求当长、宽分别为多少时，矩形面积最大，最大面积是多少？参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.A 4.A 5.B二、填空题1.顶点2.正方形3. 2 4. 36 5. $$x>0$$，且边长符合实际篱笆长度限制三、解答题1.解：（1）矩形一边为$$x$$，另一边为$$30-x$$，解析式：$$S=x(30-x)=-x^2+30x(0<x<30)$$。（2）$$a=-1<0$$，开口向下，有最大值。当$$x=-\dfrac{30}{2\times(-1)}=15$$时，$$S_{\text{max}}=-15^2+30\times15=225$$。答：最大面积为$$225\mathrm{m^2}$$。2.解：（1）垂直墙边长$$x$$，平行墙边长$$48-2x$$，$$S=x(48-2x)=-2x^2+48x(0<x<24)$$。（2）$$a=-2<0$$，当$$x=-\dfrac{48}{2\times(-2)}=12$$时，$$S_{\text{max}}=-2\times12^2+48\times12=288$$。答：最大面积为$$288\mathrm{m^2}$$。3.解：长为$$x$$，宽为$$16-x$$，$$S=x(16-x)=-x^2+16x$$。当$$x=8$$时，面积最大，此时长和宽均为8cm（正方形），最大面积$$64\mathrm{cm^2}$$。26.4.1几何图形的最大面积学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
推进新课
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：
①由a=-5可得，图象的开口向下；
②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图；
③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.
h＝30t-5t2 (0≤t≤6)
即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 。
利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？
思考
探究
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是 m，场地面积S= m2.
②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：
.
解不等式组得l的范围是 .
l
S
总长为60m
分析：
(30-l)
l(30-l)
0何时取最大值呢？
S=l(30-l)
l
S
总长为60m
③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 .
向下
直线l=15
(15,225)
(0，0)，(30，0)
(0，0)
④根据l的取值范围及③画出该函数图象的草图。
50
100
S
150
200
250
O
-50
50
l
由图象知：
点 是图象的最高点，即当l= 时，S有最 (选填“大”或“小”)值.
(15,225)
15
大
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
解：
场地的面积
S=l(30-l)
即S=-l2+30l
(0即当l是15m时，场地的面积S最大。
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
随堂演练
基础巩固
1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+
BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面
积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示),墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m.
∴0【链接中考】1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
A
B
C
D
15m
解：设 BC 的边长为 x m，
解：(1) 由题意得，
(0＜x≤15).
(2)
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值，
即矩形 ABCD 的面积最大.
A
B
C
D
15m
x
探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值
课堂小结
2.图形面积最值问题：
由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
1.运动问题：
（1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解；
（2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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