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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十六章二次函数26.4.2商品利润最大问题练习题知识点回顾：1.核心公式（必考）：单件利润=售价 进价；总利润=单件利润×销售数量。2.解题模型：调价类利润问题均为二次函数模型$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$，$$a<0$$开口向下，存在最大利润。3.通用解题步骤：①设涨价/降价金额为$$x$$；②表示出新单价、新销量；③代入利润公式列出二次函数解析式；④利用顶点公式$$x=-\dfrac{b}{2a}$$求最值点；⑤结合实际取值（售价、销量为正数、整数）验证结果，求出最大利润。4.核心规律：涨价销量减少，降价销量增加，需精准对应数量变化关系。一、选择题（每题4分，共20分）1.一件商品进价20元，售价x元，卖出10件，总利润为（）A. $$10x-20$$ B. $$10(x-20)$$ C. $$10x+20$$ D. $$x-200$$2.利润函数$$W=-5x^2+200x+300$$，则该函数最值为（）A.最大利润B.最小利润C.无最值D.无法确定3.某商品进价30元，售价50元，每天卖20件，每件涨价1元少卖1件，设涨价x元，日销量为（）A. $$20+x$$ B. $$20-x$$ C. $$50-x$$ D. $$30-x$$4.利润函数$$W=-2x^2+40x+100$$的最大利润为（）A. 200 B. 300 C. 400 D. 5005.商品调价求最大利润问题，自变量x的取值优先满足（）A. x为负数B.售价、销量均为正数C.无需限制D. x最大即可二、填空题（每题4分，共20分）1.总利润的计算公式：总利润= __________×__________。2.利润二次函数$$W=-3x^2+60x$$，当$$x=$$__________时，利润最大。3.商品进价15元，原售价25元，每天售30件，每降价1元多卖5件，降价x元后，单件利润为__________。4.开口向__________的利润二次函数，存在最大利润，符合商业最值问题。5.某商品涨价x元后销量为$$100-5x$$，自变量x的取值范围是__________。三、解答题（共60分）1.（20分）某商品进价每件40元，售价每件60元，每周可卖出300件。市场调查发现：每件涨价1元，每周销量减少10件。设每件涨价x元，每周总利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）求涨价多少元时，每周利润最大，最大利润是多少？2.（20分）某文具进价每件10元，售价18元，每天可卖40件。若每件降价1元，每天多卖8件，设降价x元，日利润为W元。（1）写出利润函数解析式；（2）求最大日利润及对应售价。3.（20分）某服装店销售一款T恤，进价25元，原售价40元，每月售出200件。经统计，每涨价2元，月销量减少20件，设每件涨价x元，月利润为W元，求该商品的最大月利润。参考答案一、选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.B二、填空题1.单件利润、销售数量2. 10 3. $$10-x$$ 4.下5. $$0\leq x\leq20$$（x为非负整数）三、解答题1.解：（1）单件利润：$$60+x-40=20+x$$，销量：$$300-10x$$$$W=(20+x)(300-10x)=-10x^2+100x+6000(x\geq0,300-10x>0)$$，即$$W=-10x^2+100x+6000(0\leq x<30)$$。（2）$$a=-10<0$$，开口向下，有最大值。$$x=-\dfrac{100}{2\times(-10)}=5$$。代入得：$$W_{\text{max}}=-10\times5^2+100\times5+6000=6250$$。答：涨价5元时，每周利润最大，最大利润6250元。2.解：（1）单件利润：$$18-x-10=8-x$$，销量：$$40+8x$$$$W=(8-x)(40+8x)=-8x^2+24x+320(0\leq x<8)$$。（2）$$x=-\dfrac{24}{2\times(-8)}=1.5$$，$$W_{\text{max}}=-8\times1.5^2+24\times1.5+320=338$$。对应售价：$$18-1.5=16.5$$元。答：售价16.5元时，最大日利润338元。3.解：单件利润：$$40+x-25=15+x$$，每涨价1元少卖10件，销量：$$200-10x$$。$$W=(15+x)(200-10x)=-10x^2+50x+3000$$。$$x=-\dfrac{50}{2\times(-10)}=2.5$$，$$W_{\text{max}}=-10\times2.5^2+50\times2.5+3000=3062.5$$。答：最大月利润为3062.5元。26.4.2商品利润最大问题学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）
3.
推进新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
探究
进价/元 售价/元 数量/件 利润
现价
涨价
降价
40
60
300
60+n
300-10n
60-m
300+20m
40
40
分析：
进价/元 售价/元 销量/件 利润
现价
涨价
降价
40
60
300
60+n
300-10n
60-m
300+20m
40
40
解:(1)设每件涨价n元，利润为y1.
则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n)
即y1=-10n2+100n+6000
其中，0≤n≤30.
利润 = 售价×销量-进价×销量
= (售价-进价)×销量
怎样确定n的取值范围？
可得：0≤n≤30.
y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30）
抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元.
(5,6250)
5
6250
n取何值时，y有最大值？最大值是多少？
=-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
涨价：
进价/元 售价/元 销量/件 利润
降价 40 60-m 300+20m
解: (2)设每件降价m元，利润为y2.
则y2=(60-m – 40 )(300 +20m)
即y2=-20m2+100m+6000
其中，0≤m≤20.
怎样确定m的取值范围？
可得：0≤m≤20.
降价情况下的最大利润又是多少呢
y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20)
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元.
(2.5,6125)
2.5
6125
m取何值时，y有最大值？最大值是多少？
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
降价：
=-20(m2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
（2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
综上可知：
该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
随堂演练
基础巩固
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元,
由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000
=-(x-115)2+7225 (0当x=115时，y有最大值.
即当这件商品定价为115元时，利润最大.
应用1 与三角形面积结合
1.一块三角形材料如图所示， ，
， 九年级（8）班的同学在
劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中
点，，分别在边，，上．设 的
长为，矩形的面积为 ．
（1）写出关于的函数解析式，并写出 的取值范围；
【解】 四边形 为矩形，
, .
在中， , ,
，
．
在中， , ,
, ，
，
，
．
（2）当矩形的面积为时，求 的长；
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得， ，
即 的长为4或8．
（3）若矩形的面积不小于 ，请直接写
出的长 的取值范围．
.
【点拨】由题意，得 ，
整理，得 ，
解得 .
应用2 与展开图结合
2. 在一次劳动课中，老师准备了一
些长为、宽为 的长方形硬
纸板，准备利用这些纸板制作无盖的
长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不
计）．如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为
的正方形，再在中间裁掉一个正方形 ，#1
将纸板沿, 剪开，折叠后，得到两个相同的无盖长方体
纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 （如图②）．#1
（1）求制作的无盖纸盒的底面的边 的长；
【解】由题意可知， ，
．
（2）写出一个无盖纸盒的体积（单位：）与
（单位：）之间的函数关系式，并求出当 的值为5时，单
个无盖纸盒的体积 的值．
根据题意，可知无盖纸盒的长,宽,高分别为 ,
, ，
，
当时， ．
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
(1)审清题意，理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；
(3)列出函数关系式；
(4)求解数学问题；
(5)求解实际问题.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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