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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十六章二次函数26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题练习题知识点回顾：1.题型本质：拱桥、隧道、喷泉、投篮、抛球等实物/运动轨迹，均为开口向下的抛物线，利用二次函数图象与性质求解实际问题。2.核心解题步骤：建系→设解析式→代点求系数→利用解析式求解问题。3.常用建系技巧（考试通用）：①拱桥、隧道：以抛物线顶点为原点或桥面中点为原点建系，简化计算；②抛球、投篮：以抛出点、地面某点为原点建系。4.常见考点：求最大高度、判断能否通过、求水平距离、落点坐标等，需结合实际舍去不合理的解。一、选择题（每题4分，共20分）1.篮球投篮的运动轨迹可近似看作（）A.直线B.开口向上的抛物线C.开口向下的抛物线D.圆弧2.某拱桥抛物线解析式为$$y=-\dfrac{1}{10}x^2+4$$，则拱桥的最大高度为（）A. 10 B. 4 C. -4 D. 23.以抛物线顶点为原点，开口向下的隧道抛物线，解析式可设为（）A.$$y=ax^2(a>0)$$ B. $$y=ax^2(a<0)$$ C. $$y=a(x-h)^2+k(a>0)$$ D. $$y=ax^2+k(a&gt;0)$$4.小球竖直上抛，高度$$h=-5t^2+20t$$（t为时间），小球到达最高点的时间为（）A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s5.抛物线形拱桥水面宽8m，顶点离水面4m，以顶点为原点，解析式为（）A. $$y=\dfrac{1}{4}x^2$$ B. $$y=-\dfrac{1}{4}x^2$$ C. $$y=\dfrac{1}{8}x^2$$ D. $$y=-\dfrac{1}{8}x^2$$二、填空题（每题4分，共20分）1.物体斜抛运动的轨迹是__________形，对应的函数是__________函数。2.抛物线喷泉解析式$$y=-0.2x^2+3$$，喷水的最大高度为__________。3.小球运动高度$$h=-2t^2+8t$$，小球的最大高度是__________。4.解决抛物线实物问题的第一步通常是__________，简化函数解析式。5.隧道抛物线$$y=-\dfrac{1}{5}x^2+5$$，地面为x轴，则隧道最大跨度为__________。三、解答题（共60分）1.（20分）一座抛物线形拱桥，以拱桥顶点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系。已知拱桥跨度为10m，最大高度为5m。（1）求拱桥抛物线的函数解析式；（2）求距离桥中心水平距离2m处的桥高。2.（20分）小明投篮，篮球运动轨迹为抛物线，已知篮球出手处坐标$$(0,2)$$，最高点坐标$$(4,4)$$。（1）求抛物线解析式；（2）求篮球落地时的水平距离（地面为x轴）。3.（20分）抛物线型隧道，以地面水平中线为x轴，隧道最高点在y轴上，坐标$$(0,6)$$，隧道地面总宽度12m。（1）求隧道抛物线解析式；（2）一辆高4.5m、宽4m的货车能否安全通过隧道？说明理由。参考答案一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.B 5.D二、填空题1.抛物、二次2. 3 3. 8 4.建立平面直角坐标系5. 10三、解答题1.解：（1）设顶点式$$y=ax^2$$，由题意得端点坐标$$(5,-5)$$，代入得：$$25a=-5$$，解得$$a=-\dfrac{1}{5}$$。解析式：$$y=-\dfrac{1}{5}x^2$$。（2）当$$x=2$$时，$$y=-\dfrac{1}{5}\times4=-0.8$$，距离水面高度：$$5-0.8=4.2\mathrm{m}$$。答：桥高4.2m。2.解：（1）设顶点式$$y=a(x-4)^2+4$$，代入$$(0,2)$$：$$16a+4=2$$，$$a=-\dfrac{1}{8}$$。解析式：$$y=-\dfrac{1}{8}(x-4)^2+4$$。（2）令$$y=0$$，$$-\dfrac{1}{8}(x-4)^2+4=0$$，解得$$x_1=4+4\sqrt{2}$$，$$x_2=4-4\sqrt{2}$$（舍去）。落地水平距离为$$(4+4\sqrt{2})\mathrm{m}$$。3.解：（1）设解析式$$y=ax^2+6$$，过点$$(6,0)$$，代入得：$$36a+6=0$$，$$a=-\dfrac{1}{6}$$。解析式：$$y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$$。（2）货车宽4m，代入$$x=2$$，$$y=-\dfrac{1}{6}\times4+6=\dfrac{16}{3}\approx5.33\mathrm{m}$$。因为$$5.33>4.5$$，所以货车能安全通过。26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点)
2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
推进新课
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？
分析：
(1) 建立合适的直角坐标系；
(2) 将实际建筑数学化，数字化；
(3) 明确具体的数量关系，如函数解
析式；
(4) 分析所求问题，代入解析式求解。
探究
(2,-2)
(-2,-2)
x
y
O
解：
以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2.
将点(-2，-2)代入解析式，
可得-2=a · (-2)2.
x
y
O
(2,-2)
(-2,-2)
水面
水面下降一米，即此时y=-3.
如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？
y
O
(2,1)
(-2,1)
水面
x
(0,3)
解：
依题意建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a · (-2)2+3.
y
O
(2,1)
(-2,1)
水面
x
(0,3)
水面下降一米，即此时y=0.
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.
你还有其他的方法吗？

y
O
(2,0)
(-2,0)
x
(0,2)
还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.
应用1 池塘问题
1.某池塘的截面如图所示，池底呈
抛物线形，以水平地面为 轴，垂直
于水平地面且位于池塘中心的线为
轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 ，池底最深处距
离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的
宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______.
随堂演练
基础巩固
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( )
A.9.2 m B.9.1 m
C.9 m D.5.1 m
B
2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 .
y=-3.75x2
A B
综合应用
3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，
离地面 米，求水流落地点B离墙的距离.
拓展延伸
4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？
解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0),
∴0=a+0.5，解得a=-0.5.
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.
令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1.
令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,
令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32.
(0.48+0.32)×2×100=160 (m)
∴这条防护栏需要不锈钢支柱
的总长度至少为160m.
应用2 拱桥问题
2. [2025广东] 如图，某跨海钢箱
梁悬索桥的主跨长 ，主塔高
，主缆可视为抛物线，主缆垂度
为，主缆最低处距离桥面 ，桥面距离
海平面约 . 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，
并求该抛物线的解析式.#1
【解】（答案不唯一）建立平面
直角坐标系，如图所示.
则抛物线顶点坐标为
，,，即 ，
设该抛物线的解析式为 ，
将的坐标代入 .得
，解得 ，
该抛物线的解析式为 .
应用3 隧道问题
3. [2026阜阳期末] 某隧道的截面由抛物
线和长方形构成，若隧道宽度 为
，最高处离地面 ，长方形的宽为
.如图，现以点为原点， 所在的直线
（1）求出抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）.
为轴，所在的直线为 轴建立平面直角坐标系.
【解】 隧道宽度为 ，最高处离地面
，
抛物线的顶点坐标为 .
设该抛物线的解析式为 .
长方形的宽为， 抛物线经过点 .
把的坐标代入 ，得
，
. .
该抛物线的解析式为
.
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为 ，
如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
由（1）知该抛物线的顶点坐标为 .
一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽
为 ，隧道内设双向车道，
货运汽车靠路面中心线行驶时，其另一
侧与地面交点的横坐标为或 .
当 时，
;
当 时，
.
这辆货运汽车能安全通过.
（3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面
的高度相同，如果路灯离地面的高度不超过 ，那么两排
路灯的水平距离最小是多少？
由（1）知 ，
依题意，令，则 ，
，
解得， ，
则 ，
两排路灯的水平距离最小是 .
课堂小结
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
(1) 建立适当的直角坐标系；
(2) 写出抛物线上的关键点的坐标；
(3) 运用待定系数法求出函数关系式；
(4) 求解数学问题；
(5) 求解抛物线形实际问题.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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