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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十七章反比例函数27.1反比例函数的概念知识点汇总本章前言：反比例函数是初中三大基础函数（一次函数、二次函数、反比例函数）最后一类函数，是中考函数填空、选择、图像分析、压轴应用题核心考点。本节为整章基础，重点掌握定义、三种解析式、自变量取值范围、待定系数法求解析式、正反比例函数辨析。一、反比例函数的定义（必考）一般地，形如$$\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}}$$（$$k$$为常数，$$\boldsymbol{k\neq 0}$$）的函数，叫做反比例函数。其中$$x$$是自变量，$$y$$是函数。核心理解1.本质：两个变量的乘积为定值（$$xy=k$$）；2. $$k\neq0$$是定义必要条件，$$k=0$$不是反比例函数；3.自变量x不能为0，函数值y也不能为0。二、反比例函数三种解析式（全部熟记）形式1：标准式（最常用）$$y=\dfrac{k}{x}\;(k\neq0)$$形式2：乘积式（判断、求值专用）$$\boldsymbol{xy=k}\;(k\neq0)$$只要两组变量乘积始终相等，即为反比例函数。形式3：负指数幂式（选择题辨析专用）$$y=kx^{-1}\;(k\neq0)$$自变量次数必须为-1，系数$$k\neq0$$。三、自变量取值范围1.一般情况：$$\boldsymbol{x\neq0}$$（全体非零实数）2.实际应用题：自变量需结合实际意义（正数、整数等）四、反比例函数的判定方法（选择必考）满足以下两点即为反比例函数：1.解析式可化为$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$；2.自变量次数为$$-1$$，且比例系数$$k\neq0$$。常见不是反比例函数的形式$$y=\dfrac{k}{x+1}$$、$$y=\dfrac{1}{x}+k$$、$$y=kx^2$$、$$y=kx$$五、正比例函数VS反比例函数（终极辨析）函数类型解析式变量关系自变量次数正比例函数$$y=kx(k\neq0)$$比值一定$$\dfrac{y}{x}=k$$1反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$乘积一定$$xy=k$$-1六、待定系数法求反比例函数解析式（大题模板）解题步骤（四步满分）1.设：设解析式$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$；2.代：将已知一组$$x、y$$对应值代入解析式；3.求：解出$$k$$的值；4.写：带回原式，写出最终函数解析式。七、本节高频易错点（扣分重点）1.忽略$$\boldsymbol{k\neq0}$$条件，导致判定出错；2.误把$$y=\dfrac{k}{x+a}$$当成反比例函数（分母必须只有单独x）；3.混淆正反比例：正比比值定、反比乘积定；4.忘记自变量$$x\neq0$$；5.含参题型不会根据定义列方程：次数=-1、系数≠0。八、含参反比例函数秒杀结论若$$y=(m-2)x^{m^2-5}$$是反比例函数，则满足：①次数：$$m^2-5=-1$$②系数：$$m-2\neq0$$同时满足两个条件才可求出参数取值。本节满分口诀反比函数积为定，x负一次k非零；分母独x不含加，自变量零不可行；正比比值反比积，待定四步解析式明。27.1反比例函数的概念章节导入
现实世界中的变化现象多种多样，除了一次函数、二次函数，还有其他函数模型可以用于刻画不同的变化规律.
情境
同一条铁路线上，由于不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢。由 ，你能发现速度与时间的函数关系吗？
在路程 一定的前提下，平均速度 与运行时间 成反比例
从函数角度看，平均速度 随运行时间的变化而变化的规律，可表示为
由 可知
本章我们就要来研究类似上式的反比例函数.
探究
新课引入
从八年级到现在，我们已经认识了函数家族的两位重要成员，它们是谁？我们是按照怎样的顺序研究它们的？
一次函数
正比例函数
二次函数
已学函数
研究顺序
实际问题抽象
概念生成
图象性质
实际应用
今天我们就从三个具体的生活问题入手，研究反比例函的概念.
新知探究
感知函数关系
1.写出每个问题中两个变量之间的函数解析式 .
2.思考每个问题中是否存在函数关系，依据是什么 ？
情境
问题1 京沪高铁全程为，某次列车的平均速度（单位：）随全程运行时间（单位：）的变化而变化；
想一想
速度、路程与时间之间有什么关系？
路程=速度时间
路程固定为1318km，故平均速度与全程运行时间的关系式为
知识点1 反比例函数的定义
1. 下列函数：， ，
，，，， ，
.其中是 的反比例函数的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.已知函数是反比例函数，则 的取值范围是______
_______.
且
情境
问题2 某住宅小区要种植一块面积为的矩形草坪，草坪的一边长（单位：）随另一边长（单位：）的变化而变化；
新知探究
想一想
矩形的面积是如何计算的呢？
矩形面积=长宽
矩形面积固定为，故草坪的一边长与另一边长的关系为：
长
情境
问题3 李明计划使用完手机流量，平均每天使用的流量（单位：）随总使用时间（单位：天）的变化而变化。
新知探究
想一想
总流量、每天使用的流量、时间三者之间有什么关系？
总流量=每天使用的流量时间
每天使用的流量
总流量固定为，故平均每天使用的流量与总使用时间的关系为：
知识点2 建立反比例函数模型
3. 下列数量关系中，成反比例关系的是( )
C
A. 橘子的单价一定，购买橘子的质量与总价
B. 圆锥的体积一定，它的底面半径与高
C. 路程一定时，速度与时间
D. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数
①都是分式形式；
新知探究
反比例函数概念
探究
观察下列这三个解析式，它们在形式上有什么共同点？
②分子是一个不为 0 的常数；
③分母是自变量。
如果我们用 表示分子的常数，用 表示自变量，用 表示因变量，你能写出它们的一般形式吗？
一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是 的函数。
新知探究
思考
如果 ,解析式会变成什么？还是反比例函数吗？
时，是常数函数，不存在反比例关系
，若为0，则无意义
想一想
在反比例函数中， 可以取 吗？为什么？
由分式有意义的条件可知：
反比例函数也可表示为以下形式
②负指数式：（ 为常数，）
①乘积式：（ 为常数，）
待定系数法求反比例函数解析式
教材例题
已知 是 的反比例函数，且当 时，．
（1）写出 关于 的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
【分析】因为 是 的反比例函数，所以设 ．把 ， 代入上式，就可求出常数 的值．
解：（1）设 ．因为当 时，，所以
解得
因此
（2）把 代入 ，得
巩固训练3 从实际问题中抽象出反比例函数
某段公路全长200km，一辆汽车要行驶完这段路程，则所用速度（km/h）和时间（h）间的函数关系为。若限定汽车行驶速度不超过80km/h，则所用时间至少要___________h。
解：由题意得：
速度（km/h）和时间（h）间的函数关系为，
∴当时，
故本题答案为：；2.5
【分析】根据等量关系“速度=路程÷时间”即可列出关系式，再求至少所用的时间。
2.5
4. 当矩形面积一定时，长是宽 的反比例函
数，其函数解析式可以写为为常数， .请你仿
照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数
关系的量的实例，并写出它的函数解析式.实例：__________
________________________________；函数解析式：
_______________________________.
当路程
一定时，速度是时间的反比例函数
为常数（答案不唯一）
5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变
的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比
例函数.当时，.则当 时，
________ .
16 000
知识点3 反比例函数与成反比例
6. 下列说法正确的是( )
A
A. 在中，与 成正比例
B. 在中，与 成反比例
C. 在中，与 成正比例
D. 在中，与 成正比例
【点拨】A.， .
与 成正比例，故选项正确；
B.，与 成正比例，故选项错误；
C.时，；时， ，故选项错误；
D.， ，故选项错误.
故选A.
7. 已知和成正比例，和成反比例，则和
成____比例.
反
8.若长方形的两邻边长度分别为, ，面积保持不变，下表给
出了与 的一些值求长方形的面积．
3 1 8
4 2 5
（1）长方形的面积是多少？
【解】长方形的面积为4.
（2）与之间是什么关系？用式子表示与 之间的关系．
与是反比例关系，用式子表示为 .
（3）完成上表．
如表所示.
3 1 2 8
6 4 2 5
9. 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购
买500度电，若平均每天用电度，则能使用 天.下列说法错
误的是( )
C
A. 若，则
B. 若，则
C. 若减小，则 也减小
D. 若减小一半，则 增大一倍
【点拨】由题意得.若，则 ，正
确，故此选项不符合题意；B.若，则 ，解
得，正确，故此选项不符合题意；C.若减小，则 增
大，原说法错误，故此选项符合题意；D.若 减小一半，则
，即 增大一倍，正确，故此选项不符合题意.
故选C.
10. 如图，在矩形中，，，为 边
上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点 作
于点.设，的长度分别为，，则与 的函
数解析式为( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】如图，连接.由题意得矩形 的面积
,的面积为 .
，
. .故选A.
11. 定义:为反比例函数
,,为实数的“关联数”.反比例函数的“关联数”为,反比例函数的“关联数”为 ,
若 ,则( )
C
A. B. C. D. 无法比较
【点拨】根据题意，得 ，
， .
12.对于函数 .
（1）当为何值时，是 的反比例函数？求出此函数的解析式.
【解】根据题意得解得 ，
故当时，是的反比例函数，此函数的解析式为 .
（2）当为何值时，是 的正比例函数？求出此函数的解析式.
根据题意得解得 ，
故当时，是 的正比例函数，此函数的解析式为
.
课堂总结
本节课你学到了什么？

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