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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十七章反比例函数27.2.1反比例函数的图象和性质知识点汇总前言：本节是反比例函数核心重难点，承接反比例函数概念，是中考函数图像判断、增减性分析、比较函数值大小、几何综合题的必考内容。重点掌握双曲线图象特征、k的几何意义、象限分布、增减性及对称性。一、反比例函数的图象基本特征反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成。核心基础性质：1.图象永远不与x轴、y轴相交，无限靠近坐标轴；2.图象关于原点中心对称，同时关于直线$$y=x$$、$$y=-x$$轴对称；3.图象两支分居不同象限，永不重合、永不相交。二、k的符号决定图象象限与增减性（必考核心）1.当$$\boldsymbol{k&gt;0}$$时象限分布：图象在第一、三象限。增减性：在每个象限内，$$y$$随$$x$$的增大而减小。图象特征：双曲线从左上向右下延伸，每一象限内曲线单调递减。2.当$$\boldsymbol{k<0}$$时象限分布：图象在第二、四象限。增减性：在每个象限内，$$y$$随$$x$$的增大而增大。图象特征：双曲线从左下向右上延伸，每一象限内曲线单调递增。三、超级易错点：增减性范围（扣分重灾区）绝对不能说：当$$k>0$$时，整个定义域内$$y$$随$$x$$增大而减小。正确表述：必须强调在每个象限内！原因：自变量跨象限取值时，函数值不满足单调变化规律，两支图象相互独立，增减性只针对单一支象限生效。四、k的大小与图象离坐标轴远近的关系$$|k|$$越大，双曲线越远离坐标轴；$$|k|$$越小，双曲线越靠近坐标轴。原理：$$|k|=|xy|$$，$$|k|$$越大，横纵坐标乘积越大，点到坐标轴距离越远。五、反比例函数图象三大对称性（高频考点）已知反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}$$，图象对称规律：1.中心对称：关于原点对称；若点$$(a,b)$$在图象上，则$$(-a,-b)$$也在图象上；2.轴对称1：关于直线$$y=x$$对称；若点$$(a,b)$$在图象上，则$$(b,a)$$也在图象上；3.轴对称2：关于直线$$y=-x$$对称；若点$$(a,b)$$在图象上，则$$(-b,-a)$$也在图象上。六、函数值大小比较解题模板1.同象限点直接根据增减性判断：$$k>0$$递减、$$k<0$$递增。2.跨象限点一三象限函数值：$$y>0$$；二四象限函数值：$$y<0$$，正数永远大于负数，可直接秒杀比较。七、本节高频易错汇总1.省略“每个象限内”，笼统描述增减性，答题直接扣分；2.混淆k的符号对应的象限和增减规律；3.误以为双曲线能与坐标轴相交（x、y均不为0）；4.比较跨象限函数值时，误用单象限增减规律；5.忘记反比例函数的三类对称性质。本节满分口诀反比图象双曲线，不交轴来两分限；k正一三递减行，k负二四递增明；增减仅限象限内，对称原点轴分明；k值越大离轴远，函数大小轻松评。27.2.1反比例函数的图象和性质新课引入
回顾
1.什么是反比例函数？自变量 的取值范围是什么？
2.我们是按照怎样的步骤研究一次函数和二次函数的图象与性质？
①形如 （ 为常数，）的函数；
②
1.反比例函数的概念及 的取值范围
2.研究步骤
画出函数图象
观察图象
结合解析式研究图象形状、位置、增减性等
今天我们就按照画图→观图→析性的方法，来研究反比例函数的图象与性质.
新知探究
探究
时反比例函数的图象与性质
结合反比例函数和的解析式，思考：
(1)自变量不能取 0，那么函数图象会是一条连续的直线吗？
(2)你能绘制出它们的图象吗？
(1)由于和中不能为0，因此它们的图象不可能是一条连续的直线
(2)绘图：①列表
新知探究
②描点
③连线
想一想
这些函数的图象都由几支曲线组成？分别位于哪些象限？
它们都由两支曲线组成；分别位于第一、第三象限。
知识点1 反比例函数的图象
1. 已知点在反比例函数的图象上，其中, 为常
数，且，则点 一定在( )
A
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第一、第三象限；
新知探究
思考
当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？
增减性的前提是“在每一个象限内”,跨象限比较不成立。
对于同一个象限内的
越大，的值越小，所以越小
②在每一个象 限内， 随的增大而减小。
动态演示
放映状态下点击图象
新知探究
小组合作
时反比例函数的图象与性质
刚才我们研究了 时的情况，现在请大家类比刚才的研究方法，分组探究 时反比例函数 和 的图象与性质。
小组任务
①猜想图象的位置和增减性
②用描点法画出 的图象
③小组内交流观察到的结论，并结合解析式说明理由。
④邀请小组代表展示作图成果，分享探究结论。
2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则 能
取的最大整数为( )
B
A. 0 B. C. D.
【点拨】 反比例函数 的图象位于第二、四象限，
.的最大整数值为 .
①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第二、第四象限；
新知探究
思考
当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？
对于同一个象限内的
越大，的值越大，所以越大
②在每一个象 限内， 随的增大而增大。
观察动态演示，你能得出更一般的结论吗？
动态演示
放映状态下点击图象
知识小结
思考
结合 和 时的反比例函数图象与性质整理，你能总结出反比例函数的图象与性质吗？
反比例函数 的符号
图象形状 双曲线（两支不连续的曲线） 所在象限 第一、第三象限 第二、第四象限
增减性 在每一个象限内，随 的增大而减小 在每一个象限内，随 的增大而增大
注：①增减性必须强调 “在每一个象限内”
②图象永远不与坐标轴相交
3. 若，则函数与 在同一坐
标系中的图象可能是( )
B
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【点拨】当 时，函
数 的图象开口向
上，顶点在原点，对称轴
为轴；函数 的图象位于第一、三象限，故①符合题意，
②不符合题意；
当时，函数 的图象开口向下，顶点在原点，对
称轴为轴；函数 的图象位于第二、四象限，故③不符
合题意，④符合题意.故选B.
解题支架
知识点2 反比例函数的性质
4. [2025湖南] 对于反比例函数 ，下列结论正确的是
( )
D
A. 点 在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限
C. 当时，随 的增大而增大
D. 当时，随 的增大而减小
5. 点和点 在反比例函数
为常数的图象上，若，则， ，
0的大小关系为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】 反比例函数 ，
， 反比例函数的图象位于第一、三象限.
， 点在第三象限的图象上，点 在第一象
限的图象上. .
6. 科技承载梦想，创新始
于少年.某校科技社团的学生们制作了一
艘轮船模型，实验过程中他们发现在某
段航行过程中轮船模型的牵
B
A. 该段航行过程中，随 的增大而减小
B. 当时，
C. 该段航行过程中，函数解析式为
D. 当时，
引力是其速度 的反比例函数，其图象如图所示，下
列说法不正确的是 ( )
【点拨】A.根据图象可知，
是定值，随 的增大而减小，选
项正确，不符合题意；B.当
时， ，选
项错误，符合题意；C.根据图象信息，函数解析式为 ，
选项正确，不符合题意；D.当 时，
，选项正确，不符合题意.故选B.
7. 已知反比例函数为常数， 的图
象经过点，当时，____；当 时，则符
合条件的 的一个整数值可以是________________________.
（第二空答案不唯一）
8. 如图，这是三个反比例函数
，，在 轴上方
的图象，由此观察得到，， 的
大小关系为( )
C
A. B.
C. D.
9. 已知函数的自变量满足时，函数值 满足
，则下列函数：，， ，
， ，符合条件的有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
课堂总结
本节课你学到了什么？

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