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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十七章反比例函数27.2.2反比例函数的图象和性质的应用知识点汇总前言：本节是反比例函数的实战必考应用篇，承接图像性质，是中考选择、填空、简答、压轴小问高频考点。主要包含：函数值大小比较、图像共存问题、含参取值、k的几何面积模型、实际应用题，所有题型均有固定解题模板，可直接秒杀。一、题型一：反比例函数值大小比较（超高频）1.解题核心原则先判象限，再判增减；跨象限先看正负，同象限再看增减。2.通用解题步骤①看$$k$$正负，确定图像分布象限；②判断各点横坐标所属象限，区分$$y>0$$、$$y<0$$；③同在一个象限内，用增减性判断大小：$$k>0$$递减、$$k&lt;0$$递增。3.秒杀结论一三象限$$y$$恒正，二四象限$$y$$恒负，正数一定大于负数。二、题型二：一次函数与反比例函数图像共存问题解题核心：k、b符号一致性同一题目中，反比例函数$$k$$和一次函数$$k$$是同一个参数，符号必须统一。判断步骤①先看反比例图像定$$k$$正负；②带入一次函数，核对直线升降、截距是否匹配；③矛盾选项直接排除。规律速记$$k>0$$：反函一三象限，一次函数从左下到右上；$$k<0$$：反函二四象限，一次函数从左上到右下。三、题型三：含参问题（求参数取值、无解、增减性）1.根据增减性求参题干：反比例函数在每个象限内$$y$$随$$x$$增大而增大$$\implies k<0$$；题干：反比例函数在每个象限内$$y$$随$$x$$增大而减小$$\implies k>0$$。2.根据图像象限求参图像在一三象限$$\implies k>0$$；图像在二四象限$$\implies k<0$$。3.反比例函数定义求参若$$y=mx^{m^2-2}$$为反比例函数：次数$$m^2-2=-1$$，系数$$m\neq0$$。四、题型四：k的几何意义（圆、面积必考模型）设点$$P(x,y)$$在反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}$$上。1.矩形面积模型（基础）过点$$P$$作坐标轴垂线，围成矩形面积：$$\boldsymbol{S_{\text{矩形}}=|k|}$$2.直角三角形面积模型（必考）过点$$P$$作坐标轴垂线，连接原点：$$\boldsymbol{S_{\text{三角形}}=\dfrac{1}{2}|k|}$$核心结论同一反比例函数上任意一点，构成的面积恒定不变，与点的位置无关。3.面积反求k先通过面积算出$$|k|$$，再看象限定正负（极易漏步骤扣分）。五、题型五：函数交点问题（方程组思想）1.求交点坐标联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组，解即为交点坐标。2.图像上下位置与不等式解集谁图像在上方，谁函数值大；解集观察：看交点、分区间、上下比大小。注意：反比例定义域$$x\neq0$$，解集必须避开0。六、题型六：反比例函数实际应用题（解答题）1.适用场景乘积为定值的实际问题：路程一定（速度-时间）、工程一定（效率-时间）、面积一定（长-宽）、压力一定（压强-受力面积）等。2.解题四步模板①找变量：确定自变量、因变量；②列关系式：根据总量=变量×变量，列出反比关系；③代值求k，写出解析式；④根据实际意义限制自变量范围（正数、整数等）。七、本节满分易错汇总1.比大小忘记先分正负、再分增减，跨象限乱用单调性；2.图像共存题忽略$$k$$统一，符号前后矛盾；3.面积模型忘记绝对值，求$$k$$不看象限乱填正负；4.函数不等式解集忘记$$x\neq0$$；5.实际应用题不写自变量取值范围，大题扣分。本节满分解题口诀比值先判正负区，同象限内看增减；图像共存k统一，面积半k恒不变；联立方程求交点，不等式看上下线；实际应用积为定，定义域内解周全。27.2.2反比例函数的图象和性质的应用新课引入
回顾
1.反比例函数具有什么性质？
形状
双曲线
所在象限与性质
一、三象限
每象限内， 随 增大而减小
二、四象限
每象限内， 随 增大而增大
本节课我们将运用这些性质解决具体的数学问题，包括如何求反比例函数的解析式、如何判断点是否在函数图象上，以及如何利用增减性比较函数值的大小.
新知探究
探究
例1 已知反比例函数的图象经过点 .
(1) 这个函数的图象位于哪些象限 随 的增大如何变化
想一想
要判断函数图象所在象限和增减性，需要先知道什么？
要判断函数图象所在象限和增减性，需要知道的符号。
即,代入得
因此图象位于 第二、第四象限
在每一个象限内，随的增大而增大。
点 A 在第二象限，横纵坐标异号
新知探究
(2) 点 , , 是否在这个函数的图象上
解得
因此, 这个反比例函数的解析式为
因为点 , 的坐标都满足 , 点 的坐标不满足
所以点 , 在函数 的图象上, 点 不在这个函数的图象上.
解：设这个反比例函数的解析式为 .
因为点 在其图象上, 所以点 的坐标满足 , 即
知识点1 反比例函数图象的对称性
1. 已知反比例函数 的图象与正比例函数
的图象相交于，两点，若点 的坐标是
，则点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
2. [2026北京四中期末] 如图，正方形四
个顶点分别位于两个反比例函数 和
的图象的四个分支上，则实数 的值
为( )
A
A. B. C. D. 3
知识小结
思考
如何判断一个点是否在反比例函数的图象上？
1.待定系数法求反比例函数解析式的步骤：
①设解析式；
②代入已知点坐标；
③解方程求 ；
④写出解析式。
2.判断点是否在反比例函数图象上的方法：
代入验证法，即点的坐标满足（或 ），则点在图象上。
新知探究
图象特征与参数范围、增减性综合应用
探究
例2 图中的曲线是反比例函数 的图象的一支。根据图象，回答下列问题：
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 的取值范围是什么？
解得
想一想
反比例函数的图象有什么对称性？
解：因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限．
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以
新知探究
(2) 在这个函数图象的某一这支上任取点 A 和点 B 。如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？
想一想
图象位于第一、第三象限，说明满足什么条件？这里的是多少？
（2）因为
所以在这个函数图象的任意一支上
都随的增大而减小
因此当时，．
思考
知识小结
一般情况下，如何比较反比例函数值的大小？
比较反比例函数值的大小时
①首先要判断自变量是否同号（即两点是否在同一象限）
②再利用增减性比较；
若异号，则直接根据象限内函数值的正负比较。
巩固训练1 待定系数法求反比例函数解析式
已知反比例函数的图象经过点（3，-4），求这个反比例函数的解析式。
【分析】设反比例函数解析式为 ，将已知点的横纵坐标代入解析式，解方程求出 的值，即可确定解析式。
解： 设这个反比例函数的解析式为 （ 为常数，）。
反比例函数的图象经过点（3，-4）
将 ， 代入解析式，得：
得：
这个反比例函数的解析式为 。
【点拨】如图，连接正方形 的对
角线，易知对角线交于原点，过点 ，
分别作轴的垂线，垂足分别为， .
根据题意可设点的坐标为 ,
则,. 四边形 是正
方形，， .
.又
,
,
.
点在第二象限， 点 的坐标为
. 点在反比例函数 的图
象上， 故选A.
知识点2 反比例函数中 的几何意义
（第3题）
3. 如图，这是反比例函数 的图象，
点 是反比例函数图象上任意一点，
过点作轴于点,连接 ,则
的面积是( )
B
A. 1 B. C. 2 D.
（第4题）
4. [2025山东] 如图，在平面直角坐标系
中，，两点在坐标轴上，四边形
是面积为4的正方形.若函数 的
图象经过点，则满足的 的取值范
围为( )
A
A. B. C. D.
知识点3 反比例函数和一次函数的综合
5. 已知关于的一元二次方程 无实数根，
则函数与函数 的图象交点个数为( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【点拨】 关于的一元二次方程 无实数
根，，解得 函数 的图
象经过第二、四象限. 函数 的图象位于第二、四象
限， 两个函数图象有2个交点.
6. 通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不
等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用.请利用直角
坐标系构造恰当的图形，判断不等式
的解集是( )
B
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【点拨】设 ，
由图象可知，不等式的解集是
或 .
作函数
的图象和函数
的图象如图所示.
7. 若双曲线与直线
的两个交点分别为，，且 ，
则下列结论一定成立的是( )
A
A. B. C. D.
【点拨】 双曲线与直线 的两个交
点分别为，， 点与点 关于原
点对称， ，
，
反比例函数与正比例函数的图象若有两个交点，则
两交点关于原点对称.反比例函数图象与其他关于原点对称的
图象组成的新图形仍关于原点对称.
8. 已知反比例函数，对于正数，当自变量 满
足时，函数的最小值为 ，则当
时，函数 有( )
D
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
【点拨】， 此函数图象在第二、四象限，在每个象
限内，随的增大而增大. 对于一个正数 ，当
时，函数的最小值为， 当 时，
.若 ，则当
时，函数有最小值，为，当 时，
函数有最大值，为 .
9. 如图，已知， 是反比例函数
图象上的两点， 轴，
交轴于点.动点从点出发，沿
匀速运动，终点为，过点作轴于点 .
A
A. B. C. D.
设的面积为，点运动的时间为，则关于 的函数
图象大致为 ( )
（第10题）
10. 如图，在平面直角坐标系中，原
点为正六边形 的中心，
轴，点在双曲线
为常数， 上，将正六边形
向上平移个单位长度，点
恰好落在双曲线上，则 的值为_____.
课堂总结
本节课你学到了什么？

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