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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十七章反比例函数27.3.1反比例函数的应用知识点汇总前言：本节是反比例函数压轴应用专题，在27.2基础性质之上，重点考查实际生活应用和几何图形应用，是九年级期末、中考解答题高频考点。核心解题思想：乘积为定值的两个变量，成反比例函数关系。一、反比例函数应用核心判定依据若两个变量$$x、y$$，满足$$\boldsymbol{xy=k}$$（$$k$$为非零定值），则$$y$$与$$x$$成反比例函数关系，解析式为$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$。核心特征：总量固定，两个变量此增彼减。二、反比例函数实际应用（解答题必考）1.常见四大应用场景①工程问题：工作总量一定，工作效率与工作时间成反比；②行程问题：路程一定，行驶速度与行驶时间成反比；③面积/体积问题：图形面积、几何体体积一定，边长、高、底成反比；④物理实际问题：压力一定，压强与受力面积成反比；电压一定，电流与电阻成反比。2.标准解题五步满分模板①判关系：根据题意判断两个变量乘积为定值，确定反比例关系；②设解析式：设$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$；③代值求k：代入题目已知一组对应值，求出定值$$k$$；④写完整解析式：写出带自变量取值范围的函数关系式；⑤解题作答：根据解析式求值、比较大小、分析变化趋势。3.自变量取值范围（大题必写，扣分重点）实际问题中，变量代表长度、效率、时间、数量等，均为正数，即$$\boldsymbol{x>0}$$；若涉及人数、个数等整数变量，需标注$$x>0$$且$$x$$为整数。4.函数变化趋势分析实际应用中$$k>0、x>0$$，图象仅在第一象限：变量$$x$$增大，$$y$$减小；变量$$x$$减小，$$y$$增大。三、反比例函数几何应用（填空压轴高频）结合平面直角坐标系、几何图形求解析式、边长、面积，核心依托k的几何意义。1.核心面积模型回顾点$$P(x,y)$$在$$y=\dfrac{k}{x}$$图象上：垂直坐标轴围成矩形面积：$$S=|k|$$垂直坐标轴+原点围成直角三角形面积：$$S=\dfrac{1}{2}|k|$$2.几何解题技巧①已知面积求$$k$$：先算$$|k|$$，再根据图象象限确定$$k$$正负；②已知函数求面积：直接代入$$|k|$$计算，无需找点坐标；③图形平移、对称后，$$k$$值不变，面积恒定。四、函数综合应用（一次+反比例）1.核心考点求两函数交点坐标、比较函数值大小、求不等式解集、求图形面积。2.解题方法①交点坐标：联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组；②函数值大小：图象上方函数值更大，分区间判断；③面积计算：分割图形，结合$$k$$几何意义、一次函数截距求解。五、本节高频易错点（考试重灾区）1.实际应用题忘记写自变量取值范围，大题直接扣分；2.求$$k$$值只算正数，忽略象限判定正负；3.混淆正反比例：和定值为一次函数，积定值才是反比例；4.实际问题乱用增减性，未限定第一象限分析；5.综合题解集忘记避开$$x=0$$。六、本节满分口诀积定变量成反比，先设解析式解题；代值求k定关系式，变量范围莫忘记；几何面积看k值，象限定号是关键；综合联立求交点，区间判值稳得分。27.3.1反比例函数的应用新课引入
回顾
1.反比例函数的一般形式是什么？
2.
当时，图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大
一般形式
,为常数，
图象形状
双曲线
性质
当时，图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；
今天我们就一起运用反比例函数的知识，解决生活中常见的实际问题。
新知探究
探究1
工程中的反比例函数
例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了．
（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？
想一想
你还记得工程问题的基本公式吗？
货物总量 = 装载速度 × 装载时间 = (t)
固定的量
故
即
基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
新知探究
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
把 代入
得
法二：结合函数性质分析
答：若货物不超过 6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 货物。
不超过 6 h 卸载完毕
对应的是
想一想
你还有其他方法能解决此问题吗？
对于函数 ，当时，越小，越大。
因此当卸载时间最长为 时，对应的卸载速度就是最小值。
知识点1 利用反比例函数解实际问题
1. 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则
汽车行驶时间单位：关于行驶速度单位： 的函
数解析式是( )
B
A. B. C. D.
2. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已
融入人们的日常生活中.如图，是某酒店的智能送餐
机器人，其最快移动速度 是载重后总质量
的反比例函数.已知此款智能送餐机器人载重
1
前的质量时，它的最快移动速度 ，当
其载重后总质量时，它的最快移动速度是___ .
新知巩固 工程中的反比例函数
仓库有一批货物，用传送带卸货，每小时可卸120吨，8小时可以全部卸完。
（1）求卸货速度（单位：吨/小时）与卸货时间（单位：小时）的函数解析式；
（2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？
【分析】先计算货物总重量，根据“速度×时间 = 总重量”建立反比例函数；结合时间上限，利用反比例函数增减性求出速度的最小值。
解： （1）货物总重量为：（吨）
由，得函数解析式：
新知巩固 工程中的反比例函数
（2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？
（2）由题意得，对于函数
时随的增大而减小 因此当取最大值5时，取得最小值
将代入，得：
答：平均每小时至少要卸货192吨。
新知探究
探究2
力学中的反比例函数
生活中我们常说“杠杆省力”，用撬棍撬石头时，动力臂越长越省力，这就是杠杆平衡原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂 ().
根据杠杆原理得：
例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。
（1）动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？
整理得 ()。
当 m 时， (N)。
当动力为 400 N 时，杠杆恰好平衡；要撬动石头，动力至少需要 400 N。
新知探究
（2）若想使动力不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（1）中用力的一半为，“不超过 ”即。
对于函数，当时，随的增大而减小。
因此要求，只需求出时对应的动力臂长度。
将代入，得，解得
动力臂需要加长： 。
结论：动力臂至少要加长 1.5 m。
知识小结
思考
你能总结反比例函数在实际问题中的解题步骤吗？
解题一般步骤：
1.审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系；
2.建：根据 “乘积为定值” 的等量关系，建立反比例函数解析式；
3.定：结合实际意义，确定自变量的取值范围；
4.解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围；
5.验答：检验结果是否符合实际，规范作答。
注：涉及 至少最多类问题时，必须结合反比例函数的增减性判断变量的最值对应关系，避免范围写反。
巩固训练2 工程工作类
变式题
修路队修建一段乡村公路，原计划每天修 120 米，25 天可以完工。
（1）求每天修路长度 （单位：米 / 天）与完工所需天数 （单位：天）的函数解析式；
（2）为了赶工期，需要提前 5 天完工，每天至少需要多修多少米？
由 ，得函数解析式：
（2）提前 5 天后，完工天数为
将 代入 ，得：
每天需多修：（米）
答：每天至少需要多修 30 米。
解： （1）公路总长度为：
（米）
知识点2 利用反比例函数解跨学科问题
3. [2026深圳期末] 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达
到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力 的
反比例函数．已知当张力时，频率
即达到标准音高．若要使频率升高到 即达到标准
音高 ，应该如何调整张力？( )
D
A. 增大至 B. 减小至
C. 增大至 D. 减小至
（第4题）
4. 社团活动中，同学用自制密
度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在
密度为 单位： 的液体中，浸在液
体中的高度单位：与液体的密度 的
关系式为 ，橘子汁的密度是水的密度
1
的 倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多
．则水的密度为___．
（第4题）
【点拨】
设密度计悬浮在水中的高度为 ，则悬浮
在橘子汁中的高度为 .
橘子汁的密度是水的密度的 倍，
，
解得，经检验， 是原分式方程
的解,
水的密度为 .
知识点3 利用反比例函数的图象解决问题
（第5题）
5. 小颖和小亮玩掷
骰子游戏，每人分别先后掷两次
得到，，并约定点 落在如
图所示的反比例函数
图象内为小亮胜，
落在图象外则小颖胜，落在图象
A
A. 小颖 B. 小亮 C. 都一样 D. 无法确定
上为平局，你认为谁获胜的希望较大？( )
【点拨】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
所有等可能的结果有36种，落在函数 图象内的
有13种，落在图象外的有19种，
小颖获胜的希望较大，故选A.
（第5题）
（第6题）
6.某气球内充满了一定质量的气
体，当温度不变时，气球内气体
的气压是气体体积
的反比例函数，其函数图象如图
所示.当气体体积为 时，气压
是____ .
48
（第7题）
7. 如图，某校计划利用已有的一堵长为
的墙，用篱笆围一个面积为 的
矩形园子.设， ，则下
列说法正确的是( )
C
A. 关于的函数解析式为
B. 自变量的取值范围为，且随 的增大而减小
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，
（第7题）
【点拨】根据矩形园子的面积为 ，
可知 ，
，故A选项错误，不符合题意；
墙长为 ，
，,解得 ，故B选项错误，不
符合题意；当时，则，解得， 的取值范围
为 ，故C选项正确，符合题意；
当时， ，故
D选项错误，不符合题意.故选C.
（第7题）
8. 如图①，区间测速是指检测
机动车在两个相邻测速监控点之间
的路段（测速区间）上平均速度的
方法.小聪发现安全驾驶且不
B
A. B. C. D.
超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间 段的平均
行驶速度与行驶时间 是反比例函数关系（如图②），
已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过
，最低车速不得低于 ，小聪的爸爸按照此规
定通过该限速区间 段的时间可能是 ( )
课堂总结
本节课你学到了什么？

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