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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十九章圆29.2.1垂直于弦的直径知识点汇总前言：本节核心为垂径定理，是圆几何第一条核心计算定理，中考必考题型！主要用于圆中求弦长、半径、圆心距、拱高，贯穿圆的计算与证明，是后续圆周角、切线问题的计算基础。一、圆的对称性（定理前提）圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。垂径定理本质：利用圆的轴对称性，实现直径、弦、弧的等量转化。二、垂径定理（核心必考·原话背诵）1.定理内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2.几何语言（大题标准书写）已知：在$$\odot O$$中，直径$$AB \perp$$弦$$CD$$，垂足为$$E$$可得：$$CE=DE$$，$$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$$，$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$$3.定理拆解三结论一条直径满足“垂直弦”，自动解锁三个结果：①平分弦（线段平分）；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧。三、垂径定理推论（考试高频）1.推论内容平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。2.超级关键易错前提被平分的弦不能是直径！原因：圆中两条直径互相平分，但不一定垂直，必须排除直径情况，推论才成立。3.五要素知二推三（终极模型）对于圆中直径与弦的关系，满足以下5个条件中任意2个，可推出剩余3个：①过圆心（是直径/半径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分劣弧；⑤平分优弧。四、垂径定理万能计算公式（秒杀公式）1.构造直角三角形模型做题必做辅助线：连接圆心与弦端点（作半径），构造Rt△。2.核心公式设：圆半径$$R$$，弦长$$L$$，圆心到弦的距离（弦心距）$$d$$$$\boldsymbol{R^2 = d^2 + \left(\dfrac{L}{2}\right)^2}$$口诀：半径斜边，距半弦为直角边3.拱高公式（弓形问题专用）拱高（弓形高）$$h = R - d$$已知拱高可快速求弦心距，常用于拱桥、隧道、圆弧形构件计算题。五、标准解题步骤（大题满分模板）1.过圆心作弦的垂线（或利用已知直径）；2.根据垂径定理得：弦被平分，写出半弦长；3.连接半径构造直角三角形；4.利用勾股定理$$R^2=d^2+(\frac L2)^2$$列方程求解。六、本节高频易错陷阱1.忽略推论前提：平分直径的直径不垂直，推论仅限“非直径弦”；2.计算时忘记取半弦长，直接用整弦长代入勾股定理；3.不会做辅助线：解题核心永远是作垂直、连半径；4.混淆弦心距与拱高：弦心距是圆心到弦的距离，拱高是弧到弦的距离。本节满分口诀直径垂直一条弦，平分弦弧两边全；平分弦非直径线，垂直弧分等价连；半径勾股是核心，距半弦方凑直角。29.2.1垂直于弦的直径新课导入
圆是轴对称图形吗？
(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.
(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
(3)能利用垂径定理解决相应问题.
推进新课
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
回 顾
知识点1
圆的轴对称性
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
探究
圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.
圆有哪些对称轴？
O
如何来证明圆是轴对称图形呢？
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
左图是轴对称图形吗？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
知识点2
垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
B
O
A
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
知识要点
垂径定理
B
O
A
C
D
E
　　下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
N
O
A
B
M
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条
直径总是互相平分，
但它们不一定互相垂
直.因此这里的弦如
果是直径，结论不一
定成立．
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.
注意
两
三
条件 结论 命题
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂径定理的推论
知识点2 垂径定理及其推论
（第2题）
2. 如图,是的直径,是 的一条
弦, 于点 ,则下列结论：
； ；
； .其中一定正确的有
( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第3题）
3. 如图，是 的弦，
半径于点.若， ,则
的长是( )
A
A. 3 B. 2 C. 6 D.
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h
中，已知其中任意
两个量，可以求出
其它两个量．
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
A
C
B
D
O
37
7.23
18.5
R
R-7.23
解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
则R2=18.52+(R-7.23)2
解得：R≈27.3
因此，赵州桥的主桥拱
半径约为27.3m.
A
C
B
D
O
37
7.23
18.5
R
R-7.23
随堂演练
基础巩固
1.下列说法中正确的是( )
A.在同一个圆中最长的弦只有一条
B.垂直于弦的直径必平分弦
C.平分弦的直径必垂直于弦
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
B
2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC D.AC=BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .
C
10
6
⌒
⌒
知识点1 圆的轴对称性
1. 下列说法中，不正确的是( )
C
A. 圆是轴对称图形
B. 圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C. 圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D. 经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
4.如图，以点为圆心的圆弧与轴交于，两点，点 的坐
标为，点的坐标为，则点 的坐标为______.
（第4题）
5.[2026合肥期末] 如图，是的弦，点在弦 上，已
知的半径为7，若，，则 的长为___.
8
（第5题）
【点拨】如图，连接，过点作
于点，则，设 ，
.
，
.
，解得 .
. .
.故答案为8.
知识点3 垂径定理的应用
（第6题）
6. 如图，这是一名同学从照片上剪下来
的海上日出时的画面（示意图），图中
太阳与海平线交于, 两点，他测得图中
圆的半径为， ．若太阳
从目前所处位置
D
A. B.
C. D.
到完全离开海平线的时间为 ，则图中太阳升起的速度为
( )
（第7题）
7. 平底烧瓶是实验室中使用的一种烧
瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度
受热.如图，它的截面图可以近似地看作是由
去掉两个弓形后与矩形 组合而成的图
形，其中，若 的半径为25，
，， ，则该平底烧瓶
的高度为____.
80
【点拨】如图，连接，，过点作 ，
交于点，交于点，平分 .
，平分 .
，，， .
在和中， ，由勾股定理得
，， 该
平底烧瓶的高度为 .
8. 如图①，是 的直
径，是 上的一点，连接
，，是 上的动点，
C
A. 10 B. 6 C. 5 D.
过点作于点.设，，与 之间的函
数关系图象如图②所示，若是图象的最高点，则 的长是
( )
【点拨】过点作于点，交于点 ，由图象可
知此时，.设，则 .在
中，由勾股定理可列方程求出，则 ，从
而可求出 .
9. 如图，是的直径，点在上， 于点
，点是上的动点（不与重合），点为 的中点，
若,，则 的最大值为____.
7.5
（第9题）
【点拨】如图，延长交于点 ，连
接,，即，且
是的直径，.又 点为
的中点，.当为直径时，
取得最大值，此时取得最大值.设的半径为 ，则
.在中， ,
，解得,的最大值为15,
的最大值为7.5.
（第10题）
10. 如图，是 的直
径，，点在线段 上运动，过点
的弦，将沿 翻折交直线
于点，当 的长为正整数时，线段
的长为___________________.
或或2
【点拨】为直径， 为弦，
当 的长为正整数时，
或2.当，即 为直径时.
， 将沿翻折交直线
于点，此时与点重合.；当，且点 在线
段之间时，如图①，连接，则 .
， .
.
.
由翻折可知 ;
当，且点在线段 之间时，
如图②，连接 ，
同理可得 ，
.
综上，线段的长为 或
或2.
因为圆的对称性，长度固
定的弦在圆中的位置是不固定的.题
目中没给出点 的具体位置，应分
点在线段之间和点在线段
之间两种情况讨论，本题容易考虑
不周全，导致漏解.
. .
. .
. .
课堂小结
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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