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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十九章圆29.2.3圆周角知识点汇总前言：圆周角是圆三大核心角中考点最多、应用最广的知识点，承接圆心角，是圆角度计算、几何证明、圆内接四边形、压轴几何题的核心基础。本节重点区分圆周角与圆心角、掌握圆周角定理及三大推论，是中考必考重难点。一、圆周角的定义（必考辨析）顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。两大必备条件（缺一不可）：1.角的顶点在圆上；2.角的两条边均与圆相交。易混对比：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。二、圆周角定理（核心必考·大题依据）1.定理原话2.角度公式$$\text{圆周角} = \dfrac12 \text{同弧所对圆心角}$$3.几何语言（标准答题）若$$\overset{\frown}{AB}$$所对圆心角为$$\angle AOB$$，圆周角为$$\angle ACB$$，则：$$\angle ACB = \dfrac12\angle AOB$$。三、圆周角定理三大推论（考试高频）推论1：同弧、等弧圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等。逆用：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。作用：圆中角度等量代换、证角相等、证平行。推论2：直径所对圆周角为直角（超级秒杀考点）直径所对的圆周角是90°（直角）。逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。作用：快速构造直角三角形，用于计算、垂直证明、勾股定理求解。推论3：弧与角度对应关系半圆（或直径）所对圆周角是直角；优弧对应钝角、劣弧对应锐角。四、圆心角与圆周角终极对比1.顶点位置：圆心角在圆心，圆周角在圆上；2.角度大小：同一条弧，圆心角是圆周角的2倍；3.取值范围：圆心角可0°~360°，圆周角0°~180°。五、圆内接四边形补充（本节关联考点）四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形。性质：对角互补，外角等于内对角。公式：圆内接四边形$$\angle A+\angle C=180^\circ$$，$$\angle B+\angle D=180^\circ$$。六、本节必考几何模型1.同侧等角模型同一弧上方的所有圆周角相等，可直接等量代换。2.直径直角模型看见直径，优先连接端点构造直角三角形。3.倍角模型同弧下，圆心角翻倍圆周角，角度计算核心模型。七、高频易错陷阱（扣分重点）1.必须是同一条弧对应的圆心角和圆周角才满足二倍关系，乱套角度必错；2.顶点在圆上但两边不都交圆，不是圆周角；3.直径对直角，但普通弦不对直角；4.不同弧的圆周角无法直接相等，必须依托同弧、等弧；5.忘记圆内接四边形对角互补性质。本节满分口诀顶点圆上圆周角，同弧角度半圆心；同弧等角可代换，直径对直定直角；圆内四边对角补，圆中角度尽可求。29.2.3圆周角新课导入
如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？
A
B
O
C
推进新课
知识点1
圆周角的定义及圆周角定理
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
O
C
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
　　图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？
A
B
O
C
探究
先猜一猜，再用量角器量一量.
　　（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
A
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
B
C
O
A
∵　OA=OC，
∴　∠A=∠C．
又∵　∠BOC=∠A+∠C，
∴
证明：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵OA=OB，
∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
B
C
O
A
同理，
∴
∴
D
请同学们自己完成证明.
B
C
O
A
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【对应训练】
解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC,
所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，
∠A= ∠BOC= ×80°=40°.
A
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
A
B
O
C
那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？
知识点2
圆周角定理的推论
根据圆周角定理可知，
同弧所对的圆周角相等．
A
D
B
C
O
∴
同弧：
∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？
⌒
证明：
.
如图，作出两弧所对应的圆心角.
根据圆周角定理可知，
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
A
D
B
C
O
E
BC=CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？
⌒
⌒
又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.
⌒
⌒
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
知识点1 圆周角的概念
（第1题）
1. 如图,四边形中， ,
,三点均在上,点在 外，则图中
的圆周角有( )
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
知识点2 圆周角定理
（第2题）
2. 如图，，为
的弦，连接，，.若 ,
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
下列说法是否正确，为什么？
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
如图所示，连接BO、EO.
显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = .
360°
180°
在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
C1
A
O
B
C2
C3
思考
所对应的圆心角为 ，
则对应的圆周角为 .
180°
90°
　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
推论2：
例4 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，
ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. 　
A
C
B
D
O
∵　AB 是⊙O 的直径，
∴　 ACB= ADB=90°．
在 Rt△ABC 中，
　
10
6
A
C
B
D
O
10
6
∵　CD 平分 ACB，
∴　 ACD= BCD，
∴　 AOD= BOD ．
∴　AD=BD．
在 Rt△ABD 中，
　 AD2+BD2=AB2 ，
∴　AD=BD=　　　　
=　　（cm）．
8
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
知识点3
圆内接多边形
A
B
C
D
O
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
思考
A
B
C
D
O
∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =360°
圆内接四边形的对角 .
互补
（第3题）
3. 如图，以原点为圆心的圆交轴于，
两点，交轴的正半轴于点， 为第一象限
内上的一点，若 ，则
的度数是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】连接 ，
. .
又， .
（第4题）
4.如图，点，，在半径为2的 上，
，，垂足为 ，交
于点，连接，则 的长度为___．
1
【点拨】连接 ，
. ，
， .
.
. .
5.[2026南京外国语学校期末] 如图，内接于 ，连
接，且平分，是上一点，连接， .若
，则 的度数为____.
（第5题）
【点拨】如图，连接 ，由圆周角定理得
. ，
. 平分 ，
. ，
.
知识点3 圆周角定理的推论
（第6题）
6. [2025泸州] 如图，四边形 内接于
，为的直径.若 ,
，则 ( )
B
A. B. C. D.
（第7题）
7. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分,
为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作
如图所示的测量,测得, ，
则圆形镜面的半径为_ ______.
8.如图，是的直径，点，分别是弦， 的中
点，，，则 的长是___．
4
（第8题）
（第8题）
【点拨】是的中点，
是的直径， . ，
，
是
弦的中点，是直径的中点， 是
的中位线. ，
，， 三点共线.
．
（第9题）
9. 如图，，是的弦，， 是
的半径，点为 上任意一点
（点不与点，重合），连接 ．若
，则 的度数可能是
( )
D
A. B. C. D.
（第9题）
【点拨】连接 ，
. ，
. 点
为上任意一点（点不与点， 重
合）， .
， ．
（第10题）
10. 如图，某博览会上有一圆形
展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台
监视器，它的监控角度是 ，为了监控整
个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样
的监视器( )
C
A. 2台 B. 3台 C. 4台 D. 5台
（第11题）
11. 如图，是的直径，点，
在上，且， 的延长线与
的延长线交于点，连接 ，若
，则 的度数是____．
（第11题）
【点拨】连接 ，
. ，
又 ，
.
.， .
（第12题）
12. 如图，是的直径，点， 为圆
上两点，若点为的中点，连接 并延长
与交于点，与的延长线交于点 .若
,， ，则
___， ___.
6
【点拨】 点为的中点， ，
在
中， ，且
， ，
.如图，连接 ，设
是的直径， .
. ，
.
， .根
据圆周角定理得 ，
是 的外角，
.
，
.在 和
中，由勾股定理，得
，
，解得 .
.
13. 如图，的弦长为2，是 的直径，
， ．
（1）求 的半径长．
【解】如图，连接, .
,
.
又 ，
是等边三角形.
，即 的半径长为2.
（2）若是上的动点，求 的最小值.
， .
.
如图，延长交于点，连接交 于点
，连接,则此时 ，
即的最小值是 的长.
易知是的直径， .
，
即的最小值是 ．
课堂小结
圆周角
圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.
圆周角定理及其推论：
定理:
推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
①同弧或等弧所对的圆周角相等．
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：
圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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