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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十九章圆29.3.1弧长和扇形面积知识点汇总前言：本节是圆的计算核心考点，以公式运用为主，中考填空、选择、解答高频考查。重点掌握弧长公式、扇形面积两套公式、公式变形及阴影面积常用割补法，是圆锥侧面展开图的基础。一、基础概念1.扇形定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。简单理解：圆的一部分，由两条半径+一段弧围成。2.核心前提公式中$$n$$为圆心角度数（不带单位），$$R$$为圆的半径。二、弧长公式（必考）1.公式推导整圆周长：$$C=2\pi R$$，圆心角$$360^\circ$$。圆心角为$$n^\circ$$的弧长占整圆周长的$$\dfrac{n}{360}$$。2.弧长公式$$\boldsymbol{l=\dfrac{n\pi R}{180}}$$$$l$$：弧长；$$n$$：圆心角度数；$$R$$：半径三、扇形面积公式（两套必背）1.角度公式（已知圆心角、半径）$$\boldsymbol{S_{\text{扇形}}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}$$适用：题目给出圆心角度数$$n$$时首选。2.弧长公式（已知弧长、半径·秒杀公式）$$\boldsymbol{S_{\text{扇形}}=\dfrac12 lR}$$适用：已知弧长$$l$$、求面积，无需角度，计算更快。类比记忆：和三角形面积公式$$S=\dfrac12 ah$$形似，弧长当底、半径当高。四、公式变形（逆向计算题必考）1.已知弧长求圆心角：$$n=\dfrac{180l}{\pi R}$$2.已知扇形面积求圆心角：$$n=\dfrac{360S}{\pi R^2}$$3.已知扇形面积求弧长：$$l=\dfrac{2S}{R}$$五、常见图形面积计算模型1.弓形面积（超高频）劣弧弓形：$$S_{\text{弓形}}=S_{\text{扇形}}-S_{\text{三角形}}$$优弧弓形：$$S_{\text{弓形}}=S_{\text{圆}}-S_{\text{劣弧弓形}}$$2.阴影面积通用方法割补法、加减法则、平移旋转拼凑法大部分圆阴影题：转化为「扇形±三角形±规则图形」。六、本节易错点（扣分重灾区）1.弧长公式分母是180，扇形面积公式分母是360，极易记混；2.公式中$$n$$只代数字，不能带度数符号；3.区分弧长（长度单位）和扇形面积（面积单位），单位不混用；4.求弓形面积不分优劣弧，直接乱套公式；5.半径、直径看错题，直接代错数值。七、满分解题步骤1.找准圆心角$$n$$和半径$$R$$；2.判断求弧长还是面积，选用对应公式；3.代入数值、化简$$\pi$$、保留最简结果；4.阴影面积优先转化为规则图形相加减。本节满分口诀弧长一八分之nπR，扇形三六nπR方；弧长半径也可算，二分之一lR强；弓形扇三角相减，阴影割补最常用。29.3.1弧长和扇形面积新课导入
情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度).
问题：怎样求一段弧的长度呢？
(1)能推导弧长和扇形面积的计算公式.
(2)知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.
（1）半径为R的圆,周长是多少？
C=2πR
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少
度的圆心角所对的弧？
1°
O
360°
推进新课
弧长公式
知识点1
140°圆心角所对的弧长是多少？
n°
A
B
O
若设⊙O半径为R，n°的圆心
角所对的弧长为 .
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
L （mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
因此所要求的展直长度
l （mm）.
解：由弧长公式，可得AB的长
扇形的定义和面积公式
知识点2
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？
如 何 求 扇 形 的 面 积 ？
1°
想一想：圆的面积可以看作多少度的圆周角所对的扇形面积？
扇形面积公式
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为
扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧所对的圆心角的度数有关系.
S扇形＝ S圆
360
n
＝ πR2
360
n
弧长公式与扇形面积公式的区别
弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 .
n°
l
O
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗
探索弧长与扇形面积的关系
S
R
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）.
O
B
A
C
D
弓形的面积=S扇-S△OAB
提示:
例2
解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交AB于点C，连接AC.
⌒
∵OC=0.6m,DC=0.3m,
∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.
又AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积S=S扇形-S△OAB=
O
B
A
C
D
随堂演练
基础巩固
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧长是 .
2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm.
3.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是 .
4π
6
150°
4.如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度. (π取3.142)
解：
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
知识点1 弧长公式
1. 若扇形的半径为6，弧长为 ，则
所对圆心角的度数为( )
D
A. B. C. D.
2. 如图，北京市某
处位于北纬 （即
），东经 ，三沙
市海域某处位于北纬
C
A. B.
C. D.
（即），东经 . 设地球的半径约为 ，则
在东经 所在经线圈上的点和点 之间的劣弧长约为
( )
（第3题）
3.如图，在中， ，
，，将绕点 逆
时针旋转到的位置，点 的对应点
首次落在斜边上，则点 的运动路径
的长为_____ .
知识点2 扇形面积公式
（第4题）
4. 如图，以点 为圆心的两个同心圆中，
点，在大圆上，点，在小圆上，
和的长度分别是，.若 ，则扇
形的面积与扇形的面积 的大小
关系为( )
A
A. B. C. D. 不能确定
5.[2025成都] 如图，的半径为1，，，是 上的三
个点.若四边形为平行四边形，连接 ，则图中阴影部
分的面积为__.
（第5题）
【点拨】如图，连接，则 .
四边形为平行四边形， ，
,
， 为等边三角
形，， 阴影部分的面积
.
6.如图，中， ， ，将
绕点顺时针旋转 得到 ，则图中阴影部分
面积为__.（结果保留 ）
（第6题）
（第6题）
【点拨】 ，
，
.由图可知：阴
影部分的面积扇形的面积
的面积-扇形的面积的面积. 绕点 顺
时针旋转 后得到，的面积 的面
积， 阴影部分的面积扇形的面积-扇形 的面积
.
本题运用等面积变换法求图形面积，
在等面积转化中可根据全等三角形
（或等底等高）面积相等进行转化，从而将
不易直接求得的图形面积转化成与其面积相
等的易求的图形面积.
（第6题）
. .
（第7题）
7. 如图①，在正方形 内，以点
为圆心，长为半径画弧，点 从
圆弧的端点出发，沿向点 运动，
过点作于点.设点 运动的
时间为，，图②是点 以每
C
A. 3 B. 9 C. D.
秒的速度运动时，随 变化的关系图象，则图①中阴影部
分的面积为 ( )
（第7题）
【点拨】由图象可得,当 时，
，
，此时,重合，, 重合.
的长为，即 .
阴影部分的面积为
.
（第8题）
8. 如图，在平行四边形 中，
，以为直径的恰好经过点 ，
交于点，当点为 的中点时，下列结
论错误的是( )
B
A. 平分 B.
C. D. 的长为
9. 如图，正方形纸片中， ，
以为圆心， 的长为半径在正方形内部
作，点为上的一个动点，连接 ，
将左侧部分纸片沿折叠，点 落在点
处，连接.当为等边三角形时，求由， ，
， 围成的阴影部分的周长.
【解】 四边形 是正方形，
.
将左侧部分纸片沿折叠，点 落在点
处，
.
为等边三角形， ， .
. 阴影部分的周长为
.
课堂小结
n°
l
O
弧长公式：
扇形面积公式：
R
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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