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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第三十章直线与圆的位置关系30.1.2.1切线的性质与判定知识点汇总前言：本节是圆几何核心大题考点，中考必考证明、计算、综合压轴。切线分为两大体系：切线的性质（已知切线推结论）、切线的判定（证直线是切线）。配套两种必考辅助线模型、标准几何语言，是圆几何拿分关键。一、切线的核心基础回顾直线与圆相切：只有1个公共点，圆心到直线距离$$\boldsymbol{d=r}$$。切线：和圆只有一个公共点的直线；切点：切线与圆的唯一公共点。二、切线的性质定理（已知切线，用性质）1.核心定理（必背）∴ $$OA \perp l$$3.性质三结论（知一推二）满足以下任意两个，可推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线通俗口诀：圆心、切点、垂直，三点二线知二得一。4.性质题固定辅助线见切线，连切点，得垂直题目出现切线→立刻连接「圆心和切点」→出现90°直角，构造直角三角形解题。三、切线的判定定理（证明切线，必考大题）1.判定定理原话经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。2.判定两个缺一不可条件①直线经过半径的外端点（在圆上有公共点）；②直线垂直于这条半径。3.两种满分判定模型（考试100%套用）模型一：有公共点，连半径、证垂直（最常用）题干特征：已知直线与圆有交点、点在圆上。步骤：连接圆心与公共点→证明半径⊥直线→得切线。几何语言：∵ $$OA$$是半径，$$OA\perp l$$ ∴ $$l$$是$$\odot O$$切线。模型二：无公共点，作垂直、证半径题干特征：未说明交点，不确定直线是否过圆上点。步骤：过圆心作直线的垂线，垂足为$$A$$→证明垂线段长$$d=r$$→得切线。几何语言：∵ $$OA\perp l$$，$$OA=r$$ ∴ $$l$$是$$\odot O$$切线。四、切线三种判定方法（总结背诵）1.定义法：只有一个公共点（极少用，选择判断）；2.数量法：圆心到直线距离$$d=r$$（无交点题型专用）；3.定理法：过半径外端且垂直半径（大题主流证明法）。五、切线常用推论与结论1.经过圆心且垂直切线的直线，必过切点；2.经过切点且垂直切线的直线，必过圆心；3.切线与弦形成的角度，等于弦所对的圆周角（弦切角定理，拓展常用）。六、解题万能模板（大题零扣分）1.切线性质运用模板遇切线→连切点半径→得直角→用勾股、相似、角度计算求解。2.切线证明万能模板有点：连半径，证垂直（角度互余、平行转垂直、全等证直角）；无点：作垂直，证等径（算长度等于半径）。七、高频易错扣分点1.证明切线只证垂直，忘记说明「过半径外端」，条件残缺扣分；2.乱用辅助线：有点作垂直、无点连半径，模型搞反直接错；3.切线性质记错：不是垂直任意半径，只垂直过切点的半径；4.混淆判定与性质：性质知切线得垂直，判定证垂直得切线。本节满分口诀切线性质最常用，见切连点得垂直；证明切线两套路，有点连径证九十；无点作垂证等径，两端缺一不成立；性质判定分清用，圆题通透稳拿分。30.1.2.1切线的性质与判定新课导入
情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的
情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的
推进新课
回顾直线与圆相切：
.O
直线与圆相切
切线
.
切点
判断直线和圆相切有哪两种办法？
1.
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
1.切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
切线具有什么性质？
定义法：
数量法（d=r ）：
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？
条件一：直线l 经过半径OA的外端点A.
条件二：直线l 垂直于半径OA.
显然，圆心到直线的距离d =半径 r
相切
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
思考
l
.O
A
∵ OA⊥l
∴ l是⊙O的切线.
几何符号表达：
OA是半径，
于A
l
.O
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判断:
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
l
.O
.
A
第一步：连接OA;
第二步：过A点作OA的垂线l.
知识点1 切线的性质
（第1题）
1. 如图，是的切线，点 为切
点，连接并延长交于点 ，连
接,，若 ，则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2. [2025福建] 如图，与 相切于
点，的延长线交 于点
，且交于点 .若
，则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法
有以下三种方法
切线的判定方法
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
归纳
下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
1. 当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？
2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
生活中的数学
改变切线判定定理的题设与结论：
如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵直线l切⊙O于点Ａ，
∴OA⊥l
几何符号表达：
l
.O
.
A
反证法
思考
1.圆的切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质
归纳
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
例1
.
O
A
D
B
C
E
证明：连接OD,作OE⊥AC 于E .
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C.
∵O是BC的中点， ∴OB=OC .
∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
随堂演练
基础巩固
1.下列说法正确的是( )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
B
【点拨】如图，连接， ，则
.
与相切于点 ，
，
. ，
， 为等边三角形，
， .
又，为等边三角形，.
3.如图，是的半径，是的弦， 于点
，是的切线，交的延长线于点 .若
，，则线段 的长为___.
3
（第3题）
【点拨】连接，如图.是 的切
线， 半径 ，
， . ，
. ，
四边形 是平行四边形.
.
知识点2 切线的判定
（第4题）
4. 如图，点在 上，下列
条件不能说明是 的切线的是( )
D
A.
B.
C. ，
D.
（第5题）
5. 如图，在 中，
，为的中点， 是线
段上一点，以点为圆心， 长为半
径的交于另一点，交 于点
，要使是 的切线，需要添加的
（答案不唯一）
一个条件是_______________________（写一个条件即可）.
6.[2025山东] 如图，在中，点在上，边 交
于点，于点是 的平分线.
（1）求证：为 的切线；
【证明】 ，
.
， .
是 的平分线，
.
，
即 .
又为半径，为 的切线.
（2）若的半径为2， ，求
的长.
【解】的半径为2， .
， ，
.
， .
7. （多选题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如
图，这是其示意图．点在直线上往复运动，推动点 做圆周运动
形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线 与
的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到 时，点
到达．若， ，则下列结论正确的是 ( )
AB
（第7题）
A.
B. 当与相切时，
C.
D. 当时，
课堂小结
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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