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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第三十章直线与圆的位置关系30.1.2.2切线长定理知识点汇总前言：本节是切线专题第二大核心考点，承接切线的性质与判定，是圆中线段相等、角度相等、周长计算、几何证明的高频秒杀工具。切线长定理题型固定、结论极强，是中考填空选择速解、大题简化步骤的必备知识点。一、切线长的概念（必区分）切线长定义：从圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的线段长度，叫做切线长。重点辨析：1.切线：直线，无长度；2.切线长：线段，有具体长度；3.只有圆外一点才有切线长，圆上、圆内点无切线长。二、切线长定理（核心必考）1.定理原话从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。2.几何模型已知：点$$P$$为$$\odot O$$外一点，$$PA、PB$$分别切$$\odot O$$于点$$A、B$$。3.标准几何语言（大题满分）∵ $$PA、PB$$是$$\odot O$$的两条切线∴ $$\boldsymbol{PA=PB}$$，$$\boldsymbol{\angle APO=\angle BPO}$$三、切线长定理五大隐形结论（超级好用）在上述标准模型中，可直接推出：1.线段相等：$$PA=PB$$（切线长相等）；2.角度相等：$$\angle APO=\angle BPO$$（平分切线夹角）；3.垂直关系：$$OP \perp AB$$（圆心与外点连线垂直切点弦）；4.平分弦：$$OP$$平分弦$$AB$$；5.弧相等：$$OP$$平分弧$$AB$$。总结一句话：外点连圆心，平分角、垂直弦、平分弦、平分弧，四效合一。四、经典几何模型：切线长双切图1.角度模型圆外一点切线夹角$$\angle APB$$与圆心角$$\angle AOB$$互补：$$\angle APB+\angle AOB=180^\circ$$2.直角模型由切线性质：$$OA\perp PA，OB\perp PB$$，四边形$$OAPB$$有两个直角。五、重要拓展：三角形内切圆周长模型（填空压轴）1.任意三角形内切圆从三角形三个顶点引内切圆切线，同一点引出两条切线长相等。2.直角三角形内切圆半径公式（必背秒杀）$$\boldsymbol{r=\dfrac{a+b-c}{2}}$$$$a、b$$：直角边，$$c$$：斜边通用三角形内切圆半径：$$r=\dfrac{2S}{C}$$（S面积，C周长）六、解题万能步骤1.看到圆外一点两条切线→立刻用$$PA=PB$$；2.需要角度→用$$OP$$平分夹角；3.需要垂直、平分→直接用$$OP\perp AB$$；4.三角形内切圆题型→优先使用切线长相等转换边长。七、高频易错点（扣分重点）1.混淆切线与切线长：切线是直线，不可比较长度；2.切线长定理只适用于圆外一点，圆上点不适用；3.只记得边长相等，忘记角度平分、垂直弦隐藏结论；4.直角三角形内切圆半径公式记混、乱用。本节满分口诀外点双切长相等，圆心连线平分角；连线垂直切点弦，平分弦弧功效高；三角内切边长换，直角半径公式牢；切线长题直接套，省时准确得分高。30.1.2.2切线长定理新课导入
情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.
问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？
问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？
.
O
P.
A
B
推进新课
画一画：
切线长定理
知识点1
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2.这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出⊙O的切线PA.
.
O
P.
A
B
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
切线与切线长有什么区别与联系呢？
切线长概念
.
O
P.
A
B
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
切线和切线长
比一比：
.
O
P.
A
B
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，将⊙O沿着直线OP对折，图中的PA与PB，∠APO与∠ BPO有什么关系
思考
折一折
PA = PB
∠APO=∠BPO
发现：
请证明你所发现的结论.
证明：
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点.
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.
试用文字语言叙述你所发现的结论.
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
切线长定理
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
知识点1 切线长定理
（第1题）
1. 如图，已知切于点， 切
于点，交于点 ，下列结
论中错误的是( )
D
A. B.
C. D. 平分
（第2题）
2. 如图，，是 的切
线，切点为，，点，在 上，若
，则 ( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
【点拨】如图，连接 四边形 是
的内接四边形，
.
.，是的切线，切点为， ，
.
.
， .
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
六个
如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢
思考
三角形的内切圆
知识点2
．
o
外接圆圆心(外心)：三角形三边垂直平分线的交点.
外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离.
三角形外接圆
三角形内切圆
．
o
内切圆圆心(内心)：三角形三个内角平分线的交点.
内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离.
A
A
B
B
C
C
如图, △ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9，BC ＝14, CA ＝13,求AF、BD、CE的长.
A
E
C
D
B
F
.
例2
解：设AF=x,则AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.9cm
C
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( )
A.172° B.130° C.133° D.100°
C
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm.
3
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA=PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.
∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB,∴∠BAP=∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
（第3题）
3.如图，与中， 的
延长线及 边相切，且
，，，
所对的边长依次为3，4，5，则
的半径是___．
2
（第3题）
【点拨】如图，设,的延长线及
与的切点分别为,,,连接 ，
与，， 都相切，
，， ，
， ，
.又， 四边形 是正方形.设
，则 ，
，
，，，解得，即 的半径是2．
（第3题）
知识点2 切线长定理的应用
（第4题）
4. 我们古代数学家擅长通过计算
来研究图形的性质.例如《测圆海镜》卷中记
载：“假令有圆城一所，不知周径，四面开门，
门内纵横各有十字大道……其东南十字道头
定为巽地……或问甲、乙二人同立于巽地，
乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙
与城参相直，问径几何？”意思是：如图，
是直角三角形， ，已知
步，步，与 相切于
点,直线,分别与相切于点, ，求
的半径. 根据题意， 的半径是_____
步.
120
（第4题）
（第4题）
【点拨】如图，连接，， 直线
，是的切线，切点分别为， ，
， .又
. 四边形 是矩形.又
四边形 是正方形.设
步，则
步，步.，，是 的切
线. 步，
步.
步.
步.
.故 的半
径为120步.
（第4题）
（第5题）
5. 如图，半圆的圆心在梯形
的下底 上，并与其他三边均相切，
若，， ，且
，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】如图，连接, 半圆
的圆心在梯形的下底 上，并
与其他三边均相切，
，
. 故选B.
， .同理可得，
（第6题）
6. 如图，现有一块边长为 的正方形空
地，在边取一点，以 长为直径，
在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游
乐场，过点 划出一条与这个半圆相切的分
割线，正方形 位于分割线右下方的部
C
A. B.
C. D.
分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于 ( )
【点拨】如图，当与 重合时，娱乐区的面
积最大，设分割线与半圆相切于，交 于
四边形是正方形， ，
， 分别是半圆的切线.
，.设 ，则
，.在 中，
， ，
，， 娱乐区的最大面积梯形 的
面积 .故选C.
7.如图，在中，，与边 ，
，分别相切于点，，，与边交于点，则 的
长度是__.
（第7题）
课堂小结
1.如图，PA,PB为⊙O切线，你能得到哪些信息？
(1)PA=PB；
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
(4)OP垂直平分AB.
连接AB以后，还能得到哪些信息？
.O
A
B
C
D
E
F
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、F，你能得到哪些信息？
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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