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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第三十章直线与圆的位置关系30.2三角形的内切圆知识点汇总前言：本节完全承接上一节切线长定理，是切线长定理最重要的几何应用，也是中考填空、选择、几何计算高频考点。重点区分内切圆/内心与之前的外接圆/外心，熟练掌握内心性质、两类半径公式、边长转换模型。一、核心概念：三角形的内切圆1.定义与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做圆的外切三角形。2.内心定义内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。3.唯一性任意三角形有且只有一个内切圆，有且只有一个内心。二、三角形内心三大核心性质（必考）1.距离相等：内心到三角形三边的距离相等，距离长度即为内切圆半径$$r$$。2.角平分线：内心在三角形每一条角平分线上，可用于角度推导。3.位置固定：任意三角形的内心永远在三角形内部（与外心不同）。三、外接圆VS内切圆（终极易混对比）项目外接圆（外心）内切圆（内心）定义经过三角形三个顶点的圆与三角形三边都相切的圆圆心名称外心内心圆心位置三边垂直平分线交点三条角平分线交点圆心特征到三顶点距离相等（=R）到三边距离相等（=r）圆心位置锐角内、直角中点、钝角外永远在三角形内部四、切线长定理在内切圆中的应用（必考模型）设$$\triangle ABC$$三边：$$BC=a，AC=b，AB=c$$，周长$$C=a+b+c$$。内切圆与三边切点分割出的三段切线长公式：$$x=\dfrac{b+c-a}{2}$$$$y=\dfrac{a+c-b}{2}$$$$z=\dfrac{a+b-c}{2}$$口诀：对边减邻边和，再取一半。用途：已知三边长，秒求切点分割线段长度。五、内切圆半径两大万能公式（必背）1.通用公式（任意三角形）$$\boldsymbol{r=\dfrac{2S}{C}}$$$$S$$：三角形面积，$$C$$：三角形周长适用：所有三角形，只要知道面积和周长直接算半径。2.直角三角形专属秒杀公式$$\boldsymbol{r=\dfrac{a+b-c}{2}}$$$$a、b$$：直角边，$$c$$：斜边超级高频：直角三角形内切圆半径直接秒杀，无需算面积。六、内心角度公式（填空压轴）在$$\triangle ABC$$中，$$I$$为内心，则：$$\boldsymbol{\angle BIC=90^\circ+\dfrac{1}{2}\angle A}$$结论：内心形成的夹角，等于90度加顶角一半，可直接秒解角度题。七、标准解题模板1.求半径：普通三角形用$$r=\dfrac{2S}{C}$$；直角三角形优先专用公式；2.求线段：切点分割线段，直接套切线长三段公式；3.求角度：直接套内心角度公式$$90^\circ+\dfrac12$$顶角；4.证明题：证角平分线、证距离相等，判定内心。八、高频易错点（重灾区）1.混淆内心、外心：内心角平分、外心中垂线；2.乱用半径公式：直角三角形不要硬套通用公式，浪费时间；3.误以为内心可能在三角形外部（永远在内部）；4.求切线长线段时，公式记反、对应边找错；5.外切三角形、内切圆概念混淆。本节满分口诀内心角分三线交，三边等距半径牢；外心垂直平分线，三距等长外接圆；直三角形半径巧，两边减斜再半消；内心夹角九十半，内切题型全可秒。30.2三角形的内切圆情境引入
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
方案一
方案二
方案三
方案四
√
合作探究
猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________.
A
B
C
方案二
切
∟
∟
∟
O
三角形的内切圆
画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？
如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
A
B
C
Ｅ
∟
∟
∟
O
Ｄ
Ｆ
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
A
B
C
Ｅ
∟
∟
∟
O
Ｄ
Ｆ
与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？
如图，已知△ABC.
求作：与△ABC 的各边都相切的圆.
作法：（1）作∠A，∠B 的平分线AD，BE，
它们相交于点 O；
（2）过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 M；
（3）以点 O 为圆心，OM 为半径作圆．
⊙O 就是所求作的圆.
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫作三角形的内心.
这个三角形叫作圆的外切三角形.
设点 O 是△ABC 的内心，由于 AB，BC，CA 都与⊙O 相切，
因此圆心 O 到 AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心 O 在△ABC 的每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.
如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数.
解: ∵ ∠A = 70°，
∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，
即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB.
∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB）
= 180°- × 110°
= 125°.
【教材P74页】
知识点1 三角形的内切圆的作法
1. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为 的内心的是
( )
C
A. B. C. D.
2. 如图，有一块三角形材料 ，请你画
出一个圆，使其与 的各边都相切.
【解】如图所示， 即为所
求作的圆.
知识点2 三角形的内切圆的应用
（第3题）
3. 如图，是的内切圆， ，
，为三个切点.若 ，则
的度数为( )
A
A. B. C. D.
【点拨】连接，是 的内
切圆，,为切点, ，
.又
中， ，
.
故选A.
（第3题）
4. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数
学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中
容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）
长为8步，股（长直角边）长为15步，求该直角三角形能容
纳的圆（内切圆）的直径.”则该圆的直径为( )
A
A. 6步 B. 5步 C. 4步 D. 3步
【点拨】根据勾股定理得斜边长为 （步），
则该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径
（步）， 该圆的直径为6步.故选A.
知识归纳
有关三角形内切圆的两个重要结论
一般三角形 直角三角形
图示
一般三角形 直角三角形
结论 内切圆半径
典型 方法 面积法：连接,, ,则 .方程法：设 ,, ,则 ,, . 续表
（第5题）
5. 如图，点是 外接
圆的圆心，点是的内心，连接 ，
．若 ，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】连接 点是 的内心，
， .
. ，
．
（第6题）
6.如图，已知是 的内切圆，切点分
别为，，.若的半径为3， 的
面积为45，且，则 ___.
6
（第6题）
【点拨】如图，连接，，，， ，
是的内切圆，切点分别为 ，
，，，， ，
，， .
的面积为45，的半径为3， ，
， .
7.如图，等腰三角形中，， ，
，点，分别是的内心和外心，则
__.
（第7题）
（第7题）
【点拨】连接，如图.设 的内切
圆的半径为 ，外接圆的半径为
，， ，
， ，
平分 点，在 上，
点是 的外
心，，.在 中，
，解得 ，
. 点是 的内
心， 点到 各边的距离都等于
又
，
（第7题）
，解得，即.
.
（第7题）
（第8题）
8. 如图，点是的内心，过点作
分别交，于点，，已知 的周长为
8，，的周长为，则表示与 的函
数图象大致是( )
A
A. B.
C. D.
只适合于直角三角形
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内切圆
应用
重要结论
内心(三角形三条角平分线的交点)
外切三角形

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