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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第三十章直线与圆的位置关系30.3正多边形与圆知识点汇总前言：本节是圆的最后一大必考模块，主要研究正多边形与圆的内嵌关系，以概念、角度计算、边长、边心距、半径、面积计算为主。公式固定、题型单一，属于背公式即可满分的章节，期末、中考选择、填空高频出题。一、正多边形的定义正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形。重点提醒：1.只边等≠正多边形（如菱形）；2.只角等≠正多边形（如矩形）；3.必须边、角全部相等才是正多边形。二、正多边形与圆的核心关系任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心圆。正多边形的顶点全部在外接圆上；各边与内切圆相切。三、五大核心概念（必背名词）设正$$n$$边形外接圆半径为$$R$$（即正多边形半径）1.中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心。2.半径R：中心到顶点的距离（外接圆半径）。3.边心距r：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）。4.中心角：相邻两个顶点与中心连线的夹角。5.边长a：正多边形每条边的长度。四、三大必考角度公式针对正$$n$$边形：1.中心角度数：$$\boldsymbol{\theta=\dfrac{360^\circ}{n}}$$2.外角度数：$$\boldsymbol{\dfrac{360^\circ}{n}}$$（正多边形外角和恒为360°）3.内角度数：$$\boldsymbol{\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}}$$五、正多边形万能直角三角形模型（解题核心）正多边形任意半边、边心距、外接圆半径构成直角三角形：斜边：外接圆半径$$R$$竖直直角边：边心距$$r$$水平直角边：边长的一半$$\dfrac{a}{2}$$核心勾股公式：$$\boldsymbol{r^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=R^2}$$六、边长、边心距、面积万能公式1.边长公式$$a=2R\cdot\sin\dfrac{180^\circ}{n}$$2.边心距公式$$r=R\cdot\cos\dfrac{180^\circ}{n}$$3.正多边形面积公式（大题必写）$$\boldsymbol{S=\dfrac12\times周长\times边心距=\dfrac12\cdot na\cdot r}$$七、常见特殊正多边形结论（直接秒杀）1.正三角形（$$n=3$$）中心角：$$120^\circ$$关系：$$R=2r$$，$$a=\sqrt3R$$2.正方形（$$n=4$$）中心角：$$90^\circ$$关系：$$a=\sqrt2R$$，$$r=\dfrac R{\sqrt2}$$3.正六边形（$$n=6$$超级高频）中心角：$$60^\circ$$最重要结论：$$\boldsymbol{a=R}$$（正六边形边长=外接圆半径）边心距：$$r=\dfrac{\sqrt3}{2}R$$八、正多边形的对称性1.任意正$$n$$边形有$$\boldsymbol{n}$$条对称轴；2. $$n$$为偶数：既是轴对称，又是中心对称；3. $$n$$为奇数：只轴对称，不是中心对称。九、圆内接、外切正多边形规律1.同圆内，正多边形边数越多：边长越短、边心距越大、面积越接近圆面积；2.可以用圆无限逼近正多边形，是极限思想基础。十、高频易错点1.混淆半径与边心距：R顶点中心，r边到中心；2.记错正六边形：边长等于半径是必考秒杀结论；3.中心角公式与内角公式混淆：中心角永远$$360\div n$$；4.面积公式忘记乘$$\dfrac12$$，直接周长乘边心距；5.奇数边正多边形误认为是中心对称图形。本节满分口诀正多边形内外圆，同心半径边心距；中心角度三六零除，内角公式记清晰；半边心距半径直，勾股求解最得力；六边边长等半径，多边对称看奇偶。30.3正多边形与圆新课导入
情景：欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
(1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.
(2)会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.
推进新课
正多边形的定义及它与圆的关系
知识点1
三条边相等，
三个角相等（60°）
四条边相等，
四个角相等（90°）
正三角形
正方形
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形.
正多边形定义
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
正多边形都是 图形,一个正n边形共有
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 .
正多边形的对称性
边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心.
轴对称
n
中心
中心对称图形
有没有对称轴？
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
·
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
·
A
B
C
D
E
O
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴BCE=CDA=3AB
⌒
⌒
⌒
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
定义：
知识点1 正多边形的概念
1. 下列叙述中，正确的有( )
①正多边形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形；
②各边相等的多边形各角也相等；
③正多边形的中心与其内切圆圆心重合；
④正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等.
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
①正多边形“各边相等”和“各角相等”两个条件相互
独立，不能相互推出.②正 边形的每一个内角都等于
，每一个中心角和外角都等于 .
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
A
B
正多边形的有关概念及相关计算
知识点2
中心
E
D
C
B
A
O
半径
中心角
边心距
正多边形中的有关概念：
F
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心.
正n边形的一个内角的
度数是____________;
中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的
大小关系是________.
中心角与内角互补.
相等
想一想：
E
D
C
B
A
O
F
有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
因此，亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
例
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120°
①用量角器度量，使∠AOB=
∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
A
O
C
B
有关正多边形的作图
知识点3
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连接各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……
知识点2 正多边形的画法
2. 如图,按要求画出 的内接正多边形.
【解】如图所示.
知识点3 正多边形和圆的有关计算
3. 苯分子的环状结
构是由德国化学家凯库勒提出
的，随着研究的不断深入，发
现苯分子中的6个碳原子与6个
氢原子均在同一平面，且所有
B
A. B. C. D.
碳碳键的键长都相等（如图①），组成了一个完美的六边形
（正六边形），图②是其平面示意图，则 的度数为( )
4. 已知，正六边形的面积为 ，则正六边形的边
长为( )
C
A. 1 B. C. 2 D. 4
5.[2025上海] 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，
且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，
那么这个角的大小是___________.
或
【点拨】如图，当角的顶点在圆上时，如
交 的两边，截取的两条弦为
,，此时 恰好是正五边形的一
个内角， ；
当角的顶点在圆的外部，即交 的两边，截取的两
条弦为,时，则 ，
.
.综上，这个角的大小是 或
.
6.[2026盐城期末] 如图，正方形 内接
于，为弧的中点，连接, ，
， .
（1）求证： ；
【证明】 四边形 是正方形，
.
为的中点， .
. .
（2）求 的度数.
【解】连接, ，如图.
四边形 是正方形，
.
为弧 的中点，
.
.
7. 要在边长为 的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草
坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为
的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（第8题）
8. 如图，电子屏幕上有边长为1的正六边形
，红色光点和蓝色光点会按规则在
六个顶点上闪亮.规则为：红点按顺时针方
向每秒1个顶点依次闪亮（例如，经过1秒由
点亮变为点 亮），蓝点按逆时针方向每
C
A. 0 B. 1 C. D. 2
秒隔1个顶点闪亮（例如，经过1秒由点亮变为点 亮），若
一开始，红点在处，蓝点在 处同时开始闪亮，则经过751
秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是( )
【点拨】 红点每6秒闪亮的顶点会转动1周，
而 ，
经过751秒后，红点闪到了点 处.
蓝点每3秒闪亮的顶点会转动1周，而
，
经过751秒后，蓝点闪到了点 处.
（第8题）
连接，过点作于点 ，如图.
六边形 是正六边形，
, ,
.
， . .
，
即经过751秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是 .
思路支架
（第9题）
9. [2026南京期末] 如图，圆心 恰好为
正六边形的中心，已知 ,
的半径为，现将 在正六边形内
部沿某一方向平移，当它与正六边形
的某条边相切时停止平移，设此
时平移的距离为，则 的取值范围是________________.
【点拨】如图，连接，， 圆心
恰好为正六边形 的中心，
是等边三角形，
.
过作于,当平移到，和 相切于点
时，平移距离最短，易得 ， .
. 此时平移
的距离；当 平移
到，和，分别相切于点 ，
时，平移距离最长，连接 ，
. 易得 ，
.
，
（负值已舍去） 此时平移的距离
.综上所述， 的取值范围
是 .
10. 如图，是正六边形的中心， ，点
，分别为，的内心，则 长为_________.
课堂小结
1.正多边形的各边相等
2.正多边形的各角相等
二、正多边形的计算：
一、正多边形的性质：
三、画正多边形的方法
1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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