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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十九章圆第二十九章圆全章知识点汇总本章综述：圆是初中几何核心重难点，也是中考分值占比最高的几何模块，以概念辨析、角度计算、长度与面积计算、几何证明为主。全章分为圆的基础概念、圆的核心性质、圆的计算三大模块，知识点关联性强，以下为零遗漏系统化满分总结。29.1.1圆的有关概念1.圆的两种定义动态定义：平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一端点形成的封闭曲线叫做圆。静态集合定义：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。核心：圆心定位置，半径定大小，圆特指圆周曲线，不含圆面。2.圆的基础要素弦：圆上任意两点连接的线段；直径：过圆心的弦，是圆中最长的弦（弦不一定是直径，直径一定是弦）。弧：圆上两点间的部分。劣弧（＜半圆，两字母表示）、优弧（＞半圆，三字母表示）、半圆（不分优劣）。等圆：半径相等、圆心不同；同心圆：圆心相同、半径不同；等弧：同圆/等圆中能完全重合的弧（长度相等的弧不一定是等弧）。3.点与圆的位置关系设圆半径为$$r$$，点到圆心距离为$$d$$：点在圆外$$d>r$$、点在圆上$$d=r$$、点在圆内$$d<r$$（口诀：大外小内等圆上）。29.1.2.1过三点的圆1.定点定圆规律过1个点、2个点：可作无数个圆；过不在同一直线上的三个点，有且只有一个圆（三点定圆定理）；共线三点无法作圆。2.三角形外接圆与外心外接圆：经过三角形三个顶点的圆；内接三角形：圆对应的三角形。外心：外接圆圆心，为三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等（等于外接圆半径）。外心位置：锐角三角形在内部、直角三角形在斜边中点（$$R=\frac12$$斜边）、钝角三角形在外部。29.2.1垂直于弦的直径（垂径定理）1.核心定理垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧。2.重要推论平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧（两条直径互相平分但不一定垂直）。3.万能计算模型辅助线：作弦心距、连半径，构造直角三角形。核心公式：$$R^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2$$（$$R$$半径、$$d$$弦心距、$$L$$弦长）拱高公式：$$h=R-d$$29.2.2圆心角1.定义顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，唯一对应一条弧、一条弦。2.弧、弦、圆心角关系定理前提：同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦、弦心距，四者知一推三，全部等价。核心：圆心角度数=对应弧的度数。29.2.3圆周角1.定义顶点在圆上，两边均与圆相交的角（两大条件缺一不可）。2.圆周角定理同弧所对的圆周角等于圆心角的一半（$$\text{圆周角}=\frac12\text{圆心角}$$）。3.三大推论①同弧/等弧所对圆周角相等；②直径所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径；③劣弧对锐角、优弧对钝角。4.圆内接四边形性质对角互补（$$\angle A+\angle C=180^\circ$$），外角等于内对角。29.3.1弧长和扇形面积1.核心公式（必背）弧长公式：$$l=\frac{n\pi R}{180}$$扇形面积公式：$$S_{\text{扇}}=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac12 lR$$2.弓形与阴影面积劣弧弓形面积：$$S_{\text{弓}}=S_{\text{扇}}-S_{\text{三角形}}$$阴影面积通用方法：割补法、规则图形加减拼凑法。29.3.2圆锥的侧面积和全面积1.圆锥三要素关系底面半径$$r$$、高$$h$$、母线$$l$$，满足勾股定理：$$l^2=r^2+h^2$$。2.侧面展开对应关系侧面展开为扇形，扇形半径=母线$$l$$，扇形弧长=底面周长$$2\pi r$$。3.面积公式侧面积：$$S_{\text{侧}}=\pi rl$$全面积：$$S_{\text{全}}=\pi r(l+r)$$4.展开圆心角公式$$n=\frac{360r}{l}$$（$$n$$为侧面扇形圆心角）全章核心易错汇总1.等弧必须在同圆/等圆中，长度相等的弧不一定是等弧；2.垂径定理推论仅适用于非直径的弦；3.角度计算必须对应同一段弧，圆周角、圆心角不可乱套；4.弧长、扇形面积公式分母区分180、360，切勿混淆；5.圆锥扇形半径是母线，不是底面半径，全面积必须加底面；6.直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径为斜边一半。全章满分口诀定点定长围成圆，直径最长弦为先；垂径垂直平分弦，勾股求解最关键；同圆等圆角弧弦，一组相等三组连；圆周对半圆心角，直径对直四边补；弧长扇面积牢记，圆锥母径算周全。章末复习知识结构
圆
圆的有关性质
圆的对称性
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
点、直线和圆
的位置关系
正多边形和圆
弧长和扇形面积
扇形面积
弧长
等分圆周
圆锥的侧面积和全面积
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
切线
三角形的内切圆
三角形的外接圆
在本章，我们利用圆的对称性，探索了圆的一些重要性质；通过图形的运动，研究了点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；同时研究了圆中的有关计算问题.
重点知识内容
1.
知识回顾
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(1)在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？
2.
·
O
A
B
A′
B′
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦（不是直径）所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.
(2) 垂直于弦的直径有什么性质？
·
O
A
B
C
D
E
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
·
A
C1
O
C2
C3
B
·
A
C
B
O
点P在圆内 d ＜ r .
点P在圆外 d ＞ r ;
点P在圆上 d = r;
直线和⊙O相交
直线和⊙O相切
直线和⊙O相离
d＜r;
d = r;
d＞r.
（1）点和圆有怎样的位置关系？如何判定
（2）直线和圆的位置有几种,如何进行判定？
3.
r
·
O
A
P
P
P
·
l
O
r
l
l
d > r1＋r2;
两圆外离
d = r1－ r2;
两圆内切
d = r1+r2;
两圆外切
d＜ r1－ r2.
两圆内含
r1-r2＜d＜r1+r2;
两圆相交
（3）圆和圆的位置关系有几种 如何判定
·
·
O2
O1
·
·
O1
O2
·
·
O1
O2
·
·
O1
O2
·
·
O2
O1
·
O
A
·
O
l
A
(1)圆的切线有什么性质？
圆的切线垂直于过切点的半径.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)如何判断一条直线是圆的切线？
4.
l
正多边形必有外接圆和内切圆.
(1)正多边形和圆有什么关系？
5.
(2) 你能用正多边形和等分圆周设计一些图案吗？
(1)举例说明如何计算弧长？
6.
·
O
n°
1°
1°的圆心角所对的弧长:
n°的圆心角所对的弧长:
(2)举例说明如何计算扇形面积.
1°圆心角的扇形面积：
n°圆心角的扇形的面积：
·
O
n°
则圆锥的侧面积为
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r.
l
o
r
圆锥的全面积为
(3) 举例说明如何计算圆锥的侧面积和全面积.
考点1 圆的有关概念
1. 下列说法正确的是( )
D
A. 直径是弦,弦也是直径
B. 半圆是弧,弧是半圆
C. 无论过圆内哪一点,只能作一条直径
D. 在同圆或等圆中,直径的长度是半径的2倍
2. 如图，在中，是 上一点，
，过点作弦交于点 ，若
，则与 满足的数量关系
是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】连接 ,
.
,, ,
. ,
3.在中， ，，，如果以点
为圆心，长为半径作，那么斜边的中点在
____．（填“内”“上”或“外”）
上
考点2 垂径定理及其推论
（第4题）
4. 如图，在中，，为 的两条
弦，,，垂足分别为, ，连
接，.若 ，下列结论错误的是
( )
D
A. B.
C. D.
（第4题）
【点拨】,, ，
, . ，
， ，即A选项、
B选项正确；在和 中，
，
, ，即C选项正确；不能确定
的度数，故D选项错误.
（第5题）
5. 如图，一个纵截面为半圆
的容器水平放置，然后向其中倒入部分
液体，测得数据如图，则液面宽度
( )
D
A. B. C. D.
【点拨】如图，设半圆形容器的圆心
为，连接,过圆心作 于
点，则.在
中， ，
， ．
6. 如图，点的坐标为，点 的
坐标为，以点为圆心， 为半
径作，与轴的另一个交点为 ，
点是上的一个动点，连接 ，
，点是的中点，连接 ，当线
段取得最大值时，点 的坐标为______.
【点拨】为 的弦，且
， 点是的中点. 点
是的中点，是 的中位线.
，即当 最大时，线段
取得最大值，此时为的直径, 如图所示. 点 的坐
标为，垂直平分， 点的坐标为 ，
点是的中点， 点是的中点， .
7. 如图，点在以为直径的上， ，
交于点，垂足为， .
（1）连接，证明: 为等腰直角三角形；
【证明】为直径， ，
，
， .
， .
.
.
为等腰直角三角形.
（2）若点，在上，连接，且 ，求证：
.
如图，连接，交于 .
， .
为等腰直角三角形，
.
， .
. .
.
考点3 弧、弦、圆心角的关系
（第8题）
8. 如图，为 的直
径，， ，则 的
度数为( )
B
A. B. C. D.
9.如图，，是的两条弦，且， 的半径
为2，则 的值为____.
16
（第9题）
【点拨】作直径，连接，，如图. 为直径，
，即， . ，
， 易得，.在 中，
，
10.如图，分别过的直径上的点，作弦， ，
若， .求证：
（1） ；
【证明】如图，连接， .
， .
为直径， ，
.
（2） .
， ，
，
.
，即 .
， .
又， .
又， .
考点4 圆周角定理及其推论
（第11题）
11. 如图，是的直径，弦 ，
若 ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
（第12题）
12. 如图，是 的外接圆，且
， ，在上取点
（不与点，重合），连接， ，则
( )
C
A. B. C. D.
【点拨】 ，
. ,
.
（第12题）
（第13题）
13. 如图，在中，直径与弦 相交于
点，连接,,，若 ，
，则 ( )
D
A. B. C. D.
【点拨】 ， ,
. ，
.
为的直径， .
．
（第13题）
考点5 弧长与扇形面积
（第14题）
14. 如图，在菱形中， ，
，以为直径的交于点 ，
则 的长为( )
A
A. B. C. D.
（第14题）
【点拨】连接 四边形 是菱形，
，
， .
. 的长
．
（第15题）
15. 如图，四边形 中，
， ，
， ，点
为的中点，分别以， 为圆心，
长为半径作弧，得扇形 与扇形
，为圆心角 ，则图
中阴影部分的面积为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】如图，连接
， ，
点为 的中点，
，, .
. . ，
，
,
.
, .
. ，
即图中阴影部分的面积为
.
16.如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径 为
，，长为，则纸杯的表面积为_____ .
（结果保留 ）
（第16题）
【点拨】纸杯的底面积为
，纸杯侧面的展开图如
图，延长，交于点，点即为 ，
所在圆的圆心.
设扇形的圆心角为 ，
，， ，
，解得 ，
， ，
纸杯的侧面积是 .
纸杯的表面积为 .
思想1 分类讨论思想
17. 如图，菱形 的边长是13,
点 是两条对角线的交点，且
.约定：三角形三边上的任意
一点到圆上的任意一点距离的最小值
叫作三角形与圆的距离.依据这个约定，可知当 的半径是
多少时，与 的距离为3
【解】 四边形 是菱形，
和互相垂直平分. 菱形
的边长是13,且 ,
, .如图①,
当在外时，由图可知，的边的中点 到
的距离最小.与的距离为3, , 的
半径为；如图②,当在 内时，由图可知，
点或点到的距离最小.
与的距离为3, ,
的半径为 .综上所述，
若与的距离为3,则 的半
径为2或16.
思想2 方程思想
18. “上海之鱼”是上海奉贤
区的核心景观湖，湖面成鱼形.
如图①，鱼身外围有一条圆弧
形水道，在圆弧形水道外侧有
一条圆弧形道路，它们的圆心
相同.某学习小组想要借助所学的数学知识探索“上海之鱼” 的
大小.
（1）利用圆规和无刻度的直尺，在图①上作出圆弧形水道
的圆心 ；（保留作图痕迹，不写作法）
【解】如图所示，点 即为所求.
（2）如图②，学习小组来到了圆弧
形道路内侧 处，将所携带的200米
绳子拉直至圆弧形道路内侧另一点
处，并测得绳子中点 与圆弧形道路
内侧的中点 的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧
的距离为22米（点，， 在同一直线上），请计算圆弧
形水道外侧的半径.
连接，， .
为的中点，点 为圆弧形道路
内侧的中点， 米,
易得， ，
米.
,,, 四点共线.
设米. 米，
米.
在 中，由勾股定理得
，
，解得
，即 米.
又 米，
（米）.
圆弧形水道外侧的半径为483米.

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