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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十六章二次函数第二十六章二次函数全章知识点汇总前言：本章是初中函数核心重难点，所有题型围绕三种解析式、图象平移、函数性质、方程结合、实际应用五大模块展开，以下为全章系统化必考知识点、公式、解题规律。26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数\(y=ax^2\)的图象和性质1.基本特征：图象为抛物线，顶点$$(0,0)$$，对称轴为y轴（直线$$x=0$$）。2.核心性质：- $$a>0$$：开口向上，顶点为最低点，最小值$$y=0$$；$$x<0$$递减，$$x>0$$递增。- $$a<0$$：开口向下，顶点为最高点，最大值$$y=0$$；$$x<0$$递增，$$x>0$$递减。3.开口规律：$$|a|$$越大，开口越小、图象越陡；$$|a|$$越小，开口越大、图象越平缓。26.2.2.1二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质1.平移规律：由$$y=ax^2$$上下平移得到，上加下减。- $$k>0$$：向上平移$$k$$个单位；$$k<0$$：向下平移$$|k|$$个单位。2.图象性质：对称轴y轴，顶点$$(0,k)$$，开口、增减性与$$y=ax^2$$一致，最值为$$y=k$$。26.2.2.2二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象和性质1.平移规律：由$$y=ax^2$$左右平移得到，左加右减。- $$h>0$$：向右平移$$h$$个单位；$$h<0$$：向左平移$$|h|$$个单位。2.图象性质：对称轴直线$$x=h$$，顶点$$(h,0)$$，最值为$$y=0$$。26.2.2.3二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质（顶点式）1.终极平移规律：$$y=ax^2$$先左右平移$$h$$个单位，再上下平移$$k$$个单位。2.核心要素（必考）：顶点$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$。3.最值：$$a>0$$，最小值$$y=k$$；$$a<0$$，最大值$$y=k$$。4.增减性：以对称轴$$x=h$$为分界，左减右增（a>0），左增右减（a<0）。26.2.3二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质（一般式）1.核心公式（直接套用）：-对称轴：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$-顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$2.系数作用：- $$a$$：定开口方向、开口大小；- $$a、b$$：共同定对称轴位置；- $$c$$：定抛物线与y轴交点$$(0,c)$$。3.配方方法：一般式可化为顶点式，是求最值、平移的核心方法。26.3二次函数与一元二次方程26.3.1二次函数与一元二次方程1.本质关系：抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴交点的横坐标，就是方程$$ax^2+bx+c=0$$的实数根。2.判别式对应关系（必考）：- $$\Delta=b^2-4ac>0$$：2个交点，方程有两个不相等实数根；- $$\Delta=0$$：1个交点（顶点在x轴），方程有两个相等实数根；-$$\Delta<0$$：无交点，方程无实数根。26.3.2求一元二次方程的近似解1.核心方法：夹逼估值法2.原理：若两个自变量对应的函数值异号，则方程的根在这两个数之间；函数值越接近0，x越接近方程的根。3.解题步骤：取值列表→判断正负区间→缩小范围→取近似值。26.4二次函数的实际应用（最值应用题）26.4.1几何图形的最大面积1.解题核心：几何面积构造二次函数，利用顶点求最值（面积问题多为最大值）。2.通用步骤：设边长→列面积解析式→求顶点最值→验证自变量取值范围。3.重要结论：周长固定的矩形中，正方形面积最大。26.4.2商品利润最大问题1.必考公式：单件利润=售价 进价总利润=单件利润×销售数量2.解题模型：涨价少卖、降价多卖，构造$$W=ax^2+bx+c(a<0)$$，求最大利润。3.易错点：自变量需满足售价、销量为正数，实际问题可取整数。26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题1.常见模型：拱桥、隧道、喷泉、投篮、抛球（均为开口向下抛物线）。2.万能解题步骤：建立坐标系→设抛物线解析式→代入已知点求系数→求解实际问题。3.常用建系技巧：以顶点、中点、地面端点为原点，最大限度简化计算。4.常考题型：求最大高度、判断通行问题、求落点水平距离。全章必考总结（满分口诀）1.平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；2.性质口诀：a正开口向上，左减右增有小值；a负开口向下，左增右减有大值；3.方程口诀：判别式定交点，正负零根分三种；4.应用口诀：先列函数再求顶，实际范围要锁定。章末复习知识结构
专题训练一 二次函数的图象与性质
已知：抛物线y=2x2-4x-6.
(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
将抛物线解析式转化成顶点式：
y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8
y
O
x
1
-8
解:(1)开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，-8).
(2)令y=0,得2x2-4x-6=0,解得x1=-1,x2=3.
令x=0,得y=-6.所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0)，与y轴的交点坐标为(0，-6).
(3)当x≥1时，y随x的增大而增大.
y
O
x
1
-8
将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后所得抛物线的解析式.
平移规律问题
y=x2+2x-3
顶点式y=(x+1) 2-4
y=(x+5) 2-4
转化成
向左平移4
向下平移3
y=(x+5) 2-7
考点1 二次函数的定义
1. 对于任意实数 ，下列函数：
； ；
； .
其中，一定为二次函数的有( )
B
A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个
2.已知二次函数，当
时， 的值为_ _.
考点2 二次函数的图象和性质
3. 在同一平面直角坐标系中，画出直线 与抛物线
，这个图形可能是( )
D
A. B. C. D.
4. [2026福州期末] 已知二次函数 ，
当时，.若 ，
是抛物线上的两点，且 ，则
的取值范围为( )
B
A. B. 或
C. 或 D.
【点拨】 当时，， ，
抛物线的开口向下，且当时， ,
， 抛物线的对称轴为直线
， 关于对称轴的
对称点为， 是抛物线
上的两点，且， 或
，解得或 .
5.[2025福建] 在平面直角坐标系中，二次函数
的图象过点, .
（1）求 的值；
【解】
二次函数的图象的对称轴为直线 ,
点, 在该函数的图象上，
. .
（2）已知二次函数的最大值为 .
①求该二次函数的解析式；
【解】由（1）可得 ，
该函数的解析式为 .
函数图象的顶点坐标为 .
函数的最大值为 ，
，且 ，
解得或 （舍去）.
该二次函数的解析式为 .
②若, 为该二次函数图象上的不同两点，且
，求证： .
【证明】 点在函数 的图象上，
.
由①知，点,关于直线 对称，
，即 .
.
即 .
考点3 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系
6. 如图，抛物线 与直线
交于， 两点，则
不等式 的解集为( )
C
A. B.
C. D. 或
7. [2025济南] 已知二次函数，，为常数， 图
象的顶点坐标是，且经过，两点， .有下列结
论：
①关于的一元二次方程 有两个不相等的
实数根；
②当时，的值随 值的增大而减小；
；
；
⑤对于任意实数，总有 .
以上结论正确的有( )
A
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【点拨】 二次函数
，，为常数， 图象的顶点坐标是
，且经过， 两点，
, 抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
，抛物线与轴的交点为和 ，图象如图所
示.令，即把直线 向下平移1个单位长度可得直
线 ，再结合函数图象可知
有两个不相等
的实数根，故关于 的一元二次方程
有两个不
相等的实数根,故①正确； 抛物线开口向
下，对称轴为直线， 当
时，的值随 值的增大而减小，故②正确；
抛物线与轴的交点为和, 二
次函数的解析式为
，
， ，
解得 ，故③正确;结合函数图象
可知，当时， ，
故④正确;
，， ，
，，即对于任意实数 ，
，故⑤正确. 综上，①②③④⑤正确.

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