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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第二十七章反比例函数第二十七章反比例函数全章知识点汇总本章综述：反比例函数是初中三大核心函数之一，考点集中、题型固定，以概念辨析、图像性质、大小比较、几何面积、实际建模应用为核心，是中考选择、填空、解答题高频必考模块。本章所有题目核心本质：乘积为定值、单调分象限、面积定|k|、建模看总量。27.1反比例函数的概念一、定义形如$$y=\dfrac{k}{x}\ (k\neq0)$$（$$k$$为常数）的函数，叫做反比例函数。核心条件：$$k\neq0$$、自变量$$x\neq0$$、函数值$$y\neq0$$。二、三种等价解析式（全熟记）1.标准式：$$y=\dfrac{k}{x}\ (k\neq0)$$2.乘积式（判断专用）：$$xy=k\ (k\neq0)$$3.负指数式（辨析专用）：$$y=kx^{-1}\ (k\neq0)$$（自变量次数为$$-1$$）三、正反比例函数终极辨析正比例函数$$y=kx(k\neq0)$$：比值$$\dfrac{y}{x}=k$$定值，同增同减，次数为1；反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$：乘积$$xy=k$$定值，此增彼减，次数为-1。四、含参判定规则若$$y=mx^{m^2-5}$$为反比例函数，需同时满足：次数$$=-1$$、系数$$\neq0$$。五、求解析式方法：待定系数法（四步）设解析式→代点坐标→求$$k$$值→写最终解析式。27.2.1反比例函数的图象和性质一、图象特征图象为双曲线，两支永不相交、永不与坐标轴相交，无限靠近坐标轴。对称性：关于原点中心对称、关于直线$$y=x、y=-x$$轴对称。二、k的符号核心性质（必考）k>0：图象分布一、三象限；每个象限内，$$y$$随$$x$$增大而减小。k&lt;0：图象分布二、四象限；每个象限内，$$y$$随$$x$$增大而增大。三、关键易错点增减性必须强调在每个象限内，跨象限不满足单调规律，直接笼统描述会扣分。四、|k|的几何意义$$|k|$$越大，双曲线越远离坐标轴；$$|k|$$越小，双曲线越靠近坐标轴。27.2.2反比例函数的图象和性质的应用一、函数值大小比较模板1.跨象限：一三象限$$y>0$$，二四象限$$y<0$$，正数大于负数；2.同象限：依据k的符号和增减性直接比较。二、图像共存问题同一函数中，一次函数与反比例函数的k符号必须统一，矛盾选项直接排除。三、k的几何面积模型（填空压轴）双垂线矩形面积：$$S=|k|$$；双垂线+原点三角形面积：$$S=\dfrac12|k|$$；核心：面积恒定，求k必须先算绝对值，再由象限定正负。四、交点与不等式解集联立解析式求交点；图像上高下低，对应函数值大小；解集必须避开$$x=0$$。27.3.1反比例函数的应用一、核心判定两个变量乘积为定值，此增彼减，即为反比例关系。二、四大实际应用场景工程总量固定、行驶路程固定、图形面积/体积固定、物理压强/电流定值问题。三、解题规范判关系→设式→求k→写解析式（带取值范围）→解题作答；实际问题默认$$x>0$$，整数变量需额外标注。27.3.2建立反比例函数模型一、建模本质从实际问题中找到固定总量，提取乘积为定值的两个变量，搭建反比例函数模型。二、标准六步建模模板（大题满分）审题意找定量→判断反比关系→设解析式→代值求k→写完整模型（含定义域）→求解作答三、模型区分反比：积定值；正比：比值定值；一次函数：和差定值，均匀变化。四、增减性应用实际问题中$$k>0、x>0$$，函数单调递减，自变量增大、函数值减小。全章核心公式汇总（必背）1.反比例解析式：$$y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)$$2.面积矩形：$$S=|k|$$3.面积三角形：$$S=\dfrac12|k|$$全章高频易错汇总1.忽略$$k\neq0$$、自变量$$x\neq0$$隐藏条件；2.描述增减性遗漏“每个象限内”，答题扣分；3.面积求k忘记判象限，符号出错；4.实际建模题遗漏自变量取值范围；5.混淆正比、反比、一次函数模型。全章满分口诀反比积定次负一，双曲不交坐标轴；k正一三递减行，k负二四递增求；象限定正负判大小，半k面积恒相守；实际建模找总量，定义域全题无忧。章末复习1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称
为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数．
三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的
图象是 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线
和 ；对称中心是 .
双曲线
原点
y = x
y=－x
(2) 反比例函数的增减性
图象 所在象限 性质
(k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
x
y
o
x
y
o
一、三
二、四
减小
增大
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一
点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围
成的矩形的面积为 .
推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂
线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的
三角形的面积为 ．
| k |
3. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数的解析式：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入 x、y 的一组对应值，或者该函数图象
上一个点的坐标，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
反比例函数与一次函数的图象的交点：
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标，就是求这两个解析式联立所得方程组的解.
利用反比例函数相关知识解决实际问题：
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数图象交于点 和 ,与轴交于点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)观察图象,请直接写出使的取值范围;
根据反比例函数在每个象限内随增大而增大推出比例系数小于 0，列不等式求解范围。
解:(1) 把点 代入得
, 点 ,
把点 代入得
反比例函数的解析式为;
巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合
(2)把 代入得,
,
一次函数的图象与反比例函数图象交于点 和
的取值范围为或
巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合
变式题
如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
解：（1）已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点
，
反比例函数解析式为：；
巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合
（2），在一次函数图象上
，解得
一次函数解析式为：
设一次函数与轴交点为，则，
；
考点1 反比例函数的概念
1.某工程队计划修建铁路，下表给出了铺轨的天数 （天）与
每日铺轨量 之间的关系：
天 120 150 200 240 300
10 8 6 5 4
根据表格信息，判断出是 的函数，则这个函数的解析式是
_ ________.
2.已知是反比例函数，则 的值为____.
考点2 反比例函数的图象和性质
3. 已知反比例函数 .下列选项正确的是( )
C
A. 函数图象在第一、第三象限
B. 随 的增大而减小
C. 函数图象在第二、第四象限
D. 随 的增大而增大
4.已知反比例函数的图象上两点, ，
当时，有，则 的取值范围是_______．
考点3 反比例函数中 的几何意义
（第5题）
5. 如图，过轴正半轴上的任意一点作 轴的
平行线，分别与反比例函数 和
的图象交于，两点.若是 轴上
的一点，则 的面积为( )
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（第5题）
【点拨】连接， 直线 轴，
,直线轴. .故选B.
6.如图，点，是双曲线上的点，分别过, 两
点向轴、轴作垂线段，若，则 ___.
4
（第6题）
考点4 反比例函数与一次函数的综合
7. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数
的图象交于， 两点，那么
的值为___.
0
考点5 反比例函数的应用
9. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变
的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比
例函数，且当时， .当气球内的气体压
强大于 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球
的体积应不小于____ .
0.6

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