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人教版数学九年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.第三十章直线与圆的位置关系第三十章直线与圆的位置关系全章知识点汇总本章综述：本章是初中几何圆模块的核心重难点，承接圆的基础性质，重点考查直线与圆的位置关系判定、切线的性质与判定、切线长定理、三角形内切圆、正多边形与圆。题型涵盖选择、填空、几何证明、计算大题，是中考几何必考核心板块，所有题型均有固定解题模型与模板，熟练掌握即可稳拿满分。30.1.1直线与圆的三种位置关系一、核心判定依据设圆半径为$$r$$，圆心到直线的距离为$$d$$，通过$$d$$与$$r$$的大小关系判定位置。二、三种位置关系对照表1.相离：直线与圆无公共点，$$\boldsymbol{d \gt r}$$，直线全程在圆外；2.相切：直线与圆有唯一公共点，$$\boldsymbol{d = r}$$，直线为圆的切线，公共点为切点；3.相交：直线与圆有两个公共点，$$\boldsymbol{d \lt r}$$，直线为圆的割线，两点间线段为弦。三、解题规范模板过圆心作直线垂线求$$d$$→对比半径$$r$$→判定位置关系（禁止肉眼观察）。30.1.2.1切线的性质与判定一、切线的性质定理（已知切线用结论）定理：圆的切线垂直于过切点的半径。辅助线口诀：见切线，连切点，得直角。几何语言：∵直线$$l$$是$$\odot O$$切线，切点为$$A$$，∴$$OA\perp l$$。知二推三：过圆心、过切点、垂直切线，满足任意两个可推第三个。二、切线的判定定理（证明切线用）定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线（缺一不可）。两大必考证明模型1.有点型（已知直线过圆上一点）：连半径，证垂直（角度互余、平行、全等证直角）；2.无点型（未知交点）：作垂直，证半径（证明圆心到直线距离$$d=r$$）。30.1.2.2切线长定理一、核心概念切线：直线，无长度；切线长：圆外一点到切点的线段长度，有数值。二、切线长定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。几何语言：∵$$PA、PB$$切$$\odot O$$于$$A、B$$，∴$$PA=PB$$，$$\angle APO=\angle BPO$$。三、五大隐形结论1.切线长相等；2.连线平分切线夹角；3.圆心与外点连线垂直切点弦；4.平分切点弦；5.平分对应弧。四、角度关系圆外切线夹角与圆心角互补：$$\angle APB+\angle AOB=180^\circ$$。30.2三角形的内切圆一、核心定义与三角形三边都相切的圆为内切圆，三角形为圆的外切三角形；内切圆圆心为内心。二、内心核心性质1.内心是三角形三条角平分线交点；2.到三角形三边距离相等（等于内切圆半径$$r$$）；3.永远在三角形内部。三、内心与外心终极对比内心：角平分线交点，距三边等距，对应内切圆；外心：垂直平分线交点，距三顶点等距，对应外接圆。四、必考公式1.任意三角形内切圆半径：$$r=\dfrac{2S}{C}$$（$$S$$面积，$$C$$周长）；2.直角三角形专属半径：$$r=\dfrac{a+b-c}{2}$$（$$a、b$$直角边，$$c$$斜边）；3.内心角度公式：$$\angle BIC=90^\circ+\dfrac{1}{2}\angle A$$。五、切线长边长模型三角形顶点到内切圆切点的线段长：对边减邻边和的一半，用于快速求边长。30.3正多边形与圆一、正多边形定义必须同时满足：各边相等、各内角相等（菱形、矩形均不是正多边形）。二、核心关系任意正多边形必有同心的外接圆、内切圆，顶点在外接圆上，边与内切圆相切。三、五大核心要素中心、外接圆半径$$R$$（中心到顶点）、边心距$$r$$（中心到边）、中心角、边长$$a$$。四、必考角度公式中心角=外角=$$\dfrac{360^\circ}{n}$$，内角=$$\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}$$。五、万能直角三角形模型由$$R、r、\dfrac{a}{2}$$构成直角三角形，满足：$$r^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=R^2$$。六、核心计算公式边长：$$a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$$；边心距：$$r=R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$$；面积：$$S=\dfrac{1}{2}\times周长\times边心距$$。七、特殊正多边形秒杀结论1.正三角形：$$R=2r$$，$$a=\sqrt3R$$，中心角120°；2.正方形：$$a=\sqrt2R$$，中心角90°；3.正六边形：$$\boldsymbol{a=R}$$，中心角60°，边心距$$r=\dfrac{\sqrt3}{2}R$$。八、对称性规律正$$n$$边形有$$n$$条对称轴；偶数边兼具轴对称、中心对称，奇数边仅轴对称。本章高频易错总汇总1.判定线圆位置关系，不计算$$d、r$$，肉眼判断直接扣分；2.证明切线遗漏条件：有点型不证垂直、无点型不证半径相等，条件残缺；3.混淆内心、外心性质，记错半径公式与角度公式；4.正多边形混淆半径$$R$$与边心距$$r$$，忘记正六边形边长等于半径；5.正多边形面积公式遗漏$$\dfrac{1}{2}$$，对称性判断出错；6.切线与切线长概念混淆，误用定理。本章满分总口诀线圆相较d比r，切一交二离无它；切线性质得垂直，判定两点不能差；外点双切长相等，内心角分距均等；正多边接同心圆，六边等径是真传；公式熟记模型套，圆题几何稳拿分。章末复习知识结构
圆
圆的有关性质
圆的对称性
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
点、直线和圆
的位置关系
正多边形和圆
弧长和扇形面积
扇形面积
弧长
等分圆周
圆锥的侧面积和全面积
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
切线
三角形的内切圆
三角形的外接圆
在本章，我们利用圆的对称性，探索了圆的一些重要性质；通过图形的运动，研究了点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；同时研究了圆中的有关计算问题.
重点知识内容
1.
知识回顾
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(1)在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？
2.
·
O
A
B
A′
B′
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦（不是直径）所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.
(2) 垂直于弦的直径有什么性质？
·
O
A
B
C
D
E
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
·
A
C1
O
C2
C3
B
·
A
C
B
O
点P在圆内 d ＜ r .
点P在圆外 d ＞ r ;
点P在圆上 d = r;
直线和⊙O相交
直线和⊙O相切
直线和⊙O相离
d＜r;
d = r;
d＞r.
（1）点和圆有怎样的位置关系？如何判定
（2）直线和圆的位置有几种,如何进行判定？
3.
r
·
O
A
P
P
P
·
l
O
r
l
l
d > r1＋r2;
两圆外离
d = r1－ r2;
两圆内切
d = r1+r2;
两圆外切
d＜ r1－ r2.
两圆内含
r1-r2＜d＜r1+r2;
两圆相交
（3）圆和圆的位置关系有几种 如何判定
·
·
O2
O1
·
·
O1
O2
·
·
O1
O2
·
·
O1
O2
·
·
O2
O1
·
O
A
·
O
l
A
(1)圆的切线有什么性质？
圆的切线垂直于过切点的半径.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)如何判断一条直线是圆的切线？
4.
l
正多边形必有外接圆和内切圆.
(1)正多边形和圆有什么关系？
5.
(2) 你能用正多边形和等分圆周设计一些图案吗？
(1)举例说明如何计算弧长？
6.
·
O
n°
1°
1°的圆心角所对的弧长:
n°的圆心角所对的弧长:
(2)举例说明如何计算扇形面积.
1°圆心角的扇形面积：
n°圆心角的扇形的面积：
·
O
n°
则圆锥的侧面积为
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r.
l
o
r
圆锥的全面积为
(3) 举例说明如何计算圆锥的侧面积和全面积.
考点1 直线与圆的位置关系
1. 已知圆心到直线的距离为，的半径为，若, 是
方程的两个根，则直线和 的位置关系
是( )
C
A. 相切 B. 相离
C. 相交或相离 D. 相切或相交
2. 已知一次函数 的图象经过第一、
二、四象限，以坐标原点为圆心，为半径作 .若对于符
合条件的任意实数，一次函数的图象与 总有
两个公共点，则 的最小值为___.
2
考点2 切线的判定和性质
3. 如图，是半圆的直径，点 在半圆
上（不与，重合），于点 ，
交于点，下列条件中能判断 是半圆
的切线的是( )
C
A. B.
C. D.
4.如图，在中，是切线，为切点，直线交 于
点,，点为上的一点且在上方，连接, .若
，则 ____.
（第4题）
【点拨】如图，连接是的切线，切点是 ，
. 在中， ， ，
. .
5.[2026徐州期末] 如图，,是 的切线，切点分别是
,，点在上，过点的切线分别交,于点, .若
，则 的周长为____.
20
（第5题）
6. 如图，为的直径，点， 为圆上
两点，，连接，，，过点作 交
的延长线于 .
（1）求证：为 的切线；
【证明】如图，连接 .
， .
， .
.
， .
又是 的半径，
为 的切线.
（2）若，，求 的半径.
【解】如图，连接，过点作 于
点 .
， ，
.
， .
.
设的半径为，在 中，
，
，解得 .
的半径为4.
考点3 三角形的内切圆
（第7题）
7. 如图，已知是 的内心，
，为平面上一点，点 恰好
又是的外心，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
【点拨】如图，连接，,作 的外
接圆.是的内心，是 的
平分线，是 的平分线.
， .在
中， ，
.
. . 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得
.故选D.
（第8题）
8. 如图，平面直角坐标系
中，，三个点的坐标分别为 ，
，，则 的内切圆半径长为
_ _____.
（第8题）
【点拨】，， ，
，
，
.
设的内切圆的半径长为 .
，
，
解得 .
（第9题）
9. [苏州自主招生] 如图，点 的坐标为
，以点为圆心， 长为半径的圆交
轴于点，点 为第一象限圆上一动点，
轴于点，点为 的内心，则
的最小值为__________.
【点拨】如图，连接，， ，作
的外接圆，在优弧 上取一
点，连接，，，，， ，
则 .
点为 的内心，
， .
在和中，
.
轴， .
.
.
. .
. .
点的坐标为， .
,易得 .
,易得 .
当，，三点共线时， 取得最小值，
此时 .
考点4 正多边形与圆
（第10题）
10.如图，是的内接正三角形，
是的内接正四边形的一边，连接 ，则
是 的内接正______边形的一边．
十二
【点拨】如图，连接，， .
是 的内接正三角形，
.
是 的内接正四边形的一边，
.
.
，是 的内接正十二边
形的一边．
11. 将边长为1的正六边形 折
叠成三角形后（如图①）用剪刀剪下一
个角，展开后得到如图②所示的图形，
图②中虚线为折叠时产生的折痕，折痕
，且 .若剪完后所得阴影图形的面积
为原正六边形面积的，则的长为_______， 的值为_ __.
【点拨】如图，补全折痕，设折痕的交点为 ，
过点作于点，过点作 于点
.
正六边形 的边长为1，
,易得 .
.
.
由折叠的性质知，6个空白小三角形均为完全相
同的三角形，阴影图形的面积为正六边形面积
的，则每个空白小三角形（如 ）的面积
占一个小正三角形（如）的 .
, .
.
由勾股定理，得 .
，
.
.
，解得 或
（舍去）. ,
, ,
.
.
， ，
解得（负值已舍去） .
思想1 方程思想
12. 如图，这是一张圆形光盘，
一个宽为 的刻度尺在圆形光盘上移动，
当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与
C
A. B. C. D.
光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位： ），
那么该光盘的外直径是 ( )
【点拨】设圆心为 ,刻度尺与光盘的切点
为,另一边与光盘边缘的交点为， ，连
接,交于点,连接 ,如图，
则, .
刻度尺的对边平行,光盘与直尺的外边缘相切,
.
设光盘的外半径为，则,解得 ,
该光盘的外直径是 .

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