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分课时学案
课题 1.4相似三角形的判定第1课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解并掌握“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”的判定定理,能规范表述并正确应用。 2.经历定理的猜想、推导与证明过程,构建完整推理链条,提升逻辑推理与几何语言表达能力。 3.能识别几何图形中的相似模型,运用定理进行简单证明与计算,发展几何直观与模型思想。 4.在合作探究中体会数学严谨性,增强几何推理信心,完善相似三角形知识体系。
重点 1.平行判定相似定理的理解、推导与规范应用。 2.三角形中“A型”相似模型的识别与运用。
难点 相似判定定理的严谨证明过程与推理链条的完整表达。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.相似三角形的定义是什么？ 2.平行线分线段成比例的推论是什么？ 探究问题 在中,点在上,交于与是否相似？请从角和边两个角度猜想依据。
新知讲解 探究活动一:定义法 议一议:如图,在中,已知分别是边的中点.试判断与是否相似,并说明理由. 方法总结: 探究活动二:平行相似 思考:如图,在中,为上任意一点.过点作的平行线,交于点.与是否相似？平行移动的位置,你的结论还成立吗？ 由上述“议一议”可知,当为的中位线时,. 于是可以猜测:只要,就有. 下面来证明此猜测成立. 方法总结: 探究活动三:相似三角形判定方法的应用 例1:如图1.4-4,为的边的中点,过点作,交边于点.延长至点,使.求证:． 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.如图所示,中,,则的值为( ) A.6 B.12C.18 D.24 2.如图,点为边上任一点,交于点,连接相交于点,则下列等式中不成立的是( ) A. BC. D. 3.如图,中,交于,已知,则=　. 4.如图,在中,点分别在边上,.若,则= (　　) A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC.下列比例式一定正确的是 (　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.如图,,点在上,点在上,、、相交于点,则图中相似三角形共有 (　　) A.1对　　B.2对　　C.3对　　D.4对 7.如图,于点,若,则=　　　　. 8.如图,点为的边上一点,连接并延长,交的延长线于点E. (1)求证:; (2)若,求的长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.如图,与交于点,则相似三角形共有(　　) A．3对B．5对C．6对D．8对 2.如图,在中,相交于点,则图中与相似的三角形有(　) A．1个B．2个C．3个D．0个 3.如图,在中,过点的直线与对角线,边分别交于点和点,过点作,交于点,则图中相似三角形有(　　) A．4对B．5对C．6对D．7对 4.如图,在中,交于点,交于点,则的长是(　　) A．4B．7C．3D．12 5.如图,在中,是边上一点,交于,若,则＝________． 6.如图,点是的边上一点,射线交的延长线于点,根据图中已有字母写出一个与相似的三角形:_____________________． 能力提升: 7.如图,在中,,若,则的长为(　　) A．6B．9C．8D．10 8.如图,在中,点分别是的中点,则下列结论:.其中正确的有(　　) A．3个B．2个C．1个D．0个 9.如图,已知交于点,那么下列结论中不成立的是(　　) A． B．C． D． 10.如图,在中,点分别在和边上,,为边上一点(不与点重合),连接交于点,则(　　) A　B　C.　D. 11.如图,在中,为边的三等分点,,为与的交点．若,则＝________． 12.如图,已知在中,,正方形的顶点分别在边上,如果,那么正方形的周长为________． 拓展迁移: 13.如图,在中,为对角线的三等分点,连接并延长交于点,连接并延长交于点. (1)求证:. (2)求的值． 14.如图,在四边形中,分别是上的点,连接,若. (1)求证:. (2)请你探究:如果是以为底边的等腰三角形,那么是否是以为底边的等腰三角形,为什么？
参考答案：
1.对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。
2.平行于三角形一边的直线截其他两边,所得对应线段成比例。
3.猜想相似；依据:由平行得对应角相等,由比例线段得对应边成比例,满足相似定义。
探究一：
由于分别是边的中点,根据三角形的中位线定理得,且,从而有.
又,
对于与,由相似三角形的定义得.
探究二：
已知,过边上一点作,交于点,如图所示.
在与中,.
因为,
所以.
过点作,交于点F.
由于,根据“平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段成比例”得,
.
因为四边形为平行四边形,
所以.
于是.
综上所述,根据相似三角形的定义得.
探究三：
证明:由于,于是,
从而.
又为的边的中点,则,
于是,则为边的中点,
即.
又,
所以.
而,
因此.
课堂练习：
1.;2.;3.;
4.　,,.
,,故选D.
5.　,,,
,故选.
6.　,,,
故选.
7.
解析　,,,
.
在中,.
8. (1)证明:四边形是平行四边形,
,.
(2)四边形为平行四边形,
.
,
.
又,
,
.
课后提升：
1.;2.;3.;4.;5.;6.(答案不唯一);
7.;8.;9.;10.;11.;12.;
13.(1)证明:四边形为平行四边形,.
.
(2)解:,
..
为的三等分点,
..
14.(1)证明:,
.
由,
得,
.
由,得B,
..
(2)解:是．理由如下:由,
得.
由,得..
是以为底边的等腰三角形,
,
,即是以为底边的等腰三角形．
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