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分课时学案
课题 1.4相似三角形的判定第2课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定定理,能准确表述、规范书写并灵活运用。 2.经历定理的猜想、类比、证明与应用过程,构建严谨推理链条,提升逻辑表达与几何直观能力。 3.能识别双垂直、共角、对顶角等常见相似模型,解决简单证明与计算问题。 4.体会全等与相似的关系,感受数学思想方法,增强几何综合解题信心。
重点 1.两角分别相等的两个三角形相似定理的理解与直接应用。 2.共角型、双垂直型等相似模型的识别与运用。
难点 相似判定定理的构造证明思路与复杂图形中两组对应角的精准寻找。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.上节课我们学习了哪种相似判定方法？ 2.三角形全等的判定定理中,只和角有关的是哪一个？ 探究问题 类比全等判定,猜想:两个三角形至少需要满足几组角对应相等,就可以判定它们相似？请说明理由。
新知讲解 探究活动一:相似三角形的判定定理1 我们在判定两个三角形全等时,一般都不用定义,而是用较少的条件来判 定.例如可以采用以下判定方法: ①两角及其夹边分别相等； ②两角分别相等且其中一组等角的对边相等； ③两边及其夹角分别相等； ④三边分别相等. 全等三角形是相似三角形的特例,且相似三角形的对应边可以不相等,因此,这就启发我们去探索,是否可用较少的条件去判定两个三角形相似. 思考: 如图1.4-5,已知,然后作一个,使.这两个三角形相似吗？ 由“平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似”可知,若将放到上面,使点A与点A′重合,且边落到边上,则由,可判断边会落到边A′C′上.又∠B′=∠B,则BC∥B′C′,于是可得△ABC∽△A′B′C′. 由此猜测:两角分别相等的两个三角形相似. 下面我们来证明上述猜测成立. 总结归纳: 探究活动二:相似三角形的判定定理1的应用 例2如图,在中,.过点D分别作边的垂线,垂足分别为点,与交于点.求证:. 例3:如图1.4-8,在与中,,.若,求的长. 方法总结:
课堂练习 课堂练习 1.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是DC,BC边上的点,且∠AEF=90°,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.如图,在纸片中,.将纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( ) 　 A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 3.如图,在中,,是边上一点,且,过点作的垂线,交的延长线于点,求证:. 4.如图,在中,高相交于点,图中与相似的三角形共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,在平行四边形中,是延长线上一点,连接交于点,则图中的相似三角形共有( ) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 6.如图,请补充一个条件:　　,使. 7.如图,在中,于,若,则=　　. 8.如图,在中,,点为边上任意一点,连接,以为邻边作平行四边形,连接,则长度的最小值为　. 9.如图,在中,点在边上,.点在边上,. (1)求证:; (2)若,求的长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.下列各组图形中可能不相似的是(　　) A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形 2.如图,在中,,与相似的三角形有(　　) A.1个B.2个C.3个D.4个 3.如图,在中,,则下列等式成立的是(　　) A.＝B.＝C.＝D.＝ 4.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有(　　) A.1对B.2对C.3对D.0对 5.如图所示的三角形中,x＝________. 6.如图,D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD＝2,BD＝4,∠ACD＝∠B,则AC的长为________. 能力提升: 7.如图,E为矩形ABCD边CD的延长线上一点,BE交AD于点G,AF⊥BE于点F,则图中与△EDG相似的三角形共有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图,下列条件中,不能判定△ACD∽△ABC的是(　　) A.∠ADC=∠ACB B.∠B=∠ACDC.∠ACD=∠BCDD.∠BDC=180°-∠ACB 9.如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝10,点E在BC边上,DF⊥AE,垂足为F.若DF＝6,则线段EF的长为(　　) A.2B.3C.4D.5 10.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,下列说法中:①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB. 正确的个数是(　　) A.1B.2C.3D.4 11.如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,AB＝3,AD＝2,CE＝1,则DF的长度是________. 12.如图,在△ABC中,AB＝9,AC＝6,点E在AB上,且AE＝3,点F在AC上,连接EF,若△AEF与△ABC相似,则AF＝________. 拓展迁移: 13.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证:△ABE∽△DFA； (2)若AB＝6,BC＝4,求DF的长. 14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为点D. (1)求证:BC2＝AB·DB； (2)若AD＝6,BD＝4,求CD的长.
参考答案：
复习回顾：
1.平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。
2.AAS或ASA（两角及其中一角对边、两角及其夹边）。
3.猜想:两组角分别相等即可判定相似；理由:三角形内角和固定,两角相等则第三角必相等,满足相似定义。
探究一：
如图1.4-6,在的边上取一点,使.
过点作,交于点.
在与中,
因为,
所以.
又,
于是.
因此.
探究二：
例2：证明:因为,
所以.
因为,
所以,
从而.
又,
所以,
因此（两角分别相等的两个三角形相似）.
例3：解:因为,
所以,
从而.
又,
于是.
所以.
课堂练习：
1.C;2.C;
3.证明:
,
,
,
,
,
.
4.C;5.D;
6.(答案不唯一);
7.2;8.;
9.解:(1),
.
,
又,
,
.
.
(2)由(1)已证,根据相似三角形的性质,对应边成比例:

将已知条件代入上式:
,
解得:.
课后提升：
1.A;2.B;3.C;4.C;5.;6.;7.C;8.C;9.B;10.C;11.;12.2或4.5;
13.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,AD∥BC.
∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE,∴∠DFA＝90°.
∴∠B＝∠DFA,
∴△ABE∽△DFA.
(2)解:∵△ABE∽△DFA,
∴＝.
∵BC＝4,E是BC的中点,
∴BE＝BC＝×4＝2.
∴在Rt△ABE中,AE＝＝＝2.
又∵AD＝BC＝4,
∴＝,
∴DF＝.
14.(1)证明:∵CD⊥AB,
∴∠CDB＝90°.
∵∠ACB＝90°,
∴∠ACB＝∠CDB.
又∵∠B＝∠B,
∴△ACB∽△CDB.
∴＝,
∴BC2＝AB·DB.
(2)解:∵AD＝6,BD＝4,
∴AB＝AD＋DB＝10.
∴BC2＝AB·DB＝40.
在Rt△CDB中,由勾股定理,
可得CD＝＝＝2.
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