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广西壮族自治区崇左市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取2个球，记事件“取出的2个球的颜色相同”，事件“取出的球中有黄球”，则（ ）
A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥但不对立事件
C．A与B是相等事件 D．A与B不是互斥事件
4．已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距18海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．观测站立即将消息告知位于观测站西偏南方向上的处的救援船，此时测得渔船在救援船的北偏东方向上，若救援船要在1小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（ ）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某小组进行实验操作考核，11位评委的打分（满分10分）为，，，，，，，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．该组数据的众数为8
B．该组数据的极差为13
C．该组数据的第60百分位数为8
D．若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据的第60百分位数为8
10．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．，
C．不等式的解集为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
11．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上的动点，是的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．的最大值为3
B．存在唯一的点，使得平面
C．若为的中点，则点到平面的距离为
D．若平面，则点的运动轨迹长度为2
三、填空题
12．函数的定义域为________．
13．已知，均是单位向量，且，则与夹角的余弦值为________．
14．在平面直角坐标系中，一个质点从坐标原点出发，每一步向上、下、左、右4个方向随机地移动1个单位长度，则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过1个单位长度的概率为________．
四、解答题
15．已知点，，，．
(1)若，求；
(2)若，求．
16．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求不等式的解集．
17．为丰富校园文化生活，某学校随机抽取了m名学生，统计他们每周校园图书的借阅时长（单位：分钟），将所得数据分成，，，，五组，并按上述分组方式绘制如图所示的频率分布直方图，且第二组的频数为50．
(1)求 a，m的值；
(2)估计该校学生每周校园图书借阅时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)按比例采用分层随机抽样的方法从第一组和第五组学生中选取5人，再从这5人中随机选取2人进行问卷调查，求这2人来自不同组的概率．
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求的面积；
(3)若，求内切圆的半径的最大值．
19．如图，，，，平面，，P是线段上的动点（含端点），设平面平面．
(1)证明：平面．
(2)设P是的中点．
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）求平面截三棱锥外接球所得截面的面积．
参考答案
1．A
【详解】.
2．C
【详解】对于不等式，根据绝对值的性质，等价于，解得，所以；
对于不等式，解得，所以，
所以.
3．B
【详解】 袋子中只有1个黄球，若事件B（取出的2个球中有黄球）发生，
则取出的球必然是1个黄球+1个其他颜色球，两个球颜色一定不同，
不可能满足事件A（取出的2个球颜色相同），因此A和B不能同时发生，是互斥事件；
事件A的对立事件为“取出的2个球的颜色不同”，即1个红球，1个白球或1个红球，1个黄球或1个白球，1个黄球，与事件不相同，所以A与B不对立.
4．B
【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立，
若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立，
故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件.
5．C
【详解】因为，因此，
由，，以及基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
故.
6．B
【详解】由，得，解得，
所以.
故选：B
7．A
【详解】过点作于点，
因为救援船位于观测站西偏南方向上的处，因此，，
而，因此在中，，
由题意知，因此，
所以在中，根据正弦定理，即，
解得，
因此速度至少为海里/小时.
8．D
【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数，
所以函数在区间上有意义，且在上单调递减，
当时，或，解得，
当时，，此时函数的定义域为，
因为函数在上单调递减，函数为增函数，
所以函数在上单调递减，满足条件，
所以的取值范围为.
9．ACD
【详解】A选项，8出现的次数为3，次数最多，故众数为8，A正确；
B选项，该组数据的极差为，B错误；
C选项，，故从小到大，选择第7个数作为该组数据的第60百分位数，即8，C正确；
D选项，若去掉一个最高分和一个最低分，
剩余9个数据为，，，，，，，，，
，故从小到大，选择第6个数作为新数据的第60百分位数，即8，D正确.
10．AC
【详解】由题知，令，则，
所以，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
所以当时，，A正确；
当时，，
当时，，
因为是定义在上的偶函数，
所以，，B错；
当时，令，解得，
又因为是定义在上的偶函数，
所以，的解集为，C正确；
由上述可知，，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又因为是定义在上的偶函数，
所以要使有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
即与两函数有两个交点，
则需满足或，D错.
11．ABD
【详解】已知正方体棱长为，在侧面上，是中点，
平面，因此平面，，
对于选项A，由平面，对任意在平面，
由勾股定理得： ，
的最大值为正方形的对角线长度，，
因此 ，A正确；
对于选项B，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理，，平面，
所以平面，因此若平面，则，
连接，因为为的中点，所以是的中点，
因此存在唯一的点满足条件，B正确，
对于选项C，是中点，，，，
中，，，
的面积，
设点到平面的距离为，则，
又，三棱锥的体积，
所以，故，C错误，
对于选项D，平面是正方体的对角面，
取的中点，的中点，的中点，
则，平面，平面，
所以平面，同理结合可得平面，
又，平面，
所以平面平面，结合平面可得平面，
又是侧面上的动点，所以点的轨迹为，
因此轨迹长度为，D正确.

12．
【详解】要使函数有意义，所以，解得
所以函数的定义域为.
13．
/
【详解】 因为均为单位向量，故，，
由两边平方得： 展开完全平方得： ，
将代入上式： 整理得，
解得，与夹角的余弦值为： .
14．
【详解】三步共有种活动路径，其中
三步之后回到的有：向右两步，向左一步；向右、上、下各一步；
共有种；
同理可得，三步之后回到各有种，
故三步后，这个质点与坐标原点的距离不超过1个单位长度共有种，
则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过1个单位长度的概率为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，
，
则，
因为，所以；
（2）因为，所以，
得
16．(1)最小正周期；单调递减区间为
(2)
【详解】（1）由，
则其最小正周期，
令，解得，
所以的单调递减区间为；
（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，
不等式，即，整理得，
令，则，解得，
所以，即，
所以不等式的解集为.
17．(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）频率分布直方图对应矩形面积之和为1：；
则第二组数据对应频率为：，
又对应频数为，则；
（2）该校学生每周校园图书借阅时长的平均数为：；
（3）由题设可得第一组对应频率为，第五组对应频率为：，则频率比例为：.
从而从第一组抽4人，第五组抽1人，设第一组4人为，第五组1人为：.
则从中随机选取2人的情况有：共10种，其中2人来自不同组的情况数为4，
则对应概率为：.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知，根据正弦定理，
所以，
在三角形中，
所以，
得，
因为，所以，则，
因为，所以；
（2）已知，即，也即，
所以，解得，
则的面积.
（3）已知，，则 ，
由，代入上式得 ，当且仅当时等号成立，
三角形的面积，半周长，
设三角形内切圆半径为，则有，即，
因为，所以，则，
所以，
由，得，所以，
因此时，，此时三角形.
19．(1)因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（1）略
（2）（Ⅰ）因为平面，，所以平面，
取中点，连接，则平面.
作，连接，由三垂线定理知，，
又因为，所以，
所以即为二面角的平面角.
因为，所以为直角三角形，
所以，又，所以，
在中，因为，所以，
同理可得，
作交于点，所以，
所以，所以，
所以在中，
所以二面角的余弦值为.
（Ⅱ）因为为直角三角形，所以球心位于过且垂直于平面的直线上，
又平面，所以球心位于的垂直平分面上，
又因为，所以到平面的距离为，所以.
由等体积法，而，
点到平面的距离为，所以，
即，所以，
所以，所以截面面积为.

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