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第07讲2.3一元二次方程的根与系数的关系暑假预习讲义同步训练
北师大版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．若，是方程的两个根，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，，则该方程的解为（）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知，，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
6．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．2025
8．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______．
10．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________．
11．已知，是方程的两个实数根，则的值为________．
12．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）若是倍根方程，则m的值为______；
（2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______．
三、解答题
13．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，满足，求k的值．
15．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究．
(1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；
(2)若实数a，b满足，，且，求的值；
(3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：．
16．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，满足，求实数k的值．
17．请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，；
材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
(2)已知不相等的两个实数、满足，求的值．
(3)已知实数、、满足、，求的最大值．
18．阅读材料：
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根．
根据上述材料解决下列问题：
(1)已知一元二次方程的两根，，则______，______；
(2)已知实数m，n满足，，求的值；
(3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．B
5．A
6．D
7．B
8．A
9．
10．15
11．
12．或
13．(1)证明：∵原方程为，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
代入得：，
整理得，
解得或．
14．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴ ，解得．
即实数的取值范围为．
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根，，
∴， ，
又∵，
∴ ，解得，．
由（1）知，故不符合要求舍去，因此．
15．【详解】（1）解：将代入，得，
∴，
∴，
∴，
∴“黄金分割数”为；
（2）解：∵，，
将两边同时除以，得，
∵，
∴，
∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴；
(3)证明：
∵①，②，
①②得：，
整理得：，
∵，
∴，
等式两边同时除以得：，即，
∴
将代入①得：，
整理得：，
移项整理得：，
同理，将代入②，整理得，
∵，
∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴.
16．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
即，
展开整理得，
解得；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
代入得，
整理得，
解得，
，，
不符合题意，舍去，
．
17．【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、，
∴由根与系数的关系可知：，
；
（2）解：，，，
，
∵，
∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根
由根与系数的关系可知：，
．
（3）解：∵实数、、满足、，
，
∴实数、可看作是方程的两个实数根 ，
，
解得：，
的最大值为2．
18．【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，，
，；
（2）解：当时，
实数、满足，，
、可看作方程的两根，
，，
原式，
当时，则原式；
综上所述，原式的值为或2；
（3）解：，，
∴，，
将、看作是方程的两实数根，
，
又∵，即，
，
，即，
的最大值为1．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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