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第04讲1.4正方形的性质与判定暑假预习讲义同步训练
新北师大版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．下列各命题中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
2．如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
6．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若点坐标为则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
7．四边形为正方形，，为对角线上一点（不与、重合），连结，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连结，取的中点，连结，当最小时，线段的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，．
①四边形是平行四边形；
②若，则四边形是矩形；
③若，则四边形是菱形；
④若，，则四边形是正方形
上述四个结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点．
①线段的长为_____．
②线段的长为_____．
10．如图，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点，点为的中点，连接．
（1）__________；
（2）若，，则线段的长为__________．
11．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________．
12．如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交边于点，连接交于点；
（1）_____________．
（2）若，，则_____________．
三、解答题
13．如图，已知正方形边长为2，点P是对角线上一点．
(1)过点P作于E，于F，求证：四边形为正方形；
(2)在（1）的基础上，过点P作，交射线于点Q．
①当点Q在边上时，求证：；
②当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为时，请求出的长．
14．如图，四边形是正方形，点是边上一点，连接，以为边在右上方作正方形，连接．
(1)求证：；
(2)如图，在图的基础上连接交于点，连接，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)在的条件下，若，，求的长．
15．我们规定：两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．
(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，_________一定是等对角线四边形（填写图形名称）；
(2)如图（1），若分别是等对角线四边形四边，，，的中点，当对角线、还要满足_________时，四边形是正方形，请说明理由；
(3)如图2，已知四边形是等对角线四边形，，，，，求四边形的面积．
16．在正方形中，点是边上一点（不与点，重合），连接，点在边的延长线上，且，连接交于点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点作，垂足为，交于点．
①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
②当点为边的中点时，若，直接写出线段的长．
17．正方形中，，是直线上一点，以点为直角顶点，在右侧作等腰直角，连接．
(1)如图1，E是的中点时，与的数量关系是_________，的度数是_________．
(2)如图2，若是线段上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)连接，若，直接写出的长．
18．如图，在正方形中，，点为边的动点，点与点关于直线对称，交于点，的延长线交于点，点为边上的点，且，连接和，点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的值；
(3)求的最小值．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．A
5．A
6．D
7．D
8．D
9．
10．90
11．
12．
13．(1)证明：∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形．
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
(2)①证明：由（1）有四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②解：如图，当点在线段上时，作于，于，
由（1）可得四边形为正方形，由①可得，
∴
∴，
∵以、、、为顶点的四边形的面积为，
∴，即，
∴在中，．
当点在的延长线上时，作于，延长交于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵以、、、为顶点的四边形的面积为，
∴，
解得，
即，
∴，
∴在中，，
∵在正方形中，，，
∴
∴当点P运动到中点时，，故此情况不存在．
综上所述，的长是．
14．(1)证明：∵四边形、都是正方形，
，，，
，即，
，
；
(2)解：，证明如下：
由得，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴点在同一直线上，
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
，
又由得，
，
即；
（3）解：∵四边形是正方形，，
，，
∵，
，
设，由得，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
∴的长是．
15．(1)矩形
(2)当时，四边形是正方形．理由如下：
如图1中，分别是等对角线四边形四边、、、的中点，
，，
，，
，
，
∴四边形是菱形，
当时，，
由，可知，，
，
∴四边形是正方形；
（3）解：如图，作于点，
在中，，，，
，
，，
，
四边形是等对角线四边形，
，
在中，，
，，
，
四边形是直角梯形，
，
，
．
16．【详解】（1）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
(2)解：①，证明如下：
由（1）有，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴．
∵由（1）有是等腰直角三角形，即，，
又，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
②解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点N是的中点，
∴．
连接，
设，则，，
∵，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，解得，
∴，，
由①有，
∴，
∴在中，．
17．【详解】（1）解：过点F作，交延长线于点G，如图，
即，
∴，
四边形是正方形，
，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
(2)成立．证明如下：
过点F作，交延长线于点H，如图，
，
四边形是正方形，
，，
，
在中，，，
，
，
，
在与中,
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，．
（3）解：当在正方形外部时，
过点D作交的延长线于点M，如图，
∵，即
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，即，
可得（负值舍），
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，，
∴，
在中，，
即，可得，
解得（负值舍），
∴，
∴，
∵．
∴；
当在正方形内部时，
过点D作交的延长线于点N，如图，
∵，即
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，即，
可得（负值舍），
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵．
∴；
综上，的长为或．
18．(1)证明：∵点和点关于直线对称，
，
，
．
在正方形中，
，，
，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
在中，由勾股定理得，，
，，
；
（3）解：延长至点，使，连接，，如图，
∵正方形中，，
垂直平分，
．
由（2）得，，
．
，
当，，三点在同一直线上时，，
此时取得最小值，
，，
，．
在中，根据勾股定理得，，
最小值为，
最小值为．

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