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第01讲1.2菱形的性质与判定暑假预习讲义同步训练
新北师大版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，菱形中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（ ）
A． B． C．32 D．16
4．如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的面积为30，则的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．6
6．如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，菱形中，，，则菱形的周长为______．
10．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为___________．
12．已知四边形为菱形，，为上任意一点，点为上任意一点．
（1）菱形的面积为______；
（2）的最小值是______．
三、解答题
13．如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如果．求证：四边形是一个菱形．
14．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的周长．
15．如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域．
16．如图1，为的边上一点，连接，，使，过点作，交延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形．
17．如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点，若，，，求的长．
18．在菱形中，，是对角线上一个动点，连接，以为边向右侧作等边．
(1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于点．
①判断与的数量关系，并求的度数；（温馨提示：若思考有困难，可尝试连接）
②若，，求的长；
(2)如图2，当点在菱形外部时，连接交于点．若，，直接写出________．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．A
9．
10．
11．
12．
13．(1)证明：∵平行四边形，
∴，，
且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
(2)证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
14．(1)证明：四边形是菱形，
，，
，，
，即，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：四边形是菱形，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为．
15．(1)证明：如图所示，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图所示，连接交于点O，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
设点A到的距离为h，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．(1)证明：，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
(2)证明：，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，，
，
，
四边形是菱形．
17．(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴在中，．
18．【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵菱形中，，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
如图，连接，过点作于点，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
同得是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴（等腰三角形三线合一），
∴，
∴．
（2）解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵菱形中，，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是含的直角三角形，
∴，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
．

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