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广西崇左市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知一组数据，，，，的平均数，方差，则（ ）
A．每个数据都加2后，新数据的平均数为7
B．每个数据都加2后，新数据的方差为4
C．每个数据都乘以3后，新数据的平均数为15
D．每个数据都乘以3后，新数据的方差为18
10．设函数，则（ ）
A． B．是偶函数
C．的定义域为 D．在处取得极小值
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（ ）
A．的渐近线方程为
B．当时，
C．当与轴交于点时，
D．当的斜率为2时，点到轴的距离为
三、填空题
12．若函数的最大值为，则______；的最小正周期为______．
13．用1，2，…，9这9个数字可以组成______个恰有两个相同数字的四位数（例如1219）．
14．数列满足，且，，则______．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为的中点．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面．
(3)求点到平面的距离．
16．已知的周长为15，，且．
(1)求；
(2)求的面积；
(3)求的内切圆的直径．
17．已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H．
(1)求C的方程；
(2)求直线的斜率及点H的坐标．
18．某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份．
(1)求第一次抽到A类花粉的概率；
(2)记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望；
(3)在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，都有，求的取值范围；
(3)当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：.
参考答案
1．A
【详解】由题意得，则.
2．A
【详解】因为是等比数列，所以，即.所以.
3．A
【详解】由得或.
因为，所以.
所以.
4．D
【详解】由是开口向上的二次函数，且对称轴为，
又，
若，且，即，
又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件；
若，且，
所以对称轴为，解得．
综上，．
5．C
【详解】由可得：.
则曲线在点处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，整理得.
6．B
【详解】由，，
可得，，
两式相加得，，即，
又，代入解得.
7．C
【详解】因为平面，，将三棱锥放入长方体中，如图，
所以三棱锥的外接球和长方体的外接球相同，由，，
所以，所以，
所以该三棱锥的外接球的表面积为.
8．D
【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，，
又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中，
所以，解得，
又为圆的直径，所以．

9．ACD
【详解】由题意得，即，
，
对于AB，记新数据为，
则，
，故A正确，B错误，
对于CD，记新数据为，
，
，
故CD正确.
10．ABD
【详解】选项A：代入得，故A正确；
选项B：定义域为，化简，
满足偶函数定义,故B正确；
选项C：恒成立，因此，定义域为全体实数，故C错误；
选项D：求导得，时，单调递减；时，单调递增，因此处取极小值，故D正确.
11．BC
【详解】，
因为，所以其渐近线方程为，故A错误；
因为，，
所以，故B正确；
由得，则由角平分线定理得，
因为，所以，
在中利用余弦定理得，
则，故C正确；
设，与联立得，
则，得，
因为点位于第一象限，所以，
此时，则点到轴的距离为，故D错误.
12． 2
【详解】由正弦函数的性质可得函数的最大值为2；
的最小正周期为.
13．
【详解】第一步从中选出1个作为重复数字，有种;
第二步从剩下8个数字中选择2个数字共有种;
第三步，对4个数字进行排列，先从4个位置中选2个位置给重复的数字共有种;再将剩下两个数字进行全排列共有种;
根据分步计数原理的乘法原理可得共有
14．194
【详解】因为，，则，
两式作差后可得，即中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列，
又，可得，即，
所以
15．(1)因为平面，平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为平面，所以平面；
(2)因为为的中点，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面；
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3）因为平面，平面，所以平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，又，
由（2）点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为．
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，又 ，解得 ，， ，故 ．
（2）．
（3）内切圆半径 ，直径 ．
17．(1)
(2)斜率为，点的坐标为
【详解】（1）因为椭圆：的离心率为，左顶点为，
所以，解得：，
所以椭圆C的方程为：.
（2）

设点的坐标为，
因为点，
则线段的中点的坐标为.
因为线段的中点在y轴正半轴上，
所以，解得.
又因为点M在椭圆C上，
所以，
则，即点的坐标为，
所以直线的斜率为，直线的方程为，即.
联立椭圆C和直线的方程，整理得：，
解得：或.
结合题目要求可知点H的横坐标为.
将代入直线的方程可得，
所以点的坐标为 .
18．(1)
(2)
0 1 2
期望为
(3)
【详解】（1）设“第次抽到的是类花粉”，“第次抽到的是类花粉”，
记甲、乙、丙三个养蜂场分别为第1个养蜂场、第2个养蜂场、第3个养蜂场，
“选取到第个养蜂场”，．
则，，
由题意得第一次抽到的是类花粉的概率为
．
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
所以．
（3）从甲养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；
从乙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；
从丙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为.
所以，
，
则，
所以在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．
19．(1)当时，在上单调递增；当时，递减区间为，递增区间为
(2)
(3)当时，，，
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，
，，，，
所以存在，使得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由于，所以的两个零点满足，
因为，所以，
因为，所以，
所以，得证．
【详解】（1）对函数求导可得 ，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得．当时，单调递减；
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，递减区间为，递增区间为.
（2）任意，都有即，
即对任意均成立，
设，则．
，设，
那么，所以在上单调递增，
当，即时，，
所以在上单调递增，，满足条件；
当时，，
所以存在，使得；
当时，单调递减，，不满足条件；
综上所述，的取值范围是．
（3）略

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