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湖南怀化市2026年5月初中学业水平适应性检测 数学
1．历史年份中，通常以公元元年为基准，公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示．若公元前年秦朝统一六国记作年，那么公元年唐朝建立应记作（　　）
A．年 B．年 C．年 D．年
2．下列生成的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．年清明档上映了革命历史题材《浴血困牛山》《半条被子》和温暖现实主义题材《我，许可》《我的姆耶》等多部影片．截至月日零时，清明档总票房超元，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（　　）
A． B．8 C．6 D．
5．某体育老师为了解九年级男生篮球运球绕杆的训练效果，随机从甲、乙、丙、丁四个训练小组中各抽取20名男生进行模拟测试．各组的平均用时（秒）及方差如下表所示：
小组 甲 乙 丙 丁
平均用时 13.2 13.2 12.8 12.8
方差 2.9 3.0 2.6
调查显示，20名男生的测试成绩各不相同，且丙组的平均用时更短、发挥也更稳定，则的值可能是（　　）
A．0 B．2.5 C．3.8 D．2.9
6．将一次函数的图象向上平移4个单位后经过点，则（　　）
A．10 B．4 C．2 D．0
7．如图，在长方形中，将沿折叠得到，交于点E．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，AB是的直径，AC与相切于点A，连接BC交于点D．点E在上，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点，在射线上任取一点，以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，再以为圆心，长为半径在内画弧，两弧交于点，过点作射线，在射线上取一点，以为圆心，为半径画弧，交射线于点，连接，点在射线上，连接交于点．若，，则的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
10．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
11．计算：　 　．
12．若是方程的解，则a的值是　 　．
13．某古建筑群落有12座殿宇，其中6座重檐，4座歇山，2座攒尖，小明随机选择一座参观游览，则恰好进入“攒尖”游览的概率是　 　．
14．不等式组的解集是　 　．
15．图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为　 　．（结果保留）
16．如图，中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连接并延长交于点M．若，，则等于　 　；线段的长为　 　．
17．计算：．
18．下列是化简的两种方法的部分过程：
方法一： … 方法二： …
（1）请选择一种方法完成化简过程；
（2）当时，求原代数式的值．
19．为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
请根据调查信息，回答下列问题：
（1）_____；
（2）设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图；
（3）在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____；
（4）若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数．
20．如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
21．某数学兴趣小组设计了一个古祠飞檐结构中的几何测量与计算的方案．
活动课题 古祠飞檐结构中的几何测量与计算．
实物图及示意图 某保护文物——古祠飞檐，其侧视图如图所示．
测量数据 1．测得飞檐挑檐梁与水平线的夹角，挑檐梁的长度为2米； 2．测得飞檐屋面的倾斜角，飞檐立柱的高度为米．
参考数据
请计算：
（1）飞檐水平横枋与水平线的距离；
（2）飞檐水平横枋的长度．（结果精确到）
22．在年马年新春送福活动中，某公司计划采购甲、乙两款新春福袋．已知甲款福袋的单价比乙款福袋贵元，用元购买甲款福袋的数量是用元购买乙款福袋数量的．
（1）求甲、乙两款福袋的单价；
（2）该公司计划采购甲、乙两款福袋共个，且甲款福袋的数量不少于乙款福袋数量的．若商家推出甲款福袋八折优惠活动，求采购甲款福袋多少个时，采购总成本最低，最低成本是多少元？
23．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且经过点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线上第三象限内一动点，连接．面积记为，面积记为，求的最大值；
（3）如图，将直线沿轴翻折交轴于点，过点的直线交轴、抛物线分别于点．若，求点的坐标．
24．如图1，点E是的弦（不是直径）的中点，过点E的直线交于点A，C．过点D作交弦于点F．点G在上，平分，连接，且．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，若点O在线段上，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A、年表示公元前年，选项错误；
B、年表示公元年，选项正确；
C、年不符合规定的写法，数值也不对，选项错误；
D、年数值不对，选项错误．
故选：B；
【分析】由“ 公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示 ”，按照题意表示即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D．是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选：D；
【分析】 中心对称图形定义：将一个图形绕某一点旋转 180°，若旋转后能与原图形重合，该图形即为中心对称图形，这个点称作对称中心，据此逐个判定即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C；
【分析】 把一个数写成a×（1 ∣a∣<10，n为整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法，根据定义即可解答.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故选：D；
【分析】先由二次根式性质=∣a∣ 化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：A、选项中方差为0与“成绩各不相同”相矛盾，取选项中的值不符合题意；
B、选项中方差，满足“发挥更稳定”，符合条件，可取；
C、D、选项中方差都大于，不满足“发挥更稳定”的要求，取选项中的值不符合题意．
故选：B；
【分析】根据平均数与方差的定义，结合 “丙组的平均用时更短、发挥也更稳定”，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象向上平移4个单位，
∴函数表达式为，
∵直线经过点，
∴，
∴．
故选：C；
【分析】按照一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出新函数解析式， 然后将点 代入解析式， 解出即可求得的值．
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵沿折叠得到，，
∴，
∵长方形中，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C；
【分析】根据折叠的性质可知，再根据举行的性质、平行线的性质以及角度的和差关系即可求得 ．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是直径，是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧为，
∴．
故选：A；
【分析】由切线的性质“ 切线与过切点的半径互相垂直 ”得到，再根据三角形的内角和可知，再由同弧所对的圆周角相等即可求解．
9．【答案】A
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据作图可知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，即．
故选：A；
【分析】由尺规作图得到，，即可得， 再由相似三角形的性质求解即可．
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”，
∴是多项式的“衍生值”，
∵方程的解是多项式的“衍生值”，
∴是多项式的“衍生值”，
∵二次多项式和的“衍生值”都相等，
∴，即，
∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，
∴，解得，
∴．
故选：B；
【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组，求解得，代入即可．
11．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3；
【分析】按照同分母分式加减；因式分解；约分的方法进行计算.
12．【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：5；
【分析】把代入已知方程列出关于的新方程，解方程来求的值．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有12座殿宇，其中有2座攒尖，
∴进入“攒尖”游玩的概率为．
故答案为：；
【分析】根据概率公式：概率=，求解即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】分别解一元一次不等式组①②，再根据“ 同大取大，同小取小，大小小大中间找 ，大大小小无解了 ”求解即可．
15．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点，
∴，
∴的长度为．
故答案为：；
【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式： l= （n：圆心角度数，r：圆半径），求解即可．
16．【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，设，则，
∵，
∴，解得或（舍去），
即，，
∴．
过点M作交CF于点N，
∴为等腰直角三角形，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得，
即，
∴，
即．
故答案为：；．
【分析】 设，则， 根据勾股定理， 可知，即可得，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，证明，根据相似三角形的性质即可求．
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】绝对值：，，零指数幂：a =1(a≠0），根据以上公式先计算，再加减即可．
18．【答案】（1）选择方法一：
．
选择方法二：
．
（2）当时，原式．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；分式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）若选方法一：因为 可变形为，所以先将括号内的分式通分，再进行加法运算．将除法运算变为乘以除数的倒数．对分子分母分别进行因式分解，再约分得到最简形式；若选方法二：将括号内的两个分式分别与除数做除法运算．将每一项的除法运算变为乘以除数的倒数．对分子分母分别进行因式分解，再约分后合并得到最简形式．
（2）因为已得到最简代数式，所以将代入最简式，计算即可．
（1）选择方法一：
．
选择方法二：
．
（2）当时，原式．
19．【答案】（1）480
（2）120；
条形图补充如下：
（3）120，96
（4），
答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：，
（2）
解：
，
（3）
120出现次数最多，所以众数为120，
排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96
【分析】
（1）从条形统计图中能够得到，选择A类课程的人数为人，再结合扇形统计图可知，选择A类课程的人数占抽取总人数的，据此即可计算出抽取的总人数；
（2）用抽取的所有学生总数，减去选择A、B、D、E四类课程的人数，就可以得到选择C类课程的人数；
（3）依据众数和中位数的定义，就能得到对应结果；
（4）先求出样本中选择D课程的人数占抽取总人数的百分比，再用全校总人数2400乘这个百分比，就可以估算出全校选择D课程的总人数.
（1）解：，
（2）解：
，条形图补充如下：
（3）120出现次数最多，所以众数为120，
排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96
（4），
答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可求，，，再根据平行四边形的性质和线段的和差可求．，进而根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可求证全等；
（2）通过 平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边延长线）相交，所得新三角形和原三角形相似，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：过点B作于点F，如图
则为所求距离，
在中，，米，，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋与水平线的距离为1米．
（2）解：由题意，得，
在中，，，，
∵，
∴（米）．
∵，
∴（米），
在中，，
∴，即（米）．
∵，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋的长度为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作于点F，则为所求距离，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半进行求解得；
（1）先根据中，， 推导出，，后得到的值，根据中，，继而求出的长，则可求得的值.
（1）解：过点B作于点F，如图
则为所求距离，
在中，，米，，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋与水平线的距离为1米．
（2）解：由题意，得
，
在中，，，，
∵，
∴（米）．
∵，
∴（米），
在中，，
∴，即（米）．
∵，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋的长度为米．
22．【答案】（1）解：设乙款福袋单价为x元/件，则甲款福袋单价为元/件．由题意得，
解得，
经检验是原方程的根，且符合实际，
∴，
答：甲款福袋单价为50元/个，乙款福袋单价为36元/个；
（2）解：设采购甲款福袋m个，采购乙款福袋个，由题意得，
解得，
∵甲款福袋八折的单价为（元），
∴总成本：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
取最小值，，
答：采购甲款福袋50个时，采购成本最低是7400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意列出一次函数关系式，以及不等式，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
（1）解：设乙款福袋单价为x元/件，则甲款福袋单价为元/件．
由题意得，
解得，
经检验是原方程的根，且符合实际，
∴，
答：甲款福袋单价为50元/个，乙款福袋单价为36元/个；
（2）解：设采购甲款福袋m个，采购乙款福袋个，
由题意得，
解得，
∵甲款福袋八折的单价为（元），
∴总成本：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
取最小值，，
答：采购甲款福袋50个时，采购成本最低是7400元．
23．【答案】（1）解：将点代入抛物线，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵当时， ，解得，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
同理可得直线的表达式为，
过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，
∴ ，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴，
当点在点的上方时，如图，
∵在中，，
在中，，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴直线轴，此时与轴无交点，该种情况不符合题意；
当点在点的下方时，如图，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
∴由，解得或，
∴．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；正切的概念；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（）利用待定系数法，将点代入抛物线，解答即可求解；
（）求出点，，，利用待定系数法可得直线的表达式为，设点，同理可得直线的表达式为，过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，即得PN，QC的表达式，进而用m表示，即得到 的差，再根据二次函数的性质即可求得当时，有最大值，最大值为；
（）由点与点关于轴对称，可得，再分点在点的上方和下方两种情况，分别画出图形.当点在点的上方时，，得到 ，即可得 ，即可求解；当点在点的下方时，设，则，，在中，，求出直线的表达式为，即可解答.
（1）解：将点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵当时， ，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
同理可得直线的表达式为，
过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，
∴ ，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴，
当点在点的上方时，如图，
∵在中，，
在中，，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴直线轴，此时与轴无交点，该种情况不符合题意；
当点在点的下方时，如图，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
∴由，解得或，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵与所对的弧为，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，过点D作于点H，
∵，，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N，连接，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵点是中点，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
设，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等以及角平分线，可知，再根据等角的余角相等即可求解；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据（1）中结论可知，进而根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，证明，由线段关系可得，设，根据勾股定理可知，即可构造，根据即可求解；
（3）过点O作于点M，连接OD交于点N，连接，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，证明，根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，证明，设，，根据平行线中线段的比例关系即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵与所对的弧为，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，过点D作于点H，
∵，，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N，连接，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵点是中点，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
设，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），
∴．
1 / 1湖南怀化市2026年5月初中学业水平适应性检测 数学
1．历史年份中，通常以公元元年为基准，公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示．若公元前年秦朝统一六国记作年，那么公元年唐朝建立应记作（　　）
A．年 B．年 C．年 D．年
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A、年表示公元前年，选项错误；
B、年表示公元年，选项正确；
C、年不符合规定的写法，数值也不对，选项错误；
D、年数值不对，选项错误．
故选：B；
【分析】由“ 公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示 ”，按照题意表示即可．
2．下列生成的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D．是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选：D；
【分析】 中心对称图形定义：将一个图形绕某一点旋转 180°，若旋转后能与原图形重合，该图形即为中心对称图形，这个点称作对称中心，据此逐个判定即可．
3．年清明档上映了革命历史题材《浴血困牛山》《半条被子》和温暖现实主义题材《我，许可》《我的姆耶》等多部影片．截至月日零时，清明档总票房超元，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C；
【分析】 把一个数写成a×（1 ∣a∣<10，n为整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法，根据定义即可解答.
4．计算的结果是（　　）
A． B．8 C．6 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故选：D；
【分析】先由二次根式性质=∣a∣ 化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
5．某体育老师为了解九年级男生篮球运球绕杆的训练效果，随机从甲、乙、丙、丁四个训练小组中各抽取20名男生进行模拟测试．各组的平均用时（秒）及方差如下表所示：
小组 甲 乙 丙 丁
平均用时 13.2 13.2 12.8 12.8
方差 2.9 3.0 2.6
调查显示，20名男生的测试成绩各不相同，且丙组的平均用时更短、发挥也更稳定，则的值可能是（　　）
A．0 B．2.5 C．3.8 D．2.9
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：A、选项中方差为0与“成绩各不相同”相矛盾，取选项中的值不符合题意；
B、选项中方差，满足“发挥更稳定”，符合条件，可取；
C、D、选项中方差都大于，不满足“发挥更稳定”的要求，取选项中的值不符合题意．
故选：B；
【分析】根据平均数与方差的定义，结合 “丙组的平均用时更短、发挥也更稳定”，即可解答.
6．将一次函数的图象向上平移4个单位后经过点，则（　　）
A．10 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象向上平移4个单位，
∴函数表达式为，
∵直线经过点，
∴，
∴．
故选：C；
【分析】按照一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出新函数解析式， 然后将点 代入解析式， 解出即可求得的值．
7．如图，在长方形中，将沿折叠得到，交于点E．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵沿折叠得到，，
∴，
∵长方形中，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C；
【分析】根据折叠的性质可知，再根据举行的性质、平行线的性质以及角度的和差关系即可求得 ．
8．如图，AB是的直径，AC与相切于点A，连接BC交于点D．点E在上，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是直径，是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧为，
∴．
故选：A；
【分析】由切线的性质“ 切线与过切点的半径互相垂直 ”得到，再根据三角形的内角和可知，再由同弧所对的圆周角相等即可求解．
9．如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点，在射线上任取一点，以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，再以为圆心，长为半径在内画弧，两弧交于点，过点作射线，在射线上取一点，以为圆心，为半径画弧，交射线于点，连接，点在射线上，连接交于点．若，，则的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据作图可知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，即．
故选：A；
【分析】由尺规作图得到，，即可得， 再由相似三角形的性质求解即可．
10．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”，
∴是多项式的“衍生值”，
∵方程的解是多项式的“衍生值”，
∴是多项式的“衍生值”，
∵二次多项式和的“衍生值”都相等，
∴，即，
∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，
∴，解得，
∴．
故选：B；
【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组，求解得，代入即可．
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3；
【分析】按照同分母分式加减；因式分解；约分的方法进行计算.
12．若是方程的解，则a的值是　 　．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：5；
【分析】把代入已知方程列出关于的新方程，解方程来求的值．
13．某古建筑群落有12座殿宇，其中6座重檐，4座歇山，2座攒尖，小明随机选择一座参观游览，则恰好进入“攒尖”游览的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有12座殿宇，其中有2座攒尖，
∴进入“攒尖”游玩的概率为．
故答案为：；
【分析】根据概率公式：概率=，求解即可．
14．不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】分别解一元一次不等式组①②，再根据“ 同大取大，同小取小，大小小大中间找 ，大大小小无解了 ”求解即可．
15．图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点，
∴，
∴的长度为．
故答案为：；
【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式： l= （n：圆心角度数，r：圆半径），求解即可．
16．如图，中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连接并延长交于点M．若，，则等于　 　；线段的长为　 　．
【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，设，则，
∵，
∴，解得或（舍去），
即，，
∴．
过点M作交CF于点N，
∴为等腰直角三角形，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得，
即，
∴，
即．
故答案为：；．
【分析】 设，则， 根据勾股定理， 可知，即可得，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，证明，根据相似三角形的性质即可求．
17．计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】绝对值：，，零指数幂：a =1(a≠0），根据以上公式先计算，再加减即可．
18．下列是化简的两种方法的部分过程：
方法一： … 方法二： …
（1）请选择一种方法完成化简过程；
（2）当时，求原代数式的值．
【答案】（1）选择方法一：
．
选择方法二：
．
（2）当时，原式．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；分式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）若选方法一：因为 可变形为，所以先将括号内的分式通分，再进行加法运算．将除法运算变为乘以除数的倒数．对分子分母分别进行因式分解，再约分得到最简形式；若选方法二：将括号内的两个分式分别与除数做除法运算．将每一项的除法运算变为乘以除数的倒数．对分子分母分别进行因式分解，再约分后合并得到最简形式．
（2）因为已得到最简代数式，所以将代入最简式，计算即可．
（1）选择方法一：
．
选择方法二：
．
（2）当时，原式．
19．为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
请根据调查信息，回答下列问题：
（1）_____；
（2）设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图；
（3）在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____；
（4）若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数．
【答案】（1）480
（2）120；
条形图补充如下：
（3）120，96
（4），
答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：，
（2）
解：
，
（3）
120出现次数最多，所以众数为120，
排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96
【分析】
（1）从条形统计图中能够得到，选择A类课程的人数为人，再结合扇形统计图可知，选择A类课程的人数占抽取总人数的，据此即可计算出抽取的总人数；
（2）用抽取的所有学生总数，减去选择A、B、D、E四类课程的人数，就可以得到选择C类课程的人数；
（3）依据众数和中位数的定义，就能得到对应结果；
（4）先求出样本中选择D课程的人数占抽取总人数的百分比，再用全校总人数2400乘这个百分比，就可以估算出全校选择D课程的总人数.
（1）解：，
（2）解：
，条形图补充如下：
（3）120出现次数最多，所以众数为120，
排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96
（4），
答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人．
20．如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可求，，，再根据平行四边形的性质和线段的和差可求．，进而根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可求证全等；
（2）通过 平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边延长线）相交，所得新三角形和原三角形相似，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．某数学兴趣小组设计了一个古祠飞檐结构中的几何测量与计算的方案．
活动课题 古祠飞檐结构中的几何测量与计算．
实物图及示意图 某保护文物——古祠飞檐，其侧视图如图所示．
测量数据 1．测得飞檐挑檐梁与水平线的夹角，挑檐梁的长度为2米； 2．测得飞檐屋面的倾斜角，飞檐立柱的高度为米．
参考数据
请计算：
（1）飞檐水平横枋与水平线的距离；
（2）飞檐水平横枋的长度．（结果精确到）
【答案】（1）解：过点B作于点F，如图
则为所求距离，
在中，，米，，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋与水平线的距离为1米．
（2）解：由题意，得，
在中，，，，
∵，
∴（米）．
∵，
∴（米），
在中，，
∴，即（米）．
∵，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋的长度为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作于点F，则为所求距离，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半进行求解得；
（1）先根据中，， 推导出，，后得到的值，根据中，，继而求出的长，则可求得的值.
（1）解：过点B作于点F，如图
则为所求距离，
在中，，米，，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋与水平线的距离为1米．
（2）解：由题意，得
，
在中，，，，
∵，
∴（米）．
∵，
∴（米），
在中，，
∴，即（米）．
∵，
∴（米）．
答：飞檐水平横枋的长度为米．
22．在年马年新春送福活动中，某公司计划采购甲、乙两款新春福袋．已知甲款福袋的单价比乙款福袋贵元，用元购买甲款福袋的数量是用元购买乙款福袋数量的．
（1）求甲、乙两款福袋的单价；
（2）该公司计划采购甲、乙两款福袋共个，且甲款福袋的数量不少于乙款福袋数量的．若商家推出甲款福袋八折优惠活动，求采购甲款福袋多少个时，采购总成本最低，最低成本是多少元？
【答案】（1）解：设乙款福袋单价为x元/件，则甲款福袋单价为元/件．由题意得，
解得，
经检验是原方程的根，且符合实际，
∴，
答：甲款福袋单价为50元/个，乙款福袋单价为36元/个；
（2）解：设采购甲款福袋m个，采购乙款福袋个，由题意得，
解得，
∵甲款福袋八折的单价为（元），
∴总成本：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
取最小值，，
答：采购甲款福袋50个时，采购成本最低是7400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意列出一次函数关系式，以及不等式，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
（1）解：设乙款福袋单价为x元/件，则甲款福袋单价为元/件．
由题意得，
解得，
经检验是原方程的根，且符合实际，
∴，
答：甲款福袋单价为50元/个，乙款福袋单价为36元/个；
（2）解：设采购甲款福袋m个，采购乙款福袋个，
由题意得，
解得，
∵甲款福袋八折的单价为（元），
∴总成本：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
取最小值，，
答：采购甲款福袋50个时，采购成本最低是7400元．
23．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且经过点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线上第三象限内一动点，连接．面积记为，面积记为，求的最大值；
（3）如图，将直线沿轴翻折交轴于点，过点的直线交轴、抛物线分别于点．若，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点代入抛物线，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵当时， ，解得，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
同理可得直线的表达式为，
过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，
∴ ，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴，
当点在点的上方时，如图，
∵在中，，
在中，，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴直线轴，此时与轴无交点，该种情况不符合题意；
当点在点的下方时，如图，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
∴由，解得或，
∴．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；正切的概念；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（）利用待定系数法，将点代入抛物线，解答即可求解；
（）求出点，，，利用待定系数法可得直线的表达式为，设点，同理可得直线的表达式为，过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，即得PN，QC的表达式，进而用m表示，即得到 的差，再根据二次函数的性质即可求得当时，有最大值，最大值为；
（）由点与点关于轴对称，可得，再分点在点的上方和下方两种情况，分别画出图形.当点在点的上方时，，得到 ，即可得 ，即可求解；当点在点的下方时，设，则，，在中，，求出直线的表达式为，即可解答.
（1）解：将点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵当时， ，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
同理可得直线的表达式为，
过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，
∴ ，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴，
当点在点的上方时，如图，
∵在中，，
在中，，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴直线轴，此时与轴无交点，该种情况不符合题意；
当点在点的下方时，如图，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
∴由，解得或，
∴．
24．如图1，点E是的弦（不是直径）的中点，过点E的直线交于点A，C．过点D作交弦于点F．点G在上，平分，连接，且．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，若点O在线段上，求的值．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵与所对的弧为，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，过点D作于点H，
∵，，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N，连接，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵点是中点，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
设，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等以及角平分线，可知，再根据等角的余角相等即可求解；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据（1）中结论可知，进而根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，证明，由线段关系可得，设，根据勾股定理可知，即可构造，根据即可求解；
（3）过点O作于点M，连接OD交于点N，连接，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，证明，根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，证明，设，，根据平行线中线段的比例关系即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵与所对的弧为，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，过点D作于点H，
∵，，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N，连接，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵点是中点，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
设，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），
∴．
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