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山东省青岛市第二中学2025-2026学年第二学期期末考试
高一试题（数学）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据8，6，2，4，10，9的中位数为
A．6 B．7 C．8 D．9
2.已知向量，，且，则等于
A．2 B．1 C．－1 D．－2
3.小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．2月至6月的月跑步里程逐月增加
C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大
4.已知两个随机事件A，B相互独立，，则
A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6.从标有数字1，2，6的三个球中，任意抽取两个，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，已知标有1的球被抽中4次，那么乘积为12的频率为
A． B． C． D．
7.现采用三角高程测量法测量某景点白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为
（）
A．69m B．72m
C．79m D．82m
8.在锐角△中，角的对边分别为，点为△的外心，且，，则△面积的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，则
A．的虚部为 B． C． D．
10.已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为. 则
A． B． C．可以等于 D．
11.已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是
A．正三棱台的体积为
B．点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得
D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等边△的边长为2，则的值为___________．
13.已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球体积为___________.
14.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.如图，在△中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，.设，.
(1)若，，求的值.
(2)在（1）的条件下，求的最小值.
16.已知△中，角的对边分别为，，D为边的中点.
(1)求；
(2)若，，证明：.
17.为了解师生对“世界杯”的认知程度，某高校针对不同年龄的师生举办了一次“世界杯”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本校的“世界杯”宣传使者.
(i)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
18.已知平行六面体所有棱长均为．
(1)求证：平面平面；
(2)设平面与平面交于直线，
求证：直线平面；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
19.对于一个向量组（且），令，如果存在，使得，则称是该向量组的“向量”．
(1)设，若是向量组的“2向量”，求实数的取值范围；
(2)若，向量组是否存在“向量”，若存在，求出正整数的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“1向量”，若，，其中A是△的内角，设△的内角的对边分别为，若的平分线交于，，求的取值范围．

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