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分课时学案
课题 1.4相似三角形的判定第3课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解并掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,能准确区分夹角与对角,规范书写推理过程。 2.经历定理的猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、比例运算与几何语言表达能力。 3.能识别共角、双垂直、含高型等典型图形,运用定理解决判定、证明与计算问题。 4.完善相似三角形判定知识体系,体会类比与转化思想,增强几何综合解题能力。
重点 1.两边成比例且夹角相等的相似判定定理的理解与规范应用。 2.准确识别成比例两边及其夹角,完成相似判定与计算。
难点 定理证明中辅助线构造与比例转化,以及“夹角相等”条件的精准辨析。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.已学的两种相似三角形判定方法是什么？ 2.全等三角形中“两边一夹角”的判定定理是什么？ 探究问题 类比全等判定,猜想:两边成比例的两个三角形一定相似吗？需要附加什么角的条件才能确保相似？
新知讲解 究活动一:相似三角形的判定定理2 思考:如图1.4-9,已知,然后作一个,使(常数).与相似吗？为什么？ 从相似三角形的判定定理1的证明受到启发,如果能在中用平行于边的直线截得一个,使它与全等,则. 由此猜测:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 方法总结: 探究活动二:相似三角形的判定定理2的应用 例4:在与中,已知,如图所示.求证:. 例5:如图,在中,是边上的高,且.求证:. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.下列条件中可以判定△ABC∽△A'B'C'的是( ) A.= B.=,∠B=∠B' C.=,∠A=∠A' D.= 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,要使△ABC∽△BCD,需添加的条件是( ) A.BC=CD B.= C.= D.= 3.如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,请你添加一个条件使△ADE∽△ACB:　　. 4.如图,点D为△ABC边AB上一点,AD=2,BD=6,AC=4.求证:△ACD∽△ABC. 5.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,不能判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C.= D.= 6.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒,点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是( ) A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 7.如图,BD,CE是△ABC的高,图中与△ADE相似的三角形是　　. 8.已知,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D在边BC上,点E在边AC上,CE=1.6,BD=　　　时,则△ABD与△CDE相似. 9.在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P沿AC边从A向终点C以1cm/s的速度移动,同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,问点P,Q出发几秒后△PCQ与△ABC相似. 10.如图,P是正方形ABCD边BC上的一点,且BP=3PC,Q是CD的中点. (1)求证:△ADQ∽△QCP. (2)试问:AQ与PQ有什么关系
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.如图,在△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中,不能判定△APC和△ACB相似的条件是( ) A.∠ACP＝∠B B.∠APC＝∠ACB C.AC2＝AP·AB D.AB·CP＝AP·CB 2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,若AC2＝AD·AB,则( ) A.△ADC∽△CBD B.△BDC∽△BCA C.△ADC∽△ACB D.无法判断 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C＝∠F＝90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( ) A.∠A＝55°,∠D＝35° B.AC＝9,BC＝12,DF＝6,EF＝8 C.AC＝3,BC＝4,DF＝6,DE＝8 D.AB＝10,AC＝8,DE＝15,EF＝9 4.在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,如果AD＝2,DB＝1,AE＝4,EC＝2,那么的值为____. 5.一个直角三角形的两条边分别为4和8,另一个直角三角形的两条边分别为3和6,那么这两个直角三角形_______(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似. 6.已知:如图,在四边形ABCD中,∠B＝∠ACD,AB＝6,BC＝4,AC＝5,,则AD的长为____. 能力提升: 7.如图,∠1＝∠2,＝,求证:∠C＝∠D. 8.如图,已知AD·AC＝AB·AE,∠DAE＝∠BAC. 求证:∠DBA＝∠ECA. 9.如图,每个小网格均为正方形网格,带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是( ) 10.已知△ABC中,D,E分别在AB,AC上,下列条件中,能推断△ADE与△ABC相似的有( ) ①∠BDE＋∠C＝180°； ②AD·AB＝AE·AC； ③AD·BC＝AB·DE； ④∠A＝90°,且＝. A.1个B.2个C.3个D.4个 11.如图,△ABC中,∠B＝65°,AB＝3,BC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 12.如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝6,AC＝8,N是AC上的点,且AN＝AB,连接BN,作AD⊥BN于D,点M是BC上的动点,则当BM＝__________时,△BMD∽△BCN. 拓展迁移: 14.如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE交于点O,连接D,E. (1)依题意补全图形. (2)△OAB与△OED相似吗？说明理由. 15.如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在边BC上移动(点D不与点B,C重合),满足∠EDF＝∠B,且点E,F分别在边AB,AC上. (1)求证:△BDE∽△CFD. (2)连接EF,当点D移动到BC的中点时,求证:FD平分∠EFC.
参考答案：
复习回顾：1.平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。
2.SAS(两边及其夹角分别相等)。
3.不一定相似；需要附加“两边的夹角对应相等”这一条件。
探究一：
下面我们来证明上述猜测成立.
如图,在的边上取一点,使.
过点作,交于点.
因为,
所以,
从而.
又,,
因此.
于是.
又,
所以.
因此.
我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理2.
探究二：
例4：
证明:因为,
所以,
,
从而.
又,
因此(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
例5：证明:因为是边上的高,
所以.
又,
因此,
从而.
所以.
课堂练习：
1.C;2.C;3.∠ADE=∠C或∠AED=∠B或=;
4.证明:∵AD=2,BD=6,∴AB=8,
∴==,==,
∴=,
又∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.
5.D;6.A;
7.△ABC;
8.2或4或;
9.解:设点P,Q出发t秒后△PCQ与△ABC相似,则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,
∴要使△PCQ与△ABC相似,则有:
①=,∴=,解得:t=,
②=,∴=,解得:t=,
∴点P,Q出发秒或秒后△PCQ与△ABC相似.
10.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠C=∠D=90°;
又∵Q是CD中点,∴CQ=DQ=AD;
∵BP=3PC,∴CP=AD,
∴==,
又∵∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP;
(2)AQ=2PQ,且AQ⊥PQ.理由如下:
由(1)知,△ADQ∽△QCP,==,
则===,AQ=2PQ;
∵△ADQ∽△QCP,∴∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC,
∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°,∴AQ⊥QP.
课后提升：
1.D;2.C;3.C;4.2/3;5.不一定;6.25/4;
7.证明:∵∠1＝∠2,
∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE,
∴∠BAC＝∠EAD,∵＝,
∴△BAC∽△EAD,∴∠C＝∠D.
8.证明:∵AD·AC＝AB·AE,
∴＝,
∵∠DAE＝∠BAC,
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,
即∠DAB＝∠EAC,
∴△ADB∽△AEC,
∴∠DBA＝∠ECA.
9.B;10.C;11.C;12.5;
13.解析:(1)依题意补全图形如图所示:
(2)△OAB与△OED相似,理由如下:
∵AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,
∴∠ADC＝∠BEC＝90°,
∵∠C＝∠C,
∴△ADC∽△BEC,∴∠DAC＝∠EBC,
又∵∠BOD＝∠AOE,∴△BOD∽△AOE,
∴OB∶AO＝OD∶OE,
∵∠AOB＝∠EOD,
∴△AOB∽△EOD.
14.证明:(1)∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,
∵∠BED＝180°－∠B－∠BDE,
∠CDF＝180°－∠EDF－∠BDE,
∵∠EDF＝∠B,∴∠BED＝∠CDF,
∴△BDE∽△CFD.
(2)∵△BDE∽△CFD,∴＝,
∵点D是BC的中点,∴BD＝CD,
∴＝,
∵∠EDF＝∠C,∴△DEF∽△CDF,
∴∠DFE＝∠CFD,∴FD平分∠EFC.
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