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(共33张PPT)
课题名称：1.4相似三角形的判定第3课时
第一章 图形的相似
初中数学
学习目标
经历定理的猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、比例运算与几何语言表达能力。
02
理解并掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,能准确区分夹角与对角,规范书写推理过程。
01
能识别共角、双垂直、含高型等典型图形,运用定理解决判定、证明与计算问题。
03
完善相似三角形判定知识体系,体会类比与转化思想,增强几何综合解题能力。
04
复习回顾
1.已学的两种相似三角形判定方法是什么？
2.全等三角形中“两边一夹角”的判定定理是什么？
1.平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。
2.SAS(两边及其夹角分别相等)。
情景问题
不一定相似；需要附加“两边的夹角对应相等”这一条件。
探究问题:类比全等判定,猜想:两边成比例的两个三角形一定相似吗？需要附加什么角的条件才能确保相似？
探究新知
探究一：相似三角形的判定定理2
由此猜测:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
从相似三角形的判定定理1的证明受到启发,如果能在中用平行于边的直线截得一个,使它与全等,则.
思考:如图,已知,然后作一个,使(常数).与相似吗？为什么？
探究新知
探究一：相似三角形的判定定理2
*下面我们来证明上述猜测成立.
如图,在的边上取一点,使.
过点作,交于点.
因为,
所以,
从而.
探究新知
探究一：相似三角形的判定定理2
又,,
因此.
于是.
又,
所以.
因此.
我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理2.
探究新知
方法总结：
1.证明思路:构造平行线→得相似三角形→证全等→传递相似关系。
2.核心结论:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.关键辨析:必须是两组对应边的夹角相等,非对角不可用。
4.符号语言:.
探究新知
探究二：相似三角形的判定定理2的应用
证明:因为,
所以,,从而.
又,
因此(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
例4:在与中,已知,
,,如图所示.求证:.
探究新知
探究二：相似三角形的判定定理2的应用
证明:因为是边上的高,
所以.
又,
因此,
从而.
所以.
例5:如图,在中,是边上的高,且.
求证:.
探究新知
方法总结：
1.判定步骤:算比例→找夹角→判相等→证相似;
2.等角来源:公共角、直角、对顶角、平行线形成的等角;
3.解题流程:先证两边成比例,再证夹角相等,最后判定相似并利用性质计算;
4.易错警示:严禁使用“两边成比例+非夹角相等”判定相似.
课堂练习
1.下列条件中可以判定△ABC∽△A'B'C'的是( )
A. B., C., D.
2.如图,在中,,要使,需添加的条件是( )
A. B. C. D.
C
C
课堂练习
3.如图,中,分别是上的点,请你添加一个条件使:　 　.
或或
4.如图,点为边上一点,.
求证:.
课堂练习
证明:,,
,,
又,
.
4.如图,点为边上一点,.
求证:.
课堂练习
5.如图,已知,那么添加下列一个条件后,不能判定的是( )
A. B. C. D.
6.如图,在钝角三角形中,,动点从点出发到点止,动点从点出发到点止.点运动的速度为/秒,点运动的速度为/秒.如果两点同时运动,那么当以点为顶点的三角形与相似时,运动的时间是( )
A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒
D
A
课堂练习
7.如图,是的高,图中与相似的三角形是　 　.
8.已知,在中,,点在边上,点在边上,,=　 　　时,则与相似.
2或4或
△ABC
课堂练习
9.在中,,点沿边从向终点以的速度移动,同时点沿边从向终点以的速度移动,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,问点出发几秒后与相似.
课堂练习
解:设点出发秒后与相似,
则,
要使与相似,则有:
,,解得:,
,,解得:,
点出发秒或秒后与相似.
课堂练习
解:(1)四边形是正方形,
;
又是中点,;
,,
,
又,;
10.如图,是正方形边上的一点,且,是的中点.
(1)求证:.
(2)试问:与有什么关系
课堂练习
解:(2),且.理由如下:
由(1)知,,,
则,;
,,
,.
10.如图,是正方形边上的一点,且,是的中点.
(1)求证:.
(2)试问:与有什么关系
课堂小结
知识点：
1.相似判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2.条件要求:两组对应边成比例,且夹角对应相等。
3.符号书写:规范书写比例式与等角条件,注明判定依据。
4.等角常见类型:公共角、直角、对顶角、平行线产生的等角。
5.判定步骤:计算对应边比值→确定夹角→证明角相等→判定相似。
6.易错点:两边成比例但角不是夹角,不能判定相似。
7.应用方向:用于三角形相似判定、边长计算、角度推导、几何证明。
知识梳理
课后提升
1.如图,在中,为上一点,在下列四个条件中,不能判定和相似的条件是( )
A. B.
C. D.
2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,若AC2＝AD·AB,则( )
A.△ADC∽△CBD B.△BDC∽△BCA
C.△ADC∽△ACB D.无法判断
基础作业：
D
C
课后提升
3.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C＝∠F＝90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A.∠A＝55°,∠D＝35° B.AC＝9,BC＝12,DF＝6,EF＝8
C.AC＝3,BC＝4,DF＝6,DE＝8 D.AB＝10,AC＝8,DE＝15,EF＝9、
4.在中,分别是边上的点,如,,,,那么的值为____.
基础作业：
C
课后提升
基础作业：
5.一个直角三角形的两条边分别为4和8,另一个直角三角形的两条边分别为3和6,那么这两个直角三角形_______(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似.
6.已知:如图,在四边形中,,
,则的长为____.
不一定
课后提升
能力提升：
证明:,
,
,
,,
.
7.如图,,,求证:.
课后提升
能力提升：
证明:,
,
,
,
即,
,
.
8.如图,已知,.
求证:.
课后提升
提升作业：
9.如图,每个小网格均为正方形网格,带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是( )
10.已知△ABC中,D,E分别在AB,AC上,下列条件中,能推断△ADE与△ABC相似的有( )
；；
；,且.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
课后提升
11.如图,中,.将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
12.如图,在中,,是上的点,且,连接,作于,点是上的动点,则当__________时,.
提升作业：
C
5
课后提升
拓展作业：
解:(1)依题意补全图形如图所示:
13.如图,中,于点,于点,交于点,连接.(1)依题意补全图形.
(2)与相似吗？说明理由.
(2)与相似,理由如下:
于点,于点,,
,,,
又,,,
,.
课后提升
拓展作业：
证明:(1),,
,
,
,,
.
14.如图,在中,,点在边上移动(点不与点重合),满足,且点分别在边上.
(1)求证:.
(2)连接,当点移动到的中点时,求证:平分.
课后提升
拓展作业：
(2),,
点是的中点,,
,
,
,
,
平分.
Thanks!
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