资源简介

合肥一中 2025-2026 学年度第二学期期末教学质量监测
高一数学试题
（考试时长：120 分钟 满分：150 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1 ．已知平面向量 a (3， 2)，b (1，q 1)，若 a b，则 q （ ）
A 1 B 1． ． C 5 5． D．
2 3 3 2
2．设 z1 1 i， z2 1 i，则 i （ ）
A． z1 z2 B． z1 z2
C z z． 11z2 D． z2
3．已知圆锥的底面直径和母线均为 8，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．8π B．16π C． 32π D． 64π
4．已知 ， 为两个不同的平面，m， n为两条不同的直线，下列结论不．正．确．的是（ ）
A．若m / /n，m ，则 n B．若 ，m ，则m / /
C．若m ，m ，则 / / D．若m ，m ，则
5．有 4个分别标有数字 1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取 1个球．甲
表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 3”，丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是 4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 5”，则下列
选项正确的是（ ）
A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立
C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
6．在△ ABC中， sin A sin B sinC， BC 3，则△ ABC的面积为（ ）
A 3 9． B．3 C． D．6
2 2
第 1 页 共 4 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
7．已知样本数据 x1， x2， ， x9 的平均数为 9，方差为 12，现这组样本数据增加一个数据 x10，
此时新样本数据的平均数为 10，则新样本数据的方差为（ ）
A．17.8 B．18.8 C．19.8 D．20.8

8 a b c a b 0 a c 0 b c

．已知平面内三个不同的单位向量 ， ， ，满足 ， ， 0，则 | a b c |
可能的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．某城市连续 7天的最低温度（单位： C)为 3，5，2，0，5，7，6，则这组数据的（ ）
A．众数为 5 B．极差为 7
C．中位数为 6 D． 40%分位数为 3
10．设有下面四个命题，其中的真命题为（ ）
A．若复数 z R，则 z R
B 1．若复数 z满足 R ，则 z R
z
C．若复数 z a bi(a,b R)，则 z为纯虚数的充要条件是 a 0
D．若 (z z )21 2 (z2 z3)
2 0，则 z1 z2 z3
11．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，顶点 A在平面 内，其余顶点在 的同侧，顶点 A1，B，
C到 的距离分别为 6 ，1，2，则（ ）
A． BD / / 平面
B．平面 A1AC 平面
C．直线 AB1与 所成角比直线 AA1与 所成角大
D．正方体的棱长为 2 2
第 2 页 共 4 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分。
12．事件 A、 B相互独立， P(A) 0.6， P(B) 0.7，则 P(A B) ．
13．如图，为了测量两山顶M ，N间的距离，飞机沿水平方向在 A，B两点进行测量，A，B，
M ，N在同一铅垂平面内，飞机在 A点到M ，N点的俯角分别为 75 ，30 ，飞行 3 km后，
在 B点到M ， N点的俯角分别为 45 ， 60 ，则测得两山顶M ， N间距离为 km．
14．已知三棱锥 P ABC满足 PA AB，BC PC，AB BC，且 AB 1，BC 2，PA 5，
则异面直线 AC与 PB所成夹角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统，
更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题．为了测试答疑
系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了 50份不同的模
拟试卷，收集其准确率，整理得到其频率分布直方图．
（1）求图中 a的值及这组数据的中位数；
（2）若采用样本量比例分配的分层随机抽样从 [85，90)， [95，100)两组中抽取 5份，再
从这 5份中随机抽取 2份，求这 2份中至少有 1份的准确率在 [85， 90)的概率．
16．（15分）
如图，在平行四边形 ABCM 中，AB AC 3， ACM 90 ，以 AC为折痕将 ACM 折起，
使点M 到达点 D的位置，且 AB DA．
（1）证明：平面 ACD 平面 ABC；
（2）Q为线段 AD上一点，P为线段 BC上一点，
且 BP 2 DQ DA，求三棱锥Q ABP 的体积．
3
第 3 页 共 4 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
17．（15分）
同学甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试
共有 2道专业理论题与 2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）
均为 p (0 p 1)，每道岗位实践题的难度系数均为 q (0 q 1)，考生至少答对 3道题才能进入
1
面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为 ，笔试各题是否答对相互独立．
16
2
（1）当 p 时，求 q；
3
（2）求甲能够进入面试的概率 f ( p)的最小值及相应的 p值．
18．（17分）
在 ABC sin B sinC中，已知 tan A ．
cosB cosC
（1）求角 A；
（2）若 AB 2， BC 6 ，D为 BC上一点， AD为 BAC的平分线，求 AD．
（3）若 sin B psinC，试确定 p的取值范围，使 ABC 为锐角三角形．
19．（17分）
如图是一个正三棱柱（以 ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 DEF ．已知
AB 2， AD 3， BE 2，CF 1．M 是DF的中点．
（1）证明： EM / /平面 ABC；
（2）求平面 ABC与平面 DEF 所成角的正弦值；
（3）若点 P在线段 AD上，求三棱锥 P DEF 的外接球半径的最小值
及此时 P的位置．
第 4 页 共 4 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}合肥一中 2025-2026 学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试题
（参考答案与评分标准）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1

．已知平面向量 a (3， 2)，b (1，q 1)，若 a b，则 q
A 1 1 5 5． B． C． D．
2 3 3 2
【答案】A
2．设 z1 1 i， z2 1 i，则 i
A． z1 z2 B． z
z
1 z2 C． z z 11 2 D． z2
【答案】D
3．已知圆锥的底面直径和母线均为 8，则该圆锥的侧面积为
A．8π B．16π C． 32π D． 64π
【答案】C
4．已知 ， 为两个不同的平面，m， n为两条不同的直线，下列结论不．正．确．的是
A．若m / /n，m ，则 n B．若 ，m ，则m / /
C．若m ，m ，则 / / D．若m ，m ，则
【答案】B
5．有 4个分别标有数字 1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取 1个球．甲
表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 3”，丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是 4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 5”，则下列
选项正确的是
A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立
C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】D
第 1 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
6．在△ ABC中， sin A sin B sinC， BC 3，则△ ABC的面积为
A 3 B 3 C 9． ． ． D．6
2 2
【答案】C
【解析】根据 sin A sin B sinC，结合正弦定理得 a c sin B，
1 1 1 9
结合 BC a 3，可得△ ABC的面积 S acsin B a2 32 ．
2 2 2 2
7．已知样本数据 x1， x2， ， x9 的平均数为 9，方差为 12，现这组样本数据增加一个数据 x10，
此时新样本数据的平均数为 10，则新样本数据的方差为
A．17.8 B．18.8 C．19.8 D．20.8
【答案】C
【解析】设增加的数为 k，则 x1 x2 x9 81， x1 x2 x9 k 100，
9 9
所以 k 19 1，又因为 (x 9)2i 12，所以 (xi 9)2 108，9 i 1 i 1
1 9 1 9 9
所以新样本数据的方差= [ (x 10)2 (k 10)2i ] [ (xi 9)2 2 (x10 10 i 9) 9 81]i 1 i 1 i 1
1
(108 2 81 2 9 9 9 81) 19.8．
10
8

．已知平面内三个不同的单位向量 a，b，c，满足 a b 0，a c 0，b c 0，则 | a b c |
可能的取值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B

【解析】如图，设 A(1,0)，C(0,1)，因为 |OA | |OB | |OC | 1 ，a b 0
a

c 0 b c

， 0，所以可取 a OA，b OB c ， OC ，

由题意 B点在第四象限，故设 B(cos ,sin )， ( ,0)，
2

则 a b c (1 cos ,1 sin )，

所以 | a b c | (1 cos )2 (1 sin )2 3 2 2 sin( )，
4
( 因为 ,0) ，所以 ( , )，所以 sin( ) ( 2 , 2 )，
2 4 4 4 4 2 2
3 2 2 sin( ) (1,5) | a

所以 ，所以 b c | (1, 5) ．
4
第 2 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．某城市连续 7天的最低温度（单位： C)为 3，5，2，0，5，7，6，则这组数据的
A．众数为 5 B．极差为 7
C．中位数为 6 D． 40%分位数为 3
【答案】ABD
10．设有下面四个命题，其中的真命题为
A．若复数 z R，则 z R
1
B．若复数 z满足 R ，则 z R
z
C．若复数 z a bi(a,b R)，则 z为纯虚数的充要条件是 a 0
D．若 (z1 z )
2
2 (z2 z3)
2 0，则 z1 z2 z3
【答案】AB
11．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，顶点 A在平面 内，其余顶点在 的同侧，顶点 A1，B，
C 到 的距离分别为 6 ，1，2，则
A． BD / / 平面
B．平面 A1AC 平面
C．直线 AB1与 所成角比直线 AA1与 所成角大
D．正方体的棱长为 2 2
【答案】ABD
【解析】因为正方体 ABCD A1B1C1D1中，顶点 A在平面 内，其余顶点在 的同侧，
顶点 A1， B，C到 的距离分别为 6 ，1，2，
设 AC BD O，显然O是 AC、 BD的中点，又平面 ABCD A，
C到平面 的距离为 2，所以O到平面 的距离为 1，
又 B到平面 的距离为 1，且点 B，O在 的同侧，则 BO / / ，即 BD / / ，即 A正确；
设平面 ABCD l ，则 BD / /l，因为 ABCD是正方形，所以 AC BD，
第 3 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
又因为 AA1 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 AA1 BD，
因为 AA1 AC A， AA1， AC 平面 A1AC，所以 BD 平面 A1AC，则 l 平面 A1AC，
而 l ，所以平面 A1AC 平面 ，即 B正确；
设 B1到平面 的距离为 d，
因为平面 AA1B1B A， AA1B1B是正方形，点 A1， B到 的距离分别为 6,1，
d 6 1
所以有 ，得 d 6 1，
2 2
设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，
AB sin 6 1 6 1设直线 1与平面 所成角为 ，所以 ，AB1 2a
6 6
设直线 AA1与平面 所成角为 ，所以 sin ，AA1 a
6 1 6 因为 ，则得 sin sin ，因 0 , ，则得 ，故C错误；
2 2
因为平面 A1AC 平面 ，平面 A1AC 平面 A，
所以C， A1在平面 的射影 E， F 与 A共线，
显然CE 2,A1F 6,AC 2a,AA1 a,AA1 AC ，如图所示：
由 ECA CAE CAE A1AF ECA A1AF ，
cos ECA CE ,sin A AF A F 1 1 ，AC AA1
由 cos2 ECA sin2 A AF 1 4 61 2 2 1 a 2 2 （负值舍去），故 D正确．2a a
第 4 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分。
12．事件 A、 B相互独立， P(A) 0.6， P(B) 0.7，则 P(A B) ．
【答案】0.88．
13．如图，为了测量两山顶M ，N间的距离，飞机沿水平方向在 A，B两点进行测量，A，B，
M ，N在同一铅垂平面内，飞机在 A点到M ，N点的俯角分别为 75 ，30 ，飞行 3 km后，
在 B点到M ， N点的俯角分别为 45 ， 60 ，则测得两山顶M ， N间距离为 km．
【答案】 15．
【解析】由题意可得 MAB 75 ， NAB 30 ， MBA 45 ， NBA 180 60 120 ，
在 △ ABM 中 ， 已 知 MAB 75 ，
ABM 45 ， AMB 60 ，AB 3m，
AM AB
由正弦定理得 ，
sin ABM sin AMB
AM 3
即 ，可得 AM 6，
2 3
2 2
因为 NAB 30 ， ABN 120 ，则 ANB 30 ，所以 AB BN 3，
在△ ABN 中，由余弦定理得 AN 2 AB2 BN 2 2AB BN cos120 9 9 2 3 3 ( 1 ) 27，
2
所以 AN 3 3，
因为 MAB 75 ， NAB 30 ，故 MAN 45 ，
在△ AMN 中，由余弦定理得：
MN 2 AM 2 AN 2 2AM AN cos45 6 27 2 6 3 3 2 15 ，所以MN 15 ．
2
14．已知三棱锥 P ABC满足 PA AB，BC PC，AB BC，且 AB 1，BC 2，PA 5，
则异面直线 AC与 PB所成夹角的余弦值为 ．
2
【答案】 ．
6
【解析】因为三棱锥 P ABC满足 PA AB，BC PC，AB BC，且 AB 1，BC 2 ，PA 5，
所以可补形为长方体如下图所示：
第 5 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
作 AC / /BD，则 AC与 PB所成夹角即为 PBD或 PBD的补角，
在△ PBD中，易求 PB 6,BD 3,PD 7，
PB2 BD2 PD2 2
则 cos PBD ．
2PB BD 6
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的
问题．为了测试答疑系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了 50份不同的模拟试卷，收集其
准确率，整理得到其频率分布直方图．
（1）求图中 a的值及这组数据的中位数；
（2）若采用样本量比例分配的分层随机抽样从 [85，90)
[95，100)两组中抽取 5份，再从这 5份中随机抽取 2份，
求这 2份中至少有 1份的准确率在 [85， 90)的概率．
【答案】（1） a 0.08 7；中位数为 92.5；（2） ．
10
【解析】（1）5 (0.02 0.04 0.06 a) 1，解得 a 0.08；····························3分
设中位数为m%，前两个矩形的面积之和为 5 0.02 5 0.04 0.3，
前三个矩形的面积之和为 0.3 5 0.08 0.7，
所以m (90,95)，则 0.3 (m 90) 0.08 0.5 ，解得m 92.5，
所以估计准确率的中位数为 92.5(%)；··············································6分
（2）由（1）知，准确率在 [85，90)，[95，100)两组频率比为 2 : 3，
由比例分配的分层随机抽样方法，
分别从 [85， 90)， [95，100)两组的学生中抽取 2人，3人，·························8分
记 [85， 90)中抽取的 2 人为 a， b， [95，100)中抽取的 3人为 c， d， e，
第 6 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
设“这 2份中至少有 1份的准确率在 [85，90) ”为事件 A，
则 {(a,b)， (a,c)， (a,d )， (b,c)， (b,d )， (b,e)， (c,d )， (c,e)， (d ,e)}，
A {(a,b)， (a,c)， (a,d )， (a,e)， (b,c)， (b,d )， (b,e)}，
7
事件 A发生的概率为 P（A） ，
10
因这 2 7份中至少有 1份的准确率在 [85， 90)的概率为 ．·························13分
10
16．（15分）
如图，在平行四边形 ABCM 中，AB AC 3， ACM 90 ，以 AC为折痕将 ACM 折起，
使点M 到达点 D的位置，且 AB DA．
（1）证明：平面 ACD 平面 ABC；
（2）Q为线段 AD上一点，P为线段 BC上一点，
BP DQ 2且 DA，求三棱锥Q ABP 的体积．
3
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解析】（1）证明： 在平行四边形 ABCM 中， ACM 90 ， AB AC，
又 AB DA．且 AD AC A，
AB 面 ADC， AB 面 ABC，
平面 ACD 平面 ABC；························································6分
（2） AB AC 3， ACM 90 ， AD AM 3 2，
BP DQ 2 DA 2 2 ，
3
由（1）得 DC AB，又 DC CA， DC 面 ABC，
1 1
三棱锥Q ABP 的体积V S DC
3 ABP 3
1 2 S 1DC 1 2 1 1 ABC 3 3 3 1．·····································15分3 3 3 3 3 2 3
17．（15分）
同学甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试
共有 2道专业理论题与 2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）
均为 p (0 p 1)，每道岗位实践题的难度系数均为 q (0 q 1)，考生至少答对 3道题才能进入
第 7 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
1
面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为 ，笔试各题是否答对相互独立．
16
1 p 2（ ）当 时，求 q；
3
（2）求甲能够进入面试的概率 f ( p)的最小值及相应的 p值．
3 5 1
【答案】（1） q ；（2） f (p)的最小值为 ，相应的 p值为 ．
8 16 2
【解析】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
1 1
甲笔试满分的概率为 p2q2 ，则 pq ，
16 4
p 2 1 3 3又 ， q ．·······················································5分
3 4 2 8
（2）由题意，甲至少答对 3道题才能够进入面试，
甲能够进入面试的概率为： f (p) 2p(1 p)q2 2q(1 q)p2 p2q2，
pq 1 1 1 1 1 1 ，则 q ，则 f ( p) 2 p(1 p) 2 2 (1 ) p
2 p2 2 ，4 4p 16 p 4 p 4 p 16 p
整理得 f ( p) 1 p 3 ，·····················································10分
8p 2 16
0 p 1， 0 q 1，
f ( p) 1 p 3 2 1 p 3 1 3 5 1 p 1 ，当且仅当 ，即 p 时，等号成立，
8p 2 16 8p 2 16 2 16 16 8p 2 2
5 1
甲能够进入面试的概率 f (p)的最小值为 ，相应的 p值为 ．····················15分
16 2
18．（17分）
sin B sinC
在 ABC中，已知 tan A ．
cosB cosC
（1）求角 A；
（2）若 AB 2， BC 6 ，D为 BC上一点， AD为 BAC的平分线，求 AD．
（3）若 sin B psinC，试确定 p的取值范围，使 ABC 为锐角三角形．
【答案】（1） A ；（2） AD 2 1 ；（3） ( ,2)．
3 2
sinC sin B
【解析】（1）因为 tan A ，所以 sin AcosC sin AcosB cos AsinC cos Asin B，
cosC cosB
即 sin(A C) sin(B A) ，所以 A C B A或 (A C) (B A) （舍去），
所以 A C B A，结合 A B C ，得 A ．································5分
3
第 8 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
（2）如图， 在 ABC中， AB 2， BAC 60 ,BC 6，
BC AB
由正弦定理可得 ，
sin BAC sin ACB
3
sin ACB AB sin BAC
2 2
2 ，又 BAC 60 ，
BC 6 2
ACB 45 ， ABC 180 45 60 75 ，
又 AD为 BAC的平分线，且 BAC 60 ，
BAD 30 ，又 ABC 75 ， ADB 75 ，
AD AB 2．·····························································11分
（3） sin B psinC sin B sin(120 C) 3 1， p ，
sinC sinC 2 tanC 2
ABC A 3为锐角三角形， ， C ， tanC ，
3 6 2 3
1 1
p 2，即 p的范围为 ( ,2)·············································17分
2 2
（此题也可转化为边长之比，用余弦定理限定锐角三角形，求其范围）
19．（17分）
如图是一个正三棱柱（以 ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 DEF ．已知
AB 2， AD 3， BE 2，CF 1．M 是DF的中点．
（1）证明： EM / /平面 ABC；
（2）求平面 ABC与平面 DEF 所成角的正弦值；
（3）若点 P在线段 AD上，求三棱锥 P DEF的外接球半径的最小值
及此时 P的位置．
【答案】（1 2 5 3）证明见解析；（2） ；（3） ，此时 P为线段 AD上靠近
2 6
A的三等分点．
【解析】解：（1）证明：延长 AB，DE交于点H ，延长 AC，DF交于点G连接GH ，
因为 AD 平面 ABC， BE 平面 ABC，
所以 AD / /BE HE BE 2，△HBE ~ △HAD，所以 ，
HD AD 3
即 E是线段HD上靠近 D的三等分点，又因为CF 平面 ABC，
所以 AD / /CF，△GCF ~△GAD，
第 9 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
GF CF 1
可得 ，即 F 是线段GD上靠近G的三等分点，
GD AD 3
DM DE 1
因为M 为DF中点，可得M 是线段GD上靠近 D的三等分点，所以 ，
DG DH 3
所以△DEM ~△DHG，即 EM / /HG，
又因为 EM 平面 ABC，HG 平面 ABC，
所以 EM / /平面 ABC；··························································5分
（2 ）在直角梯形 FCBE中，CF 1， BC 2， BE 2， FCB EBC ，
2
可得 EF BC2 (BE CF)2 22 (2 1)2 5，
同理可得 ED 5 ，即△DEF 为等腰三角形，
又因为M 为DF中点，所以 EM DF ，即 HG DG，
在平面 ABC中， AB AC BC 2，CG 1，HB 4，
可得 AH 6 2AG， A ，所以 HG AG，
3
又因为平面 ABC与平面DEF HG，
所以 DGA是平面 ABC与平面 DEF 的夹角的平面角，
因为 AG AD 3 AD AG DGA ， ，所以 ，
4
2
即平面 ABC与平面 DEF 的夹角的正弦值为 ；···································11分
2
（3） HG AG，HG DG， AG DG G， AG，DG 平面 ACFD，
所以 HG 平面 ACFD，
因为 EM / /HG，所以 EM 平面 ACFD，
因为 EM 平面 DEF ，所以平面DEF 平面 ACFD，
在三棱锥 P DEF中，设△ DEF 的外心为O1，
△ PDF 的外心为O2 ，
过点O1作直线 l1 平面 DEF ，
过点O2 作直线 l2 平面 ACFD， l1 ， l2 交于点O，
此时，OE OD OF OP，
即三棱锥 P DEF的外接球球心为O，
第 10 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}
在△ DEF 中， ED EF 5， EM 3，DF 2 2，
设△ DEF 外接圆半径为 r ，则 ( 3 r)2 ( 2)2 r 2 ，
r 5 3 3解得 ，所以MO1 ，6 6
3
在平面O1MO2 中，四边形MO1OO2为矩形，即MO1 OO2 ，6
在△ PDF 中， FDP ，设△ PDF 外接圆半径为 R，
4
由正弦定理得， 2R FP 2 ，即 R FP，
sin 2
4
OP2 OO2 R2 1 1又因为 2 FP
2 ，
12 2
所以要让三棱锥 P DEF的外接球半径OP最小，即只要让 FP最小，
因为 P在 AD上动， FPmin FD sin FDP 2，
所以OP 5 3min ，6
即三棱锥 P DEF 5 3的外接球半径的最小值为 ，
6
因为 FP AC 2，CF / /AP，所以四边形 ACFP是平行四边形，
所以 AP CF 1，此时 P为线段 AD上靠近 A的三等分点．·························17分
第 11 页 共 11 页
{#{QQABCQAQogCIABJAAQhCUQECCgMYkgAAACoOxEAcoAABQQFABAA=}#}

展开更多......

收起↑