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25.2.2 公式法
一、学习目标
1. 知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程。
2. 能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程。
二、知识梳理
1. 求根公式推导
对于一元二次方程的一般形式：
经过配方等变形，可得求根公式：
这个公式叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2. 根的判别式
把叫做一元二次方程根的判别式，用希腊字母 Δ 表示，即：
3. Δ 的三种情况
Δ 的取值 根的情况
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0 无实数根
4. 公式法解方程步骤
① 化 化：将方程化为一般形式 ax +bx+c=0 (a≠0)，确定 a, b, c
② 求 求：求 Δ=b -4ac 的值
③ 判 判：Δ≥0 则代入公式；Δ<0 则方程无实数根
④ 代 代：代入求根公式，写出方程的根
⑤ 易错提示 用公式法前必须先将方程化为一般形式！
三、课堂练习
一、选择题
1. 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0) 有两个不相等的实数根，则 b -4ac 满足的条件是（ ）
A. b -4ac=0 B. b -4ac>0 C. b -4ac<0 D. b -4ac≥0








2. 已知一元二次方程：① x +2x+3=0，② x -2x-3=0。下列说法正确的是（ ）
A. ①②都有实数解 B. ①无实数解，②有实数解 C. ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解








二、解方程（选自教材第12页练习）
(1) x +x-6=0










(2) 3x -6x+4=0










(3) 2x -3x=0










(4) x +4x+8=4x+11










(5) x(2x-4)=5-8x












三、拓展提高
已知 a, b, c 为△ABC 的三边长，且关于 x 的方程 (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。












四、参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：
一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根，则根的判别式：
故选 B。
2.
答案：B
解析：
对于①：
，无实数根
对于②：
，有实数根
所以①无实数解，②有实数解。故选 B。
二、解方程
(1) x +x-6=0
解：
a=1，b=1，c=-6
方程有两个不相等的实数根。
所以
(2) 3x -6x+4=0
解：
a=3，b=-6，c=4
因为 Δ<0，所以方程无实数根。
(3) 2x -3x=0
解：
a=2，b=-3，c=0
方程有两个不相等的实数根。
所以
(4) x +4x+8=4x+11
解：
先将方程化为一般形式：
a=1，b=0，c=-3
方程有两个不相等的实数根。
所以
(5) x(2x-4)=5-8x
解：
先将方程化为一般形式：
a=2，b=4，c=-5
方程有两个不相等的实数根。
所以
三、拓展提高
解：
将方程展开并整理：
(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0
因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0：
两边乘以2：
因为平方项非负，所以：
即a = b = c
因此△ABC 为等边三角形。

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