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25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、学习目标
1. 探索并理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），体会数学发现的过程。
2. 能不解方程，利用根与系数的关系求两根之和与积，并能进行代数式变形求值。
二、知识梳理
1. 韦达定理
定理名称 公式
韦达定理
前提条件 a≠0, Δ=b -4ac≥0, 先化为一般形式 ax +bx+c=0
2. 代数式常见变形
变形公式
3. 注意事项
(1) 方程必须是一元二次方程，即二次项系数 a≠0。
(2) 方程必须有实数根，即判别式 Δ=b -4ac≥0。
(3) 使用前必须将方程化为一般形式 ax +bx+c=0，确定 a、b、c 的值。
三、课堂练习
一、例5 —— 根据根与系数的关系，求下列方程两根之和与积
1. x - 6x - 15 = 0






2. 3x + 7x - 9 = 0






3. 5x - 1 = 4x








二、牛刀小试 —— 代数式变形求值
设 x 、x 是方程 2x +4x-3=0 的两个根，求下列各式的值：
1. x x + x x








2. (x - x )








三、随堂练习 —— 已知一根求另一根及系数
已知方程 5x +kx-6=0 的一个根是 2，则另一根是______，k=______。












四、教材练习 —— 不解方程求两根和与积
不解方程，求下列方程两个根 x 、x 的和与积：
1. x - 3x = 15








2. 3x + 2 = 1 - 4x








3. 5x - 1 = 4x - x








4. 2x - x + 2 = 3x + 1








五、练习 —— 利用根与系数关系求代数式的值
已知 x +x =-2，x x =-100，求下列各式的值：
1. x + x








2. (x - 3)(x - 3)








六、练习 —— 含参数的韦达定理应用
已知关于 x 的方程 x -(2m+3)x+m =0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值。














四、参考答案
一、例5 —— 根据根与系数的关系求两根之和与积
1. x - 6x - 15 = 0
解：a=1，b=-6，c=-15
2. 3x + 7x - 9 = 0
解：a=3，b=7，c=-9
3. 5x - 1 = 4x
解：化为一般式，得 4x -5x+1=0
a=4，b=-5，c=1
二、牛刀小试 —— 代数式变形求值
设 x 、x 是方程 2x +4x-3=0 的两个根
解：由韦达定理：
1. x x + x x
解：利用变形公式：
所以 x x + x x = 3
2. (x - x )
解：利用变形公式：
= 4 + 6 = 10
所以 (x - x ) = 10
三、随堂练习 —— 已知一根求另一根及系数
已知方程 5x +kx-6=0 的一个根是 2
解：设另一根为 x ，由韦达定理：
由两根之积：
代入两根之和：
k = -7
四、教材练习 —— 不解方程求两根和与积
1. x - 3x = 15
解：化为一般式，得 x -3x-15=0
a=1，b=-3，c=-15
2. 3x + 2 = 1 - 4x
解：移项，得 3x +4x+1=0
a=3，b=4，c=1
3. 5x - 1 = 4x - x
解：移项合并，得 x +x-1=0
a=1，b=1，c=-1
4. 2x - x + 2 = 3x + 1
解：移项，得 2x -4x+1=0
a=2，b=-4，c=1
五、练习 —— 利用根与系数关系求代数式的值
已知 x +x =-2，x x =-100
1. x + x
解：利用变形公式：
= 4 + 200 = 204
所以 x + x = 204
2. (x - 3)(x - 3)
解：展开得：
= -100 + 6 + 9 = -85
所以 (x -3)(x -3) = -85
六、练习 —— 含参数的韦达定理应用
已知关于 x 的方程 x -(2m+3)x+m =0 的两根之和等于两根之积
解：设方程的两根为 x 、x ，由韦达定理：
根据题意，两根之和等于两根之积：
(m - 3)(m + 1) = 0
检验判别式：
所以 m 的值为 3。

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