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25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）
数字问题与几何图形问题
一、学习目标
1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤，能正确分析数字问题中的数量关系。
2. 能利用规则图形的面积、周长公式建立一元二次方程模型，解决几何图形问题。
3. 灵活选择设元方式，能利用平方差公式等技巧简化运算，并验证解的合理性。
二、知识梳理
1. 列方程解应用题的一般步骤
步骤 内容
审 审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系
设 设未知数（直接设元或间接设元）
列 根据等量关系列出方程
解 解方程
验 检验解在实际问题中是否有意义
答 写出实际问题的答案
2. 数字问题要点
要点 说明
表示方法 用代数式表示出各个数位上的数字：如两位数可表示为10a+b（a为十位数字，b为个位数字）
设元技巧 通常采用间接设元法，设某个数位上的数字为未知数，再用含未知数的式子表示其他数位
等量关系 根据题目中的数量关系（和、差、积、商等）列方程
3. 几何图形问题要点
要点 说明
面积/周长 利用规则图形的面积公式、周长公式等建立方程进行计算
设元技巧 根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧（如利用"和为定值"间接设元）
解的检验 必须验证解的合理性（如边长不能为负、不能超过实际约束条件等）
4. 设法技巧比较（以围矩形问题为例）
设法方式 设未知数 特点
直接设法 直接利用面积关系，步骤直观，但需解一般二次方程
间接设法 利用平方差公式，方程极简，计算量小，快速得结果
三、课堂练习
一、例1（数字问题）
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？










二、牛刀小试1（两位数问题）
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。












三、例2（几何图形问题 —— 围矩形）
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？












四、另法探究 —— 设法技巧比较
设矩形一边长为(10+x) m，则邻边长为(10-x) m。由面积关系得方程(10+x)(10-x)=96。
请用此方法解例2，并比较两种设法各自的特点。








五、牛刀小试2（围墙问题）
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m 时，求AB的长。
矩形花园ABCD示意图














六、随堂练习1（围矩形问题）
怎样用一根长为40 m的细绳围成一个面积为75 m 的矩形区域？能围成一个面积为101 m 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由。














七、随堂练习2（矩形中的直角点）
如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角。
矩形ABCD及点E示意图














八、随堂练习3（壮锦挂画镶边问题）
广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章。现需将长为3 m、宽为2 m的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画。设边饰的宽度为x m。
壮锦挂画镶边示意图
(1) 请用含x的式子分别表示挂画的长和宽；




(2) 若整幅挂画的面积是12 m ，求锦缎边饰的宽度。










九、随堂练习4（道路问题）
如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m ，求道路的宽。
矩形地面道路示意图












十、随堂练习5（动点问题）
如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动。当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止。P，Q两点出发几秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm？














四、参考答案
一、例1（数字问题 —— 三连续正整数直角三角形）
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数。
由勾股定理，得：
(x-3)(x+1) = 0
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5。
二、牛刀小试1（两位数问题）
解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为5-x。
原两位数为：10x+(5-x)=9x+5
新两位数为：10(5-x)+x=50-10x+x=50-9x
依题意，得：
(9x+5)(50-9x) = 736
(x-2)(x-3) = 0
当x=2时，5-x=3，原来的两位数是23；
当x=3时，5-x=2，原来的两位数是32。
所以原来的两位数是23或32。
三、例2（几何图形问题 —— 围矩形）
解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x) m。
由矩形的面积为96 m ，得：
x(20-x) = 96
(x-8)(x-12) = 0
当x=8时，邻边长为20-8=12 (m)；当x=12时，邻边长为20-12=8 (m)。
因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m和12 m。
四、另法探究 —— 设法技巧比较
解：设矩形一边长为(10+x) m，则邻边长为(10-x) m。
由矩形的面积为96 m ，得：
(10+x)(10-x) = 96
当x=2时，边长为10+2=12 (m)，10-2=8 (m)；
当x=-2时，边长为10-2=8 (m)，10+2=12 (m)。
两种设法结果相同，矩形唯一。
【设法特点比较】
直接设法：直接利用面积关系表示邻边，方程需化为一元二次方程的一般形式求解，步骤稍多。
间接设法：利用"两邻边之和为定值20"设未知数，直接用平方差公式，方程极为简洁，计算量小，能快速得到结果。
五、牛刀小试2（围墙问题）
解：设AB长为x m，则BC长为(50-2x) m。
根据题意，得：
x(50-2x) = 300
(x-10)(x-15) = 0
当x=10时，AD=BC=50-2x=30>25，不合题意，所以x=10应该舍去。
当x=15时，AD=BC=50-2x=20<25，所以x=15满足条件。
答：AB的长为15 m。
六、随堂练习1（围矩形问题）
解：设矩形的长为x m，宽为(20-x) m。
(1) 当矩形面积为75 m 时：
x(20-x) = 75
(x-5)(x-15) = 0
当x=15时，宽为20-15=5 (m)；当x=5时，宽为20-5=15 (m)，此时长<宽，不合题意。
所以，矩形的长为15 m，宽为5 m时，面积为75 m 。
(2) 当矩形面积为101 m 时：
x(20-x) = 101
因为此方程无实数根，所以不能围成面积为101 m 的矩形区域。
七、随堂练习2（矩形中的直角点）
解：设AE=x，则BE=4-x。
若∠DEC为直角，由勾股定理得：
在Rt△ADE中：
在Rt△BCE中：
代入：
因为0≤x≤4，所以两个解均在范围内。
因此，AB上存在两个点E，使得∠DEC为直角，
八、随堂练习3（壮锦挂画镶边问题）
(1) 由图可知挂画的长为(3+2x) m，宽为(2+2x) m。
(2) 由题意，得：
(3+2x)(2+2x) = 12
(2x-1)(x+3) = 0
答：锦缎边饰的宽度为0.5 m。
九、随堂练习4（道路问题）
解：设道路的宽为x m。
由题意，得：
(20-x)(32-x) = 540
(x-2)(x-50) = 0
答：道路的宽为2 m。
十、随堂练习5（动点问题）
解：设出发t秒后，点P和点Q之间的距离是10 cm。
则AP=3t cm，CQ=2t cm。
过点P作PE⊥CD于E，则PE=AD=6 cm，
QE=|CD-CQ-AP|=|16-2t-3t|=|16-5t| (cm)。
在Rt△PQE中，由勾股定理：
点P从A移动到B所需时间为16÷3≈5.33 (s)，
当t=1.6时，AP=4.8<16，CQ=3.2<16，均在范围内；
当t=4.8时，AP=14.4<16，CQ=9.6<16，均在范围内。
答：P，Q两点出发1.6秒或4.8秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm。

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