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学案：25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）
传播问题与平均变化率问题
一、学习目标
1. 能分析传播问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，区分传染病传播与树干分支两类传播模型。
2. 掌握平均增长（下降）率问题的等量关系，能正确列出方程并求解，理解增长率与下降额的区别。
3. 能灵活运用一元二次方程解决实际生活中的传播、增长率与下降率问题，并验证解的合理性。
二、知识梳理
1. 列方程解应用题的一般步骤
步骤 内容
审 审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系
设 设未知数（直接设元或间接设元）
列 根据等量关系列出方程
解 解方程
验 检验解在实际问题中是否有意义
答 写出实际问题的答案
2. 传播问题公式表
【类型一】传染病传播型（第一轮传播源也参与第二轮传播）
要素 内容 公式
等量关系 传染源数量 + 第1轮新增 + 第2轮新增 + ... + 第n轮新增 = 第n轮传染后的总数
参数说明 a：初始传染源数量；x：每轮平均每个传染源传染的人数；n：传播轮数；b：第n轮传染后的总人数
典型例题 1人开始，每轮传染x人，两轮后共121人；3人开始，两轮后共1200人
【类型二】树干分支型（第二轮主干不再分支，只有支干继续分支）
要素 内容 公式
等量关系 主干数 + 支干数 + 小分支数 + ... = 总分支数。第二轮只有第一轮长出的支干继续分支，主干不再分支
参数说明 1：主干；x：每个支干长出的小分支数；n：分支次数；b：主干、支干和小分支的总数
典型例题 主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数为91
3. 平均变化率公式表
类型 公式 说明
平均增长率 a为基数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量
平均下降率 a为基数，x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量
统一公式 增长取"+"，下降取"–"；x为平均变化率，0 < x < 1
4. 两类传播问题对比表
对比项目 传染病传播型 树干分支型
公式
第二轮传播特点 第一轮被传染者也参与第二轮传播（所有人均传播） 主干在第二轮不再分支，只有第一轮长出的支干继续分支
两轮后公式
5. 下降额与下降率对比表
对比项目 下降额 下降率
含义 下降的绝对数量（成本减少的金额） 下降的相对比例（下降的成本与前一年成本的比值）
关系 下降额较大的产品，其下降率不一定较大 下降率 = 下降额 / 下降前成本，需兼顾两者全面比较
三、课堂练习
一、探究1（传染病传播问题）
某种传染病的传染速度很快。如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
传染病传播过程示意图
第一轮传染示意图
第二轮传染示意图










思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？经过n轮传染后呢？






二、变式1（传播源为3人）
某种传染病的传染速度很快。如果开始有3个人被传染，经过两轮传染后共有1200个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
传播源为3人的传播过程示意图
第一轮传染示意图
第二轮传染示意图










三、变式2（树干分支问题）
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支。如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？










四、探究2（成本下降率问题）
两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元。随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大？
甲、乙两种食品成本对比示意图
甲种食品成本下降率计算示意图
乙种食品成本下降率计算示意图












请分别计算甲、乙两种食品成本的年平均下降率，并比较。








成本下降额与下降率对比思考图
思考：成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？




五、变式3（水稻产量增长率）
青山村所种水稻某年平均每公顷产15000 kg，两年后平均每公顷产18000 kg。求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）。










六、随堂练习1（农作物感染问题）
一农户家的田地中有3株农作物感染了病虫害，经过两轮传染后共有192株农作物感染病虫害。每轮传染中平均一株农作物传染了多少株农作物？










七、随堂练习2（短信转发问题）
有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，则每轮转发中平均一个人转发给几个人？










八、随堂练习3（芯片产量增长率）
某市政府通过招商引进优势产业来发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个。求前三季度生产量的平均增长率。










四、参考答案
一、探究1（传染病传播问题）
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
第一轮传染后共有(1+x)个人被传染，第二轮传染中这(1+x)个人每人又传染了x个人，
第二轮新增传染人数为x(1+x)人。
依题意，得：
1 + x + x(1+x) = 121
(x+12)(x-10) = 0
因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人。
三轮传染后总人数：
n轮传染后总人数：
二、变式1（传播源为3人）
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
依题意，得：
答：每轮传染中平均1个人传染了19个人。
三、变式2（树干分支问题）
解：设这种植物每个支干长出x个小分支。
主干数为1，支干数为x，小分支数为x 。
根据题意，得：
(x+10)(x-9) = 0
答：每个支干长出9个小分支。
说明：树干分支问题中，第二轮主干不再分支，只有第一轮长出的支干进行分支，此时第二轮有x 个小分支，总数为主干、支干和小分支之和：1+x+x 。这与传染病传播问题（所有人在每一轮都传播）不同，传染病传播两轮后结果为(1+x) 。
四、探究2（成本下降率问题）
解：(1) 设甲种食品成本的年平均下降率为x。
依题意，得：
根据问题的实际意义，下降率不能为负且不大于1，
所以甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%。
(2) 设乙种食品成本的年平均下降率为y。
依题意，得：
根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%。
(3) 比较与思考：
两种食品成本的年平均下降率相等，均为22.5%。甲种食品成本下降额为10000-6000=4000（元），乙种食品成本下降额为12000-7200=4800（元）。虽然乙种食品的成本下降额更大，但两种食品的下降率相同。
结论：成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
五、变式3（水稻产量增长率）
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x。
根据题意，得：
水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.5%，即约10%。
答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%。
六、随堂练习1（农作物感染问题）
解：设每轮传染中平均一株农作物传染了x株农作物。
依题意，得：
答：每轮传染中平均一株农作物传染了7株农作物。
七、随堂练习2（短信转发问题）
解：设每轮转发中平均一个人转发给x个人。
注意：短信转发问题中，每人只转发一次，因此第二轮中最初收到短信的人不再转发，只有第一轮收到短信的x个人继续转发。这与树干分支模型一致。
依题意，得：
(x+12)(x-11) = 0
答：每轮转发中平均一个人转发给11个人。
八、随堂练习3（芯片产量增长率）
解：设前三季度生产量的平均增长率为x。
由题意，得：
答：前三季度生产量的平均增长率为20%。

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