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25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）
循环问题与销售问题
一、学习目标
1. 掌握循环问题（单循环、双循环、多边形对角线）的等量关系，能正确建立一元二次方程模型并求解。
2. 掌握销售问题中利润与售价、销售量之间的数量关系，能列出方程并检验解的合理性。
二、知识梳理
1. 循环问题
循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下：
类型 特征 公式 常见场景
单循环 记数不重复（每两队之间只算1次） 比赛（每两队赛1场）、握手、两点连线
双循环 记数重复（每两队之间算2次） 主客场比赛、互赠礼物
多边形对角线 每个顶点引出(n-3)条对角线，每条对角线被计算了2次 凸多边形对角线条数
直线上点连线 每两点确定一条直线，属于单循环 平面上n个点（无三点共线）确定直线条数
2. 销售问题
销售问题中的核心数量关系：
要素 公式 说明
总利润 核心公式，所有销售问题的基础
单件利润 降价后单件利润 = 原单件利润 - 降价金额
降价模型 设降价x元 单件利润 = (原利润 - x)，销售量 = (原销量 + kx)，k为每降1元多卖的件数
检验约束 注意检验解的合理性，如"每件盈利不少于25元"、"售价不低于成本价且不超过上限"等约束条件
三、课堂练习
随堂练习1（互赠标本问题）
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名学生？










随堂练习2（平面上点连线问题）
已知平面上有n个点，其中任意3个点都不在一条直线上。小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有多少个点？










随堂练习3（多边形对角线问题）
一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由。












随堂练习4（销售利润问题）
某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值如下表：
售价与销售量对应表
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当售价定为每个多少元时，每天的利润可达到6000元？







四、参考答案
随堂练习1（互赠标本问题）
解：设全组共有n名学生，每人向其余(n-1)人各赠送一件，属于双循环问题。
依题意，得：
n(n-1) = 182
(n-14)(n+13) = 0
答：全组共有14名学生。
说明：互赠问题属于双循环问题，n个人互赠礼物的总件数为n(n-1)，因为每两人之间互赠2次（我送你一件，你送我一件）。
随堂练习2（平面上点连线问题）
解：每两点确定一条直线，属于单循环问题。
设平面上共有n个点，依题意，得：
n(n-1) = 342
(n-19)(n+18) = 0
答：该平面上共有19个点。
说明：n个点（无三点共线）可确定n(n-1)/2条直线，这是单循环问题，因为每两点之间只画一条直线，不重复计数。
随堂练习3（多边形对角线问题）
解：(1) 设这个凸多边形是n边形，则对角线条数为：
n(n-3) = 40
(n-8)(n+5) = 0
所以这个凸多边形是八边形。
(2) 假设存在有18条对角线的多边形，设其边数为n，则：
n(n-3) = 36
用求根公式：
由于153不是完全平方数，所以n不是整数，而多边形的边数必须是正整数。
因此，不存在有18条对角线的多边形。
随堂练习4（销售利润问题）
解：(1) 观察表格数据可知，售价x每增加5元，销售量y减少100个，即y与x成一次函数关系。
设y关于x的函数解析式为y = kx + b。
将x=50, y=800和x=55, y=700代入，得：
800 = 50k + b
700 = 55k + b
两式相减，得：
-100 = 5k
k = -20
代入第一式：
800 = -1000 + b
b = 1800
所以y关于x的函数解析式为y = -20x + 1800。
由题意，售价不低于成本价且不超过75元，
所以自变量x的取值范围为50 ≤ x ≤ 75。
(2) 单件利润为(x - 50)元，每天销售量为(-20x + 1800)个。
依题意，得：
(x - 50)(-20x + 1800) = 6000
整理得：
(x - 60)(x - 80) = 0
因为售价x的取值范围为50 ≤ x ≤ 75，所以x = 80不符合题意，应舍去。
答：当售价定为每个60元时，每天的利润可达到6000元。

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