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学案：26.1 二次函数的概念
人教版九年级上册 第二十六章 二次函数
一、学习目标
1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，能准确识别二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。
二、知识梳理
一、二次函数的定义
项目 内容
一般形式
条件1 函数解析式是整式
条件2 自变量的最高次数是2
条件3
特殊形式1
特殊形式2
特殊形式3
二、判断二次函数的方法
步骤 方法
第1步 先化简整理函数解析式，化为最简形式
第2步 检查解析式是否为整式（分母中不含自变量，根号下不含自变量）
第3步 检查自变量最高次数是否为2
第4步
三、列二次函数解析式的一般步骤
1. 审题，找出变量之间的数量关系。
2. 设自变量，用含自变量的代数式表示其他相关量。
3. 根据等量关系列出函数解析式。
4. 化简整理成一般形式。
5. 确定自变量的取值范围。
三、课堂练习
练习1（教材P31第1题）
指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
（2）
（3）










练习2（教材P31第2题）
矩形绿地扩充示意图
一块矩形绿地，长为30 m，宽为20 m。现在将它的长和宽各增加x m，写出扩充后的绿地面积y（单位：m ）与x之间的函数关系式。










练习3（教材P31第3题）
请结合生活实际，提出一个可以用二次函数描述的问题，并写出其函数关系式。










练习4（商品降价问题）
某种商品的原价为2元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，均为x。写出两次降价后该商品的价格y（元）与x之间的函数关系式。










练习5（正方形挖去问题）
一个边长为10 cm的正方形，从中挖去一个边长为x cm的小正方形。写出挖去后剩余部分的面积y（单位：cm ）与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。










练习6（动点面积问题）
如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 12，BC = 24。动点P从点A开始沿AB边以每秒2个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BC边以每秒4个单位长度的速度向点C移动。如果P、Q两点同时出发，写出△PBQ的面积S与运动时间t（秒）之间的函数关系式及t的取值范围。


四、参考答案
练习1 答案
解：
（1）
二次项系数 a = 8，一次项系数 b = -16，常数项 c = 8。
（2）
二次项系数 a = 1，一次项系数 b = 0，常数项 c = 0。
（3）
整理得：
二次项系数 a = 2，一次项系数 b = -4，常数项 c = -3。
练习2 答案
解：扩充后绿地长为(30 + x) m，宽为(20 + x) m。
依题意，扩充后的绿地面积为：
y = (30 + x)(20 + x)
答：y与x之间的函数关系式为 y = x + 50x + 600，这是一个二次函数。
练习3 答案
（本题为开放性问题，以下为示例答案）
示例：小明家有一块正方形菜地，边长为x米，写出这块菜地的面积y（平方米）与边长x之间的函数关系式。
解：正方形面积公式为：
答：菜地面积y与边长x的函数关系式为 y = x ，这是一个二次函数。
（说明：只要提出的问题中两个变量之间的关系满足二次函数定义，且能正确写出函数关系式即可。）
练习4 答案
解：原价为2元，每次降价百分率为x。
第一次降价后价格为：
2(1 - x)
第二次降价后价格为：
展开得：
答：两次降价后价格y与降价百分率x的函数关系式为 y = 2x - 4x + 2。
练习5 答案
解：原来正方形面积为：
挖去的小正方形面积为：
挖去后剩余部分的面积为：
即：
自变量x的取值范围：因为挖去的小正方形边长不能超过原正方形边长，
答：y与x的函数关系式为 y = -x + 100，自变量x的取值范围为 0 ≤ x ≤ 10。
练习6 答案
解：由题意，P、Q两点同时出发，运动时间为t秒。
AP = 2t，BQ = 4t。
PB = AB - AP = 12 - 2t。
在△PBQ中，∠B = 90°，PB为底，BQ为高，
所以△PBQ的面积为：
即：
下面确定t的取值范围：
当点P到达点B时，AP = 2t = 12，解得 t = 6。
当点Q到达点C时，BQ = 4t = 24，解得 t = 6。
因此，t的取值范围为：
答：S关于t的函数关系式为 S = -4t + 24t（或 S = 24t - 4t ），t的取值范围为 0 ≤ t ≤ 6。

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