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26.2.2 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质（第3课时）
人教版九年级上册 第二十六章 二次函数
一、学习目标
1. 会用描点法画出二次函数y=a(x-h) +k的图象，理解抛物线y=a(x-h) +k与抛物线y=ax 之间的平移关系。
2. 能说出抛物线y=a(x-h) +k的开口方向、对称轴和顶点坐标，能根据a、h、k的值判断函数的最值和增减性。
3. 掌握"左加右减、上加下减"的综合平移规律，理解顶点式y=a(x-h) +k的核心优势，能运用顶点式解决实际问题。
二、知识梳理
二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质对比表
y=a(x-h) +k的图象与性质归纳
性质对比表：a>0与a<0
项目 a > 0 a < 0
图象 抛物线 抛物线
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
顶点特征 最低点 最高点
增减性（x增减性（x>h） y随x增大而增大 y随x增大而减小
最值
y=a(x-h) +k与y=ax 的平移关系
平移类型 参数符号 平移方向 平移距离
左右平移 向右平移 |h|个单位
左右平移 向左平移 |h|个单位
上下平移 向上平移 |k|个单位
上下平移 向下平移 |k|个单位
口诀 左右平移：括号内"左加右减" 上下平移：括号外"上加下减"
顶点式y=a(x-h) +k与特殊形式的关系
形式 h和k的取值 顶点坐标 / 对称轴
y=ax 顶点(0, 0)，对称轴x=0
y=ax +k 顶点(0, k)，对称轴x=0
y=a(x-h) 顶点(h, 0)，对称轴x=h
y=a(x-h) +k 顶点(h, k)，对称轴x=h
用顶点式解决实际问题的"三步法"
例2：建立坐标系示意图
例2：完整解答过程
步骤 操作要点
第一步：建系定顶点 根据题意建立适当的平面直角坐标系，确定抛物线的顶点坐标(h, k)。顶点通常是实际问题中的最高点或最低点。
第二步：设式求系数 设顶点式y=a(x-h) +k，将抛物线上另一个已知点的坐标代入，解出a的值，得到完整的函数解析式。
第三步：代入求解 根据实际问题要求，计算特定x值对应的y值（或特定y值对应的x值），得出问题的答案。注意检验结果是否符合实际意义。
三、课堂练习
练习1（平移关系）
将抛物线
向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）。
A. y= (x-2) +3 B. y= (x+3) +2 C. y= (x-3) +2 D. y= (x+2) +3


练习2（教材P41练习第1题）
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况：












练习3（教材P41练习第2题）
根据图象填空：
当x=______时，y最小值=______；当x=______时，y最大值=______。



练习4（综合选择）
1. 指出下面函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：








2. 对称轴是直线x=-2的抛物线是（ ）。
A. y=-2x -2 B. y=-2x +2 C. y=-(x+2) -2 D. y=-5(x-2) -6


3. 将抛物线y=3x 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）。
A. y=3(x-2) -1 B. y=3(x-2) +1 C. y=3(x+2) -1 D. y=3(x+2) +1


4. 若抛物线的顶点为(3,5)，则此抛物线的解析式可设为（ ）。
A. y=a(x+3) +5 B. y=a(x-3) +5 C. y=a(x-3) -5 D. y=a(x+3) -5


练习5
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1, -2)，求这个二次函数的关系式。








练习6
小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是（ ）。
A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m
练习6参考图：投篮抛物线示意图




四、参考答案
练习1 答案
答案：C
解析：向上平移2个单位，括号外加2，即+2；向右平移3个单位，括号内减3，即x-3。
练习2 答案
（1）开口向上，对称轴x=-3，顶点(-3, 5)。x<-3时y随x增大而减小，x>-3时y随x增大而增大。
（2）开口向下，对称轴x=1，顶点(1, -2)。x<1时y随x增大而增大，x>1时y随x增大而减小。
（3）开口向上，对称轴x=3，顶点(3, 7)。x<3时y随x增大而减小，x>3时y随x增大而增大。
（4）开口向下，对称轴x=-2，顶点(-2, -6)。x<-2时y随x增大而增大，x>-2时y随x增大而减小。
练习3 答案
当x=-2时，y最小值=-2（开口向上，顶点(-2,-2)是最低点）。
当x=1时，y最大值=2（开口向下，顶点(1,2)是最高点）。
练习4 答案
1. （1）开口向上，对称轴x=-2，顶点(-2, 1)。（2）开口向下，对称轴x=2，顶点(2, -1)。
（3）开口向上，对称轴x=4，顶点(4, 3)。（4）开口向下，对称轴x=-2，顶点(-2, -3)。
2. 答案：C。对称轴x=-2，即h=-2，顶点式为，选项C满足。
3. 答案：C。向左平移2个单位，括号内x+2；向下平移1个单位，括号外-1。解析式为。
4. 答案：B。顶点(3, 5)，即h=3，k=5，所以顶点式为。
练习5 答案
解：由顶点(1, -2)，设二次函数的关系式为
图象过点(0, 0)，代入得：
解得a=2。
所以这个二次函数的关系式为
练习6 答案
答案：B（4m）
解析：
中，篮圈中心在y=3.05处，代入：
x = 1.5（取正值）。
所以l = 2.5 + 1.5 = 4m。

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