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学案：26.2.2 二次函数y=ax +k的图象和性质（第1课时）
人教版九年级上册 第二十六章 二次函数
一、学习目标
1. 会用描点法画出二次函数y=ax +k的图象，理解抛物线y=ax +k与抛物线y=ax 之间的平移关系。
2. 能说出抛物线y=ax +k的开口方向、对称轴和顶点坐标，能根据a和k的符号判断函数的最值和增减性。
3. 掌握"上加下减"的平移规律，能灵活运用平移规律解决相关问题。
二、知识梳理
二次函数y=ax +k的图象与性质对比表
y=ax +k的图象与性质归纳
项目 a > 0 a < 0
图象 抛物线 抛物线
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标
顶点特征 最低点 最高点
增减性（x<0） y随x增大而减小 y随x增大而增大
增减性（x>0） y随x增大而增大 y随x增大而减小
最值
y=ax +k与y=ax 的平移关系
k的取值 平移方向 平移距离
k > 0 向上平移 k个单位
k = 0 不移动 即为y=ax
k < 0 向下平移 |k|个单位
描点法画y=ax +k图象的步骤
步骤 操作要点
第一步：列表 以对称轴（y轴）为中心，对称取若干组自变量x的值，计算对应的函数值y。注意k对函数值的影响：y=ax +k中，每个y值比y=ax 多k。
第二步：描点 在平面直角坐标系中，将表中各组(x, y)对应的点描出来。与y=ax 的图象对比，观察点的位置变化。
第三步：连线 用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y=ax +k的图象。观察与y=ax 图象的平移关系。
y=ax +k与y=ax 的"三同三不同"
y=ax +k与y=ax 的相同点 y=ax +k与y=ax 的不同点
第一 开口方向相同（都由a决定） 顶点纵坐标不同（由0变为k）
第二 开口大小相同（都由|a|决定） 函数最值不同（由0变为k）
第三 对称轴相同（都是y轴） 图象位置不同（整体上下平移）
三、课堂练习
练习1
关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向下
B. 当x < -1时，y随x的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线x = 2
D. 当x = 0时，y有最大值3


练习2
关于抛物线与，下列说法正确的是（ ）
A. 开口方向相同
B. 顶点相同
C. 对称轴相同
D. 当x > 0时，y随x的增大而增大


练习3
二次函数的图象是将（ ）
A. 抛物线y = -3x 向左平移3个单位得到
B. 抛物线y = -3x 向左平移1个单位得到
C. 抛物线y = 3x 向上平移1个单位得到
D. 抛物线y = -3x 向上平移1个单位得到


练习4（教材P38练习）
在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况。












练习5
1. 抛物线可以由抛物线向______平移______个单位得到。


2. 抛物线向______平移______个单位后，会得到抛物线。


3. 抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______。


练习6
4. 已知点(m,n)在（a不为0）的图象上，点(-m,n)______（填"在"或"不在"）（a不为0）的图象上。


5. 若的顶点是原点，则k ______；若顶点位于x轴上方，则k ______；若顶点位于x轴下方，则k ______。



练习7
已知抛物线
(1) 若抛物线y = ax + k的形状与y = 2x 相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0, -3)，则该抛物线的函数表达式是__________________。
(2) 若抛物线y = ax + k向上平移2个单位后得到的抛物线的函数表达式为y = -0.5x - 1，则a = ______，k = ______。
(3) 若抛物线y = ax + k的最小值为4，且经过点(1, 5)，则该抛物线的函数表达式是__________________；将抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是__________________。










练习8
如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且
，求P点的坐标。

四、参考答案
练习1 答案
答案：B
解析：
中a = 2 > 0，开口向上，A错误。
对称轴是y轴（x = 0），不是x = 2，C错误。
a > 0，开口向上，顶点(0, 3)是最低点，当x = 0时y有最小值3，不是最大值，D错误。
a > 0时，在对称轴左侧（x < 0），y随x增大而减小。当x < -1时，x < 0，所以y随x增大而减小，B正确。
练习2 答案
答案：C
解析：
中a = -1 < 0，开口向下，顶点(0, 1)。
中a = 1 > 0，开口向上，顶点(0, -1)。
开口方向相反（一个向下，一个向上），A错误。
顶点坐标不同：(0, 1)与(0, -1)，B错误。
两条抛物线的对称轴都是y轴（x = 0），C正确。
y = -x + 1：a < 0，x > 0时y随x增大而减小；y = x - 1：a > 0，x > 0时y随x增大而增大。两者增减性不同，D错误。
练习3 答案
答案：D
解析：
中a = -3，k = 1。根据"上加下减"的平移规律，k = 1 > 0，所以是由
向上平移1个单位得到的。
A和B说"向左平移"错误（上下平移不是左右平移）。C中把y = -3x 误写为y = 3x （改变了a的符号），错误。D正确。
练习4 答案
解：
三条抛物线y = x 、y = x + 1、y = x - 1都是开口向上，对称轴都是y轴。
y = x 的顶点是(0, 0)；y = x + 1的顶点是(0, 1)；y = x - 1的顶点是(0, -1)。
位置关系：y = x + 1由y = x 向上平移1个单位得到；y = x - 1由y = x 向下平移1个单位得到。
增减性：三条抛物线都是a = 1 > 0，所以x < 0时y随x增大而减小，x > 0时y随x增大而增大。
（具体描点画图过程略，学生应自行在坐标系中描点连线。）
练习5 答案
1. 抛物线可以由抛物线向上平移3个单位得到。
2. 抛物线向下平移1个单位后，会得到抛物线。
3. 抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0, -5)。
练习6 答案
4. 抛物线的对称轴是y轴，图象关于y轴对称。点(m,n)和点(-m,n)关于y轴对称。因为抛物线关于y轴对称，所以点(-m,n)也在图象上。答案：在。
5. 的顶点坐标是(0, k - 2)。
顶点是原点：k - 2 = 0，k = 2。
顶点在x轴上方：k - 2 > 0，k > 2。
顶点在x轴下方：k - 2 < 0，k < 2。
练习7 答案
解：
(1) 形状与y = 2x 相同，即|a| = 2；开口方向相反，即a < 0，所以a = -2。
顶点坐标为(0, -3)，即k = -3。
(2) 向上平移2个单位后得到y = -0.5x - 1，根据"上加下减"的逆运算：
所以a = -0.5，k = -3。
(3) 最小值为4，说明a > 0且k = 4，所以抛物线为y = ax + 4。
经过点(1, 5)，代入得：
a = 1
向下平移3个单位，得：
练习8 答案
解：
，当y = 0时：
即A点的坐标为(-2, 0)，B点的坐标为(2, 0)。
所以AB = 4。
，设P点纵坐标为b，则：
|b| = 2
当b = 2时，将y = 2代入y = x - 4：
当b = -2时，将y = -2代入y = x - 4：
综上所述，满足条件的P点坐标共有4个：

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