资源简介

26.2.3 用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时）
班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版九年级上册
一、学习目标
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式，掌握"设、代、解、写"四步通用方法。
2. 能够根据已知条件灵活选择一般式、顶点式或交点式求二次函数解析式。
3. 理解三种方法（一般式法、顶点式法、交点式法）的适用条件，形成"条件决定方法"的解题策略。
二、知识梳理
（一）待定系数法的通用步骤
步骤 具体内容
第一步：设 根据已知条件，设出合适的函数表达式（一般式、顶点式或交点式）
第二步：代 将已知点的坐标代入表达式，列出方程（组）
第三步：解 解方程（组），求出待定系数的值
第四步：写 将求出的系数代入，写出函数解析式
（二）三种待定系数法对比
方法名称 表达式形式 适用条件
一般式法 y=ax^{2}+bx+c 已知抛物线上三个点的坐标 （任意两点连线不与y轴平行）
顶点式法 y=a(x-h)^{2}+k 已知顶点坐标(h, k)及另一点 （或已知对称轴、最值及另一点）
交点式法 y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) 已知抛物线与x轴的两个交点 （x , 0）和（x , 0）及另一点
待定系数个数 一般式：3个（a, b, c）
方法选择原则 让待定系数尽可能少，计算尽可能简单！
（三）交点式的推导理解
当抛物线与x轴有交点和时，
和是方程的两根。
根据因式分解：
。
这就是二次函数的交点式（也叫两根式）。
（四）关键提示
注意1：已知顶点坐标或对称轴或最值时，优先选用顶点式法。
注意2：已知抛物线与x轴的两个交点时，优先选用交点式法。
注意3：交点式中，交点(-2, 0)对应的因式为(x+2)，即符号取反。
注意4：顶点式和交点式求出的解析式，最后可以化为一般式。
三、课堂练习
（一）基础练习——一般式法
1. 一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，求这个二次函数的解析式。
解：
__________________________________________________
2. 一个二次函数的图象经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式。
解：
__________________________________________________
（二）基础练习——顶点式法
3. 已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式。
解：
__________________________________________________
4. 一个二次函数，当x=-1时，y有最大值为-4，当x=1时，y为-8，求抛物线的解析式。
解：
__________________________________________________
（三）基础练习——交点式法
5. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0，求这个二次函数的解析式。
解：
__________________________________________________
（四）方法选择练习
请判断以下各题应选用哪种方法求二次函数解析式，并说明理由。
题号 已知条件 选用方法
1 图象过x轴上的-3和4，并过y轴上-1
2 图象顶点坐标(3, 2)，与x轴交于(-3, 0)
3 函数过点(0, -3)，(2, 0)，(-3, 0)
4 图象过点(-5, 0)，对称轴为x=-2，y有最大值5
（五）综合练习
6. 二次函数的图象顶点为A(-2, -2)，且过点B(0, 2)，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=x +2 B. y=(x-2) +2 C. y=(x-2) -2 D. y=(x+2) -2
你的答案：______ 解题过程：
__________________________________________________
7. 抛物线（a不等于0）经过(1, 2)和(-1, -6)两点，则a+c=______。
你的答案：______ 解题过程：
__________________________________________________
8. 已知二次函数的图象经过点(4, -3)，并且当x=3时有最大值4，则其解析式为______。
你的答案：______ 解题过程：
__________________________________________________
（六）综合提升
9. 已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8, 0)、(0, 4)，求这个抛物线的解析式。
练习参考图
解：
__________________________________________________
10. 已知抛物线顶点(1, 16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式。
解：
__________________________________________________
参考答案
（一）基础练习——一般式法
1. 解：设所求的二次函数为。
把点(-1, 10)、(1, 4)、(2, 7)代入可得：
a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7
解得a=2, b=-3, c=5。
所以二次函数解析式为。
2. 解：设二次函数的解析式为。
把点(0, 0)、(-1, -1)、(1, 9)代入可得：
c=0, a-b+c=-1, a+b+c=9
代入c=0，得a-b=-1, a+b=9。解得a=4, b=5, c=0。
所以抛物线的解析式为。
（二）基础练习——顶点式法
3. 解：因为抛物线顶点为(1, -4)，
所以设解析式为。
把点(3, 0)代入得：，即0=4a-4，解得a=1。
所以解析式为，即。
4. 解：当x=-1时y有最大值-4，说明顶点坐标为(-1, -4)。
设解析式为。
把点(1, -8)代入得：，即-8=4a-4，解得a=-1。
所以抛物线的解析式为。
（三）基础练习——交点式法
5. 解：当x=-2与时，y=0，说明抛物线与x轴交于(-2, 0)和(, 0)两点。
设二次函数的解析式为。
把点(0, -1)代入得：，即，即-1=-a，解得a=1。
所以抛物线的解析式为，化为一般式得。
（四）方法选择练习
题号 已知条件 选用方法及理由
1 图象过x轴上的-3和4，并过y轴上-1 交点式法。已知与x轴的交点为(-3,0)和(4,0)，设y=a(x+3)(x-4)，再代入(0,-1)求a。
2 图象顶点坐标(3,2)，与x轴交于(-3,0) 顶点式法。已知顶点(3,2)，设y=a(x-3) +2，再代入(-3,0)求a。
3 函数过点(0,-3)，(2,0)，(-3,0) 交点式法。已知与x轴的交点为(2,0)和(-3,0)，设y=a(x-2)(x+3)，再代入(0,-3)求a。
4 图象过点(-5,0)，对称轴为x=-2，y有最大值5 顶点式法。由对称轴x=-2且最大值5，得顶点(-2,5)，设y=a(x+2) +5，再代入(-5,0)求a。
（五）综合练习
6. 答案：D。
解析：顶点为(-2, -2)，设解析式为。把点(0, 2)代入得，解得a=1。所以解析式为。
7. 答案：-2。
解析：把(1, 2)和(-1, -6)代入，得a+b+c=2和a-b+c=-6。两式相加得2a+2c=-4，所以a+c=-2。
8. 答案：。
解析：当x=3时有最大值4，说明顶点坐标为(3, 4)，且a<0。设解析式为。把点(4, -3)代入得，解得a=-7。所以解析式为。
（六）综合提升
9. 解：由抛物线过A(8, 0)及对称轴为x=3，知抛物线一定过点(-2, 0)。
（因为对称轴是线段AB的垂直平分线，A(8,0)到对称轴x=3的距离是5，所以B的横坐标是3-5=-2。）
设解析式为y=a(x+2)(x-8)。
把点(0, 4)代入得4=a(0+2)(0-8)=-16a，解得。
所以解析式为，化为一般式得。
10. 解：顶点为(1, 16)，对称轴为x=1。两交点关于对称轴对称，且距离为8，
所以两交点到对称轴的距离都是4，两交点的横坐标分别为1-4=-3和1+4=5。
即交点坐标为(-3, 0)和(5, 0)。设解析式为y=a(x-5)(x+3)。
把点(1, 16)代入得，解得a=-1。
所以解析式为y=-(x-5)(x+3)，化为一般式得。

展开更多......

收起↑