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学案：26.3 二次函数与一元二次方程的联系（第1课时）
人教版九年级上册 第二十六章 二次函数
一、学习目标
1. 知道抛物线y=ax +bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax +bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的根的情况之间的关系。
2. 了解用图象法求一元二次方程的近似根。
3. 理解二次函数与一元二次方程的联系，建立"已知函数值求自变量"与"解一元二次方程"的等价转化意识。
4. 掌握利用判别式Δ=b -4ac判断抛物线与x轴交点个数的方法。
二、知识梳理
二次函数图象与x轴交点与一元二次方程根的关系
二次函数y=x +x-2、y=x -8x+16、y=x -x+1的图象
二次函数 图象与x轴交点情况 交点横坐标 对应一元二次方程的根
y=x +x-2 有两个交点
y=x -8x+16 有一个交点
y=x -x+1 无交点 无 无实数根
判别式Δ与抛物线与x轴交点个数的关系
判别式Δ的值 抛物线与x轴的交点个数 一元二次方程根的情况
有两个交点 有两个不相等的实数根
有一个交点（相切） 有两个相等的实数根
没有交点 没有实数根
二次函数与一元二次方程的转化关系
转化方向 说明
核心结论
1. 一般地，从二次函数的图象可得：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的交点情况有三种：没有交点，有一个交点，有两个交点。它们分别对应一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。
三、课堂练习
练习1
已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A. x = 1, x = -1
B. x = 1, x = 2
C. x = 1, x = 0
D. x = 1, x = 3


练习2
二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. k < 3
B. k < 3且k ≠ 0
C. k ≤ 3
D. k ≤ 3且k ≠ 0


练习3
已知函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围。








练习4
已知关于x的二次函数
(1) 求证：此抛物线与x轴总有交点。






(2) 若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值。







练习5（小球飞行问题）
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线。小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为
小球飞行路线示意图
(1) 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？




(2) 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？




(3) 小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？




(4) 小球从飞出到落地，需要多长时间？




练习6
已知二次函数的值为3，求自变量x的值。




练习7
已知抛物线与x轴只有一个交点，且经过点(1, 4)，求b和c的值。








四、参考答案
练习1 答案
答案：B
解析：
由交点为(1, 0)，代入二次函数得，解得m = 2。
所以一元二次方程为，即(x-1)(x-2)=0。
解得x = 1，x = 2。
练习2 答案
答案：D
解析：
二次函数的图象与x轴有交点，需。
解得k ≤ 3。
又因为二次函数要求k ≠ 0，所以k ≤ 3且k ≠ 0。
练习3 答案
解：
当k = 3时，函数y = 2x + 1是一次函数。
因为一次函数y = 2x + 1与x轴有一个交点，所以k = 3满足条件。
当k ≠ 3时，y = (k - 3)x + 2x + 1是二次函数。
因为二次函数y = (k - 3)x + 2x + 1的图象与x轴有交点，
综上所述，k的取值范围是k ≤ 4。
练习4 答案
(1) 证明：
因此抛物线与x轴总有交点。
(2) 解：
又因为当m = 2时，Δ = 0，抛物线与x轴只有一个交点，
所以正整数m的值为1。
练习5 答案
(1) 解：令h = 20，则
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m。
(2) 解：令h = 15，则
当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。
(3) 解：令h = 20.5，则
所以此方程无实数根。即小球的飞行高度不能达到20.5m。
(4) 解：小球落地时h = 0，令h = 0，则
t = 0表示出发时刻，t = 4表示落地时刻。
所以小球从飞出到落地要4s。
练习6 答案
解：已知二次函数y = -x + 4x的值为3，即
(x-1)(x-3) = 0
所以自变量x的值为1或3。
练习7 答案
解：
又因为抛物线经过点(1, 4)，代入得：
b + c = 3
c = 3 - b
将c = 3 - b代入b = 4c：
(b + 6)(b - 2) = 0
b = -6\text{ 或 }b = 2
所以b = -6，c = 9或b = 2，c = 1。

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